2020-2021數(shù)學(xué)人教版選擇性第一冊課時2.4.1圓的標準方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊課時分層作業(yè)：2.4.1圓的標準方程課時分層作業(yè)（十六）(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．以兩點A(－3,－1)和B（5，5）為直徑端點的圓的標準方程是()A．（x－1）2＋(y－2)2＝10B．（x－1)2＋（y－2）2＝100C．（x－1)2＋（y－2）2＝5D．(x－1）2＋（y－2)2＝25D［圓心坐標為（1，2），半徑r＝eq\r（5－12＋5－22)＝5，故所求圓的方程為（x－1)2＋(y－2）2＝25.］2．已知三點A(1,0），B(0，eq\r(3）),C（2,eq\r（3)），則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為（)A．eq\f（5，3) B．eq\f(\r（21),3）C．eq\f（2\r（5），3) D．eq\f（4,3)B［在直角坐標系中畫出△ABC（如圖），利用兩點間的距離公式可得|AB｜＝|AC｜＝|BC|＝2(也可以借助圖形直接觀察得出)，所以△ABC為等邊三角形．設(shè)BC的中點為D,點E為外心，同時也是重心．所以|AE｜＝eq\f(2,3）｜AD|＝eq\f（2\r（3),3),從而|OE|＝eq\r（｜OA｜2＋|AE|2）＝eq\r（1＋\f（4，3））＝eq\f(\r(21),3)，故選B.］3．方程y＝eq\r（9－x2）表示的曲線是（)A．一條射線 B．一個圓C．兩條射線 D．半個圓D［y＝eq\r（9－x2）可化為x2＋y2＝9（y≥0），故表示的曲線為圓x2＋y2＝9位于x軸及其上方的半個圓．]4．圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,3）的圓的方程為()A．x2＋(y－3)2＝1 B．x2＋(y＋3)2＝1C．(x－3）2＋y2＝1 D．(x＋3）2＋y2＝1A[設(shè)圓心坐標為（0，a），∵圓的半徑為1,且過點（1,3)，∴（0－1）2＋（a－3)2＝1，解得a＝3，∴所求圓的方程為x2＋（y－3)2＝1.］5．在圓x2＋y2－4x＋2y＝0內(nèi)，過點M（1,0)的最短弦的弦長為()A．eq\r(5) B．2eq\r(5)C．eq\r(3) D．2eq\r（3)D［圓x2＋y2－4x＋2y＝0，化簡為：(x－2)2＋（y＋1)2＝5，點M(1,0）在圓的內(nèi)部,記圓心為O點，則最短弦長是過點M和OM垂直的弦,OM＝eq\r（2).根據(jù)垂徑定理得到弦長為：2eq\r（r2－OM2)＝2eq\r（5－2）＝2eq\r(3).故答案為D。］二、填空題6．與圓（x－2）2＋(y＋3）2＝25同圓心，且過點P（－1,2）的圓的標準方程為________．（x－2）2＋(y＋3）2＝34[設(shè)方程為（x－2）2＋（y＋3)2＝r2,把點（－1,2)代入并解得r2＝34，故方程為(x－2）2＋(y＋3）2＝34.]7．已知點P（x,y）在圓x2＋y2＝1上，則eq\r（x－12＋y－12)的最大值為________．1＋eq\r(2）[eq\r(x－12＋y－12)的幾何意義是圓上的點P（x,y)到點(1，1)的距離,因此最大值為eq\r（2)＋1。]8．M為圓x2＋y2＝1上的動點,則點M到直線l:3x－4y－10＝0的距離的最大值為________．3［圓x2＋y2＝1的圓心O(0,0）到直線3x－4y－10＝0的距離為d＝eq\f(|0－0－10|,\r（32＋－42))＝2，又圓的半徑r＝1，故M點到直線l的最大距離為d＋r＝2＋1＝3。］三、解答題9．求下列圓的標準方程：（1)圓心是(4,0），且過點(2，2)；(2)圓心在y軸上，半徑為5，且過點（3，－4）；（3）過點P（2，－1）和直線x－y＝1相切,并且圓心在直線y＝－2x上．［解］（1）r2＝（2－4)2＋（2－0)2＝8，∴圓的標準方程為(x－4)2＋y2＝8.（2)設(shè)圓心為C（0,b），則（3－0）2＋(－4－b)2＝52,∴b＝0或b＝－8,∴圓心為（0，0)或(0，－8）,又r＝5，∴圓的標準方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8）2＝25。(3)∵圓心在y＝－2x上,設(shè)圓心為（a，－2a），設(shè)圓心到直線x－y－1＝0的距離為r。則r＝eq\f(|a＋2a－1|，\r(2）)， ①又圓過點P(2，－1)，∴r2＝（2－a）2＋（－1＋2a)2, ②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝1，,r＝\r（2）））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝9，，r＝13\r(2）,)）∴圓的標準方程為（x－1）2＋(y＋2)2＝2或(x－9）2＋(y＋18）2＝338.10．