文科數(shù)學(xué)-全真模擬卷02（新課標Ⅱ卷）（2月）（解析版）

全真模擬卷02（新課標Ⅱ卷）文科數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時間120分鐘。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】已知集合，集合，則.2．當(dāng)復(fù)數(shù)時，實數(shù)的值可以為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時，，所以不滿足，故A不正確.當(dāng)時，,所以，故B不正確.當(dāng)時，,，滿足，故C正確.由上可知，選項D不正確.故選：C3．設(shè)，為非零向量，則“”是“與共線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當(dāng)時，，化簡得，即，，即與共線當(dāng)與共線時，則存在唯一實數(shù)，使得，，與不一定相等，即不一定相等故“”是“與共線”的充分不必要條件故選：A4．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，所以，，因此，.故選：B.5．若實數(shù)，，滿足，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，，因為，所以，所以，故選：D6．函數(shù)的部分圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：函數(shù)的定義域為，故排除A，，故函數(shù)為奇函數(shù)，由于時，，故時，，故排除BC；所以D選項為正確答案.7．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（）A．24 B．30 C． D．【答案】D【詳解】由三視圖可知幾何體為圖中的四棱錐，由題得，所以幾何體的高為.所以幾何體的體積為.故選：D8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為A．3 B． C． D．【答案】C【詳解】解：由程序框圖知，程序的運行功能是求可得：當(dāng)時，不滿足條件，程序運行終止，輸出．故選：．9．克羅狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對角互補時取等號，根據(jù)以上材料，完成下題：如圖，半圓的直徑為2，為直徑延長線上的一點，，為半圓上一點，以為一邊作等邊三角形，則當(dāng)線段的長取最大值時，（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【詳解】因為，且為等邊三角形，，所以，所以，所以的最大值為，取等號時，所以，不妨設(shè)，所以，所以解得，所以，所以，故選：C.10．若將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，平移后圖像的一條對稱軸為（）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，所得的函數(shù)為，由，得，當(dāng)時，，故選：B11．已知梯形的上底長為1，下底長為4，對角線長為，長為，則的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】如圖，過作，連接，則，所以，故.12．若對一切正實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則恒成立，由，令，則恒成立，所以為增函數(shù)，令得，當(dāng)時，，當(dāng)時，；所以在遞減，在遞增，故在處取得最小值，故最小值，因為，則所以恒成立，得，又因為（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）；所以即.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)滿足當(dāng)時，，當(dāng)時，，則_______.【答案】【詳解】解：因為，所以因為，所以.14．若滿足約束條件則的最大值為__________．【詳解】由線性約束條件作出可行域如圖，由可得，作直線，沿可行域的方向平移可知過點時，取得最大值，由可得，所以，所以15．已知拋物線：的焦點為，點是拋物線上一點，以為圓心，半徑為的圓與交于點，過點作圓的切線，切點為，若，且的面積為，則______．【答案】2【詳解】因為，，所以，因為，所以是線段的中點,因為的面積為，所以的面積為.又由可得，所以,所以，解得.16．在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱是一個“塹堵”，其中，，，則這個“塹堵”的外接球的表面積為________.【答案】【詳解】因為，所以，所以，所以可將三棱柱補成一個長方體，如圖：則該長方體的對角線長等于這個“塹堵”的外接球的直徑，所以，所以.所以外接球的表面積為.三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．在C中，角A，B，C所對的邊分別為a，b、c，已知．（1）求角C的大??；（2）若，的面積為，分別求、的值．【詳解】（1）∵∴∴,∵,∴.（2）∵∴又∵∴∴∴.18．2021屆高考體檢工作即將開展，為了了解高三學(xué)生的視力情況，某校醫(yī)務(wù)室提前對本校的高三學(xué)生視力情況進行調(diào)查，在高三年級1000名學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生的體檢數(shù)據(jù)，并得到如下圖的頻率分布直方圖.年級名次是否近視近視4030不近視1020（1）若直方圖中前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列，試估計全年級高三學(xué)生視力的中位數(shù)（精確到0.01）；（2）該校醫(yī)務(wù)室發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系，對抽取的100名學(xué)生名次在名和名的學(xué)生的體檢數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計，得到表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系?（3）在（2）中調(diào)查的不近視的學(xué)生中按照分層抽樣抽取了6人，進一步調(diào)查他們良好的護眼習(xí)慣，求在這6人中任取2人，至少有1人的年級名次在名的概率.0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879，其中.【詳解】（1）由圖可知，第三組和第六組的頻數(shù)為人第五組的頻數(shù)為人所以前四組的頻數(shù)和為人而前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列故第一組的頻數(shù)為4人，第二組的頻數(shù)為8人，第四組的頻數(shù)為32人所以中位數(shù)落在第四組，設(shè)為x，因此有（或）解得所以中位數(shù)是4.74（2）因為所以所以因此在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系（3）依題意按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了6人中年級名次在名和名的分別有2人和4人從6人中任意抽取2人的基本事件共15個至少有1人來自于1~100名的基本事件有9個所以至少有1人的年級名次在名的概率為.19．如圖，在三棱錐中，平面平面是的中點．（1）求證：平面；（2）設(shè)點N是的中點，求三棱錐的體積．【詳解】（1）∵平面平面，平面，平面，是的中點，，平面（2）由（1）知平面，是的中點，到平面的距離是，平面，，．20．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求在處的切線方程；（2）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求零點之間距離最小時a的值．【詳解】（1）當(dāng)時，，可得，所以切點為，因為，所以，所以在處的切線方程為：，即，（2），因為，所以函數(shù)有兩個零點，分別設(shè)為，則，，所以，所以當(dāng)時，函數(shù)零點之間距離最小為.21．已知點為橢圓上一點，且橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，過點作直線，，與橢圓分別交于點，．（1）求橢圓的標準方程與離心率；（2）若直線，的斜率之和為，證明：直線的斜率為定值．【詳解】（1）由題設(shè)，得，①且，②由①②解得，，所以橢圓的標準方程為，橢圓的離心率為．（2）直線的斜率為定值1.證明：設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，記，．設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，并消去得，則，是該方程的兩根，則，即．設(shè)直線的方程為，同理得．因為，，所以，因此直線的斜率為定值．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一個題目計分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.曲線的極坐標方程為.（1）寫出的極坐標方程；（2）設(shè)點M的極坐標為，射線分別交，于A，B兩點(異于極點)，當(dāng)時，求.【詳解】解：（1）∵(為參數(shù))∴曲線的普通方程為，即