題型專練05-新高考開放性試題（解析版）

新高考開放性試題題型專練051．下列說法中正確的是A．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等．B．若A、B為互斥事件，則A的對立事件與B的對立事件一定互斥．C．某個班級內(nèi)有40名學生，抽10名同學去參加某項活動，則每4人中必有1人抽中．D．若回歸直線的斜率，則變量與正相關．【答案】AD【解析】利用頻率分布直方圖和回歸直線方程，以及互斥事件和對立事件的概念，逐項判定，即可求解．對于A中，在頻率分布直方圖中，根據(jù)中位數(shù)的概念，可得中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等是正確的；對于B中，若A、B為互斥事件，根據(jù)互斥事件和對立事件的概念，可得則A的對立事件與B的對立事件不一定互斥，所以不正確；對于C中，某個班級內(nèi)有40名學生，抽10名同學去參加某項活動，根據(jù)概率的概念，可得每4人中不一定必有1人抽中，所以是不正確的；對于D中，若回歸直線的斜率，根據(jù)回歸系數(shù)的含義，可得變量與正相關是正確的．故選：AD．2．若方程所表示的曲線為C，則下面四個命題中正確的是A．若1＜t＜5，則C為橢圖B．若t＜1．則C為雙曲線C．若C為雙曲線，則焦距為4D．若C為焦點在y軸上的橢圓，則3＜t＜5【答案】BD【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線的標準方程及簡單的幾何性質，逐項判定，即可求解，得到答案．由題意，若方程表示橢圓，則滿足，解得或，對于A中，當時，此時方程表示圓，所以不正確；當方程表示焦點在軸上橢圓，則滿足，解得，所以D項正確；對于B中，當時，，此時表示焦點在軸上的雙曲線，所以是正確的；對于C中，當時，方程，此時雙曲線的焦距為，所以不正確．故選BD．若方程表示橢圓，則滿足，解得或．3．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，滿足，前項和為，下列選擇項正確的是A． B．C．當時最小 D．時的最小值為【答案】ABD【解析】設等差數(shù)列的公差為，因為，求得，根據(jù)數(shù)列是遞增數(shù)列，得到正確；再由前項公式，結合二次函數(shù)和不等式的解法，即可求解．由題意，設等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，又由等差數(shù)列是遞增數(shù)列，可知，則，故正確；因為，由可知，當或時最小，故錯誤，令，解得或，即時的最小值為，故正確．故選ABD4．下列命題中正確的是A．是空間中的四點，若不能構成空間基底，則共面B．已知為空間的一個基底，若，則也是空間的基底C．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線D．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】不共面的三個非零向量可以構成空間向量的一個基底，由此可判斷A、B，若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則線面平行，可判斷C，直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值的絕對值與該直線與此平面所成角的正弦值相等，由此可判斷D．對于A，是空間中的四點，若不能構成空間基底，則共面，則共面，故A對；對于B，已知為空間的一個基底，則不共面，若，則也不共面，則也是空間的基底，故B對；對于C，因為，則，若，則，但選項中沒有條件，有可能會出現(xiàn)，故C錯；對于D，∵，則則直線與平面所成角的正弦值為，故D對；故選：ABD．5．函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象如圖所示，其中A＞0，ω＞0，，則ω＝，sinφ＝．【答案】2，【解析】由圖知，A＝2，，所以ω＝2．所以f（x）＝2sin（2x+φ）．又，所以．故答案為2；．6．已知正數(shù)x，y滿足，則當x=時，x+y的最小值是．【答案】，1【解析】正數(shù)x，y滿足，∴，可得，∴x+y＝，令t＝3y﹣1則y＝且t＞0，x+y＝，＝，當且僅當4t＝即t＝，此時x＝y(tǒng)＝取最小值1，故答案為：，1．7．（2020春?濰坊月考）已知函數(shù)為常數(shù)，且．（1）在下列條件中選擇一個②使數(shù)列是等比數(shù)列，說明理由；①數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；②數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列；③數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列的前項和構成的數(shù)列．