若圓C經(jīng)過坐標原點，且圓心在直線y＝－2x＋3上運動，求當半徑最小時圓的方程．[解]設(shè)圓心坐標為(a,－2a＋3),則圓的半徑r＝eq\r(a－02＋－2a＋3－02）＝eq\r（5a2－12a＋9）＝eq\r（5\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a－\f(6,5）))eq\s\up12(2)＋\f（9,5)）。當a＝eq\f(6，5）時，rmin＝eq\f（3\r(5)，5)。故所求圓的方程為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(6,5)）)eq\s\up12(2）＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（y－\f(3，5）))eq\s\up12（2)＝eq\f(9,5).11．（多選題)下列各點中,不在圓（x－1)2＋(y＋2）2＝25的外部的是（)A．（0,2) B．(3,3)C．(－2，2) D．(4,1)ACD［由(0－1)2＋（2＋2）2＜25，知(0，2）在圓內(nèi)；由（3－1)2＋（3＋2)2＞25知(3，3)在圓外；由(－2－1）2＋(2＋2)2＝25知（－2，2）在圓上，由(4－1）2＋(1＋2）2＜25知（4，1）在圓內(nèi)，故選ACD.］12．設(shè)P是圓(x－3）2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝－3上的動點，則|PQ|的最小值為()A．6 B．4C．3 D．2B［圓的半徑r＝2.圓心(3，－1)到直線x＝－3的距離為6,∴|PQ｜的最小值為6－r＝6－2＝4,故選B。］13．（一題兩空)已知A，B兩點是圓x2＋（y－1)2＝4上的兩點，若A，B關(guān)于直線x＋ay－3＝0對稱，則a＝________;若點A，B關(guān)于點（1，2）對稱，則直線AB的方程為________．3x＋y－3＝0［圓x2＋(y－1）2＝4的圓心C的坐標為(0,1）,若A,B關(guān)于直線x＋ay－3＝0對稱,則直線經(jīng)過圓心(0,1),∴a＝3。又若圓x2＋(y－1)2＝4上存在A，B兩點關(guān)于點P（1，2）中心對稱,則CP⊥AB，P為AB的中點，∵kCP＝eq\f（2－1，1－0）＝1，∴kAB＝－1，∴直線AB的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0。]14．圓C：(x－3）2＋(y＋4）2＝1關(guān)于直線l：x－3y－5＝0對稱的圓的方程是________．（x－1)2＋(y－2)2＝1[由（x－3）2＋(y＋4）2＝1知圓心為C（3，－4）,半徑r＝1。設(shè)圓C關(guān)于直線l:x－3y－5＝0對稱的圓C′的標準方程為（x－a)2＋（y－b）2＝r′2，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（b＋4,a－3）＝－3，,\f(a＋3,2）－3×\f（b－4,2)－5＝0，，r′＝1，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝1，，b＝2，,r′＝1，））故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2）2＝1.］15．若動點P在直線a：x－2y－2＝0上，動點Q在直線b：x－2y－6＝0上,記線段PQ的中點為M（x0，y0）,且（x0－2)2＋（y0＋1）2≤5，求xeq\o\al(2，0）＋yeq\o\al（2,0）的取值范圍．[解］∵動點P在直線a:x－2y－2＝0上,動點Q在直線b：x－2y－6＝0上，直線a:x－2y－2＝0與直線b:x－2y－6＝0互相平行，∴PQ的中點M在與a,b平行,且到a，b距離相等的直線上．設(shè)該直線為l，方程為x－2y＋m＝0。由eq\f（｜m＋2|，\r（5))＝eq\f（|m＋6｜，\r(5)），解得m＝－4，則該直線l的方程為x－2y－4＝0.∵線段PQ的中點為M(x0，y0），且（x0－2）2＋(y0＋1）2≤5,∴點M在圓C：(x－2)2＋(y＋1）2＝5內(nèi)部或者在圓C上．∴設(shè)直線l交圓C于A，B，可得點M在線段AB上運動．∵xeq\o\al（2，0)＋yeq\o\al(2,0）＝｜OM｜2，xeq\o\al(2,0）＋yeq\o\al（2,0）代表的幾何意義為線段上的點到原點的距離的平方，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2，0）的最小值為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（|－4|，\r（1＋4）))）eq\s\up12(2)＝eq\f（16，5)，OA為最大值，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－2y－4＝0，,x－22＋y＋12＝5，)）可得A(4，0），B（0，－2）．當M與A重合時,x