§3.5　對數(shù)與對數(shù)函數(shù)(講解部分)

考點(diǎn)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)的概念(1)對數(shù)的定義如果ax=N(a>0且a≠1),那么指數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作x=logaN,其中a

叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).(2)幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對數(shù)底數(shù)為a(a>0且a≠1)logaN常用對數(shù)底數(shù)為10lgN自然對數(shù)底數(shù)為elnN考點(diǎn)清單a.

=①

N

(a>0且a≠1,N>0);b.logaaN=②

N

(a>0且a≠1).(2)對數(shù)的重要公式a.換底公式:logbN=

(a,b均大于零且不等于1,N>0);b.logab=

,推廣:logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于零且不等于1,d大于零);c.lo

Mn=

logaM(a>0且a≠1,m,n∈R,m≠0).(3)對數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么a.loga(MN)=③

logaM+logaN

;b.loga

=logaM-logaN;2.對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對數(shù)的性質(zhì)c.logaMn=④

nlogaM

(n∈R).3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1圖象

性質(zhì)定義域:(0,+∞)值域:R過點(diǎn)(1,0),即x=1時(shí),y=0當(dāng)x>1時(shí),y>0;當(dāng)0<x<1時(shí),y<0當(dāng)x>1時(shí),y<0;當(dāng)0<x<1時(shí),y>0是(0,+∞)上的增函數(shù)是(0,+∞)上的減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),它

們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.其圖象關(guān)系如圖所示.

考法一對數(shù)式大小的比較方法知能拓展例1(1)已知a=

,b=lo

,c=log3

,則

()A.b>c>a

B.a>b>c

C.c>b>a

D.b>a>c(2)設(shè)

<a<1,m=loga(a+1),n=loga(1-a),p=loga

,則m,n,p的大小關(guān)系是

(

)A.n>m>p

B.m>p>nC.p>n>m

D.n>p>m解析(1)∵a=

,b=lo

,c=log3

,∴0<a=

<20=1,b=lo

>lo

=1,c=log3

<log31=0.∴b>a>c.故選D.(2)因?yàn)?/p>

<a<1,所以a+1-

=

=

>0,

-(1-a)=

=

>0,所以a+1>

>1-a,又

<a<1,所以loga(a+1)<loga

<loga(1-a),即m<p<n.故選D.答案(1)D(2)D方法總結(jié)對數(shù)式大小的比較方法

考法二對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)若函數(shù)y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1},則函數(shù)y=loga|x|的圖象

大致是

()(2)已知a>0,且a≠1,函數(shù)f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上是增函數(shù),則a的取值范圍

是

()A.

≤a≤

或a>1

B.a>1C.

≤a<

D.

≤a≤

或a>1(3)已知函數(shù)f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立,則實(shí)

數(shù)a的取值范圍為

.解題導(dǎo)引

(1)

(2)(3)解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1},所以a>1,故y=loga|x|

為偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故函數(shù)y=loga|x|的大致圖象如選項(xiàng)B所示.

故選B.(2)令y=g(x)=|ax2-x|,由題意知g(x)≠0,作出其圖象如下:函數(shù)f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上是增函數(shù),若a>1,則y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞增,0<

<1,由g(x)的圖象可知g(x)在[3,4)上遞增,故f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上單調(diào)遞增,故a>1時(shí)成立;若0<a<1,則

解得

≤a≤

.綜上可知,a的取值范圍是

≤a≤

或a>1.(3)當(dāng)a>1時(shí),f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是減函數(shù),由于f(x)>1在[1,2]上恒成立,

所以f(x)min=loga(8-2a)>1,故8-2a>a,即1<a<

;當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是增函數(shù),由于f(x)>1在[1,2]上恒成立,

所以f(x)min=loga(8-a)>1,且8-2a>0,所以a>4,且a<4,故這樣的a不存在.綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.答案(1)B(2)A(3)

方法總結(jié)1.對一些可通過平移、對稱作出其圖象的對數(shù)函數(shù)型問題,在

求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí),常利用數(shù)形結(jié)合