（2）在（1）的條件下，當時，設，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）①③不能使數(shù)列是等比數(shù)列，②可以．由題意，即，可得，且，，由常數(shù)且，可得為非零常數(shù)，則是為首項、為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，當時，，，可得，前項和．8．（2020?山東模擬）在①；②，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，設的面積為，已知①．（1）求的值；（2）若，，求的值．【解析】選①，（1），即，所以即；（2）由（1）可得，，，即，由余弦定理可得，，整理可得，．9．在EQ\o\ac(○,1)，EQ\o\ac(○,2)，EQ\o\ac(○,3)這三個條件中選擇一個，補充在下面的問題中，并判斷三角形是否有解，若有解，求出的值；若無解，請說明理由、在中，已知道分別是角A，B，C的對邊，且滿足C=2B，b+c=10，【解析】若選擇EQ\o\ac(○,1)，則，因為C=2B，所以，顯然矛盾，此時三角形無解若選擇EQ\o\ac(○,2)，由正弦定理可知又b+c=10．所以c=6，b=4由余弦定理，可得解得，若則由b=4知A=B，又因為C=2B，所以得，這與矛盾，舍去經(jīng)檢驗知，當時適合題意，故若選擇EQ\o\ac(○,3)，因為C=2B，所以，即得此時，所以c<b，此時C=2B矛盾，此時三角形無解10．在EQ\o\ac(○,1)，EQ\o\ac(○,2)，EQ\o\ac(○,3)在這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的正整數(shù)，求出的值；若不存在，說明理由。已知數(shù)列中，其中前n項和為，且。是否存在正整數(shù)，使得構成等差數(shù)列？【解析】若選擇條件EQ\o\ac(○,1)，則，兩式相除得到EQ\o\ac(○,1)，所以的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構成公比為4的等比數(shù)列由于，所以，又因為成等比數(shù)列，故數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2所以故所以，若構成等差數(shù)列，則，整理的到無解，所以不存在正整數(shù)，使得構成等差數(shù)列若選擇EQ\o\ac(○,2)，由于，所以，則，于是當時，，兩式相減得，于是，所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列因此，所以所以若構成等差數(shù)列，則整理得到無解，所以不存在正整數(shù)，使得構成等差數(shù)列若選擇條件EQ\o\ac(○,3)，由于，所以，則，因此，當時，，兩式相減得，于是，所以，于是數(shù)列是等差數(shù)列，且所以，所以構成等差數(shù)列11．（2019秋?景德鎮(zhèn)期末）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1⊥平面AA1C1C，D為BB1的中點，AC=AA1=2AB，∠AA1C1＝60°，（1）在CC1上是否存在一點H，使得B1H⊥A1D，若存在，求出CH：HC1的值，不存在，說明理由；（2）在線段B1C上有一點P，且B1P：PC＝1：2，求二面角P﹣AA1﹣D的余弦值．【解析】（1）令AB＝1，則AC＝AA1=2，∵A∴△AA1B1∽△DB1A1，∴AB1⊥A1D，若B1H⊥A1D，則A1D⊥面AB1H?A1D⊥AH，又∵側面ABB1A1⊥平面AA1C1C，AB⊥AA1，∴AB⊥平面AA1C1C，∴AB⊥AH，∴AH⊥AA1，∴H為CC1的中點，即CH：HC1＝1：1．（2）以AB，AA1，AH為x，y，z軸構建空間直角坐標系，令AB＝1，則C（0，-22，62），B1（1，2，0），A1（0可得AP→設平面PAA1的法向量為m→=（x，y，z），由m→?AP→=0且m→?AA1→=0，即23x+可取m→=（-64，0，1），又因為面AA1D的法向量n→=所以二面角P﹣AA1﹣D的余弦值cosθ＝|cos＜m→，n→＞|12．（2020?宜賓模擬）手機運動計步已經(jīng)成為一種新時尚．某單位統(tǒng)計職工一天行走步數(shù)（單位：百步）得到如下頻率分布直方圖：由頻率分布直方圖估計該單位職工一天行走步數(shù)的中位數(shù)為125（百步），其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表．（1）試計算圖中的a、b值，并以此估計該單位職工一天行走步數(shù)的平均值μ；（2）為鼓勵職工積極參與健康步行，該單位制定甲、乙兩套激勵方案：記職工個人每日步行數(shù)為ω，其超過平均值μ的百分數(shù)ε=ω-μμ×100，若ε∈（0，10]，職工獲得一次抽獎機會；若ε∈（10，20]，職工獲得二次抽獎機會；若ε∈（20，30]，職工獲得三次抽獎機會；若ε∈（30，40]，職工獲得四次抽獎機會；若ε超過方案甲：從裝有1個紅球和2個白球的口袋中有放回的抽取n個小球，抽得紅球個數(shù)及表示該職工中獎幾次；方案乙：從裝有6個紅球和4個白球的口袋中無放回的抽取n個小球，抽得紅球個數(shù)及表示該職工中獎幾次；若某職工日步行數(shù)為15700步，試計算他參與甲、乙兩種抽獎方案中獎次數(shù)的分布列．若是你，更喜歡哪個方案？【解析】（1）由題意得：（0．002+0．006+0．008+a+b+0．008+0．002+0．002）×解得a＝0．012，b＝0．010，∴μ=60×0．002×20+80×0．006×20+100×0．008×20+120×0．012×20+140×0．010×20+160×0．008×20+180×0．002×20+200×0．002×20＝125．6．（2）某職工日行步數(shù)ω＝157（百步），ε=157-125．6125．6∴職工獲得三次抽獎機會，設職工中獎次數(shù)為X，在方案甲下X～X0123P8271227627127E（X）=0×8在方案乙下X0123P1303101216E（X）=0×1∴更喜歡方案乙．13．（2020?石家莊一模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），點（1，32）在橢圓C上，點A（﹣（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線l過右焦點F2與橢圓C交于M，N兩點，在x軸上是否存在點P（t，0）使得PM→?PN→為定值？如果存在，求出點【解析】（1）由題意可得上頂點B（0，b），AB⊥BF2，所以：1a2+94b2=1，AB→?BF2→=0，即（3c，b）?（c，﹣b）＝0即b解得：a2＝4，b2＝3，所以橢圓的方程為：x24（2）由（1）可得右焦點F2的坐標（1，0），假設存在P（t，0）i）當直線MN的斜率不為0時，設直線MN的方程為：x＝my+1，設M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓的方程x=my+13x2+4y2-12=0，整理可得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，∴y1+y2=-6m∴x1+x2＝m（y1+y2）+2=84+3m2，x1x2＝m2y1y2+m（y1+y2）+1=因為PM→?PN→=（x1﹣t，y1）?（x2﹣t，y2）＝x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2=4-12要使PM→?PN→為定值，則t2-41=4tii）當直線MN的斜率為0時，則M（﹣2，0），N（2，0），P為（118，0），則PM→?PN→=（﹣2-118，0）?（2-11綜上所述：所以存在P（118，0），使PM→?14．（2020?江蘇一模）已知函數(shù)f（x）=（a-1x）lnx（（1）若曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y﹣1＝0，求a的值；（2）若f（x）的導函數(shù)f'（x）存在兩個不相等的零點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）當a＝2時，是否存在整數(shù)λ，使得關于x的不等式f（x）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，說明理由．【解析】（1）f'因為曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y﹣1＝0，所以f'（1）＝a﹣1＝﹣1，得a＝0；（2）因為f'所以g（x）＝ax﹣1+lnx存在兩個不相等的零點，則g'①當a≥0時，g'（x）＞0，所以g（x）單調遞增，至多有一個零點，②當a＜0時，因為當x∈（0，-1a）時，g'（x當x∈（-1a，+∞）時，g'（x所以x=-1a因為g（x）存在兩個零點，所以ln（-1a）-2＞0，解得﹣e﹣因為﹣e﹣2＜a＜0，所以-1因為g（1）＝a﹣1＜0，所以g（x）在（0，因為﹣e﹣2＜a＜0，所以（-因為g[（-1a）2]=ln（-1a）2+1a-1，設t=-1因為y'=2-tt＜0，所以y＝2lnt﹣t﹣1所以y＜2ln（e2）﹣e2﹣1＝3﹣e2＜0，所以g