幾種不同增長的函數(shù)模型

關(guān)于幾種不同增長的函數(shù)模型第1頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用第三章3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型第2頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三優(yōu)效預(yù)習第3頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三1．對數(shù)函數(shù)y＝logax，(a＞0，a≠1)當a＞1時，增區(qū)間為_____________，當0＜a＜1時減區(qū)間為_____________

．2．函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)，當a＞1時增區(qū)間為_____________

，當0＜a＜1時減區(qū)間為_____________．3．函數(shù)y＝logax與y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象關(guān)于_____________對稱．4．y＝xα(α∈R)，當α＞0時函數(shù)在(0，＋∞)上為_____函數(shù)，當α＜0時，函數(shù)在(0，＋∞)上為______函數(shù)．●知識銜接(0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)y＝x增減第4頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三5.某地的水電資源豐富，并且得到了電費y(元)與用電量x(度)之間的函數(shù)關(guān)系如右圖所示：則月用電量為100度時，應(yīng)交電費___元．60第5頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三1．四種函數(shù)模型的性質(zhì)●自主預(yù)習函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)y＝kx＋b(k＞0)在(0，＋∞)上的增減性____函數(shù)____函數(shù)____函數(shù)____函數(shù)增長的速度越來越____越來越____相對較快不變圖象的變化越來越陡越來越平隨n值而不同直線上升增增增增快慢第6頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三2.三種增長函數(shù)模型的比較(1)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)．一般地，對于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間(0，＋∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax會小于xn，但由于ax的增長____于xn的增長，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有ax____xn.快＞第7頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三(2)對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)．對于對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，隨著x的增大，logax增長得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會大于xn，但由于logax的增長____于xn的增長，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有l(wèi)ogax____xn.慢＜第8頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三(3)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)．在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是___函數(shù)，但它們增長的速度不同，而且不在同一個“檔次”上，隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長速度越來越___，會超過并遠遠大于y＝xn(n＞0)的增長速度，而y＝logax(a＞1)的增長速度則會越來越慢，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有______＜xn＜____.增快logaxax第9頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三1．專家預(yù)測，在我國大西北某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上年增長10.4%，經(jīng)過x年可能增長到原來的y倍，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為(

)[答案]

D[解析]

由題意可知y＝(1＋10.4%)x.●預(yù)習自測第10頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三[答案]

C[解析]

(排除法)當x＝1時，否定B項；當x＝2時，否定D，當x＝3時，否定A項；故選C.第11頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三3．下列函數(shù)增長的速度最快的是(

)A．y＝3x B．y＝log3xC．y＝x3 D．y＝3x[答案]

A4．當x＞4時，a＝4x，b＝log4x，c＝x4，則有(

)A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜cC．c＜a＜b D．b＜c＜a[答案]

D第12頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三高效課堂第13頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三

四個變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是________．考查函數(shù)模型的增長差異●互動探究x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907第14頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三探究1.從表格觀察函數(shù)值y1，y2，y3，y4的增加值，哪個變量的增加值最大，則該變量關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化．[解析]

以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化．從表格中可以看出，四個變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，變量y1，y2，y3，y4都是越來越大，但是增長速率不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化．[答案]

y2[規(guī)律總結(jié)]

解決本題的關(guān)鍵是如何確定變量間的關(guān)系是指數(shù)函數(shù)關(guān)系，不能僅僅根據(jù)自變量較大時對應(yīng)的函數(shù)值，還要看函數(shù)值的變化趨勢．第15頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三下面是f(x)隨x的增大而得到的函數(shù)值表：x2xx22x＋7log2x12190244111389131.5854161615253225172.32266436192.585712849212.807825664233951281253.170101024100273.322第16頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三試問：(1)隨著x的增大，各函數(shù)的函數(shù)值有什么共同的變化趨勢？(2)各函數(shù)增長速度快慢有什么不同？[解析]

(1)隨著x的增大，各函數(shù)的函數(shù)值都在增大．(2)由圖表可以看出：各函數(shù)增長速度快慢不同，其中f(x)＝2x的增長速度最快，而且越來越快；其次為f(x)＝x2，增長的幅度也在變大；而f(x)＝2x＋7增長速度不變；增長速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增長的幅度越來越?。?7頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三[規(guī)律總結(jié)]

對于三種函數(shù)增長的幾點說明：(1)對于冪函數(shù)y＝xn，當x＞0，n＞0時，y＝xn才是增函數(shù)，當n越大時，增長速度越快．(2)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的遞增前提是a＞1，又它們的圖象關(guān)于y＝x對稱，從而可知，當a越大，y＝ax增長越快；當a越小，y＝logax增長越快，一般來說，ax＞logax(x＞0，a＞1)．(3)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)，當x＞0，n＞0，a＞1時，可能開始時有xn＞ax，但因指數(shù)函數(shù)是爆炸型函數(shù)，當x大于某一個確定值x0后，就一定有ax＞xn.第18頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三

函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如下圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷f(6)，g(6)，f(2015)，g(2015)的大?。畧D象信息遷移題第19頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三探究1.隨著自變量x的增大，圖象位于上方的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y＝2x，另一個函數(shù)就是冪函數(shù)y＝x3.[解析]

(1)C1對應(yīng)的函數(shù)g(x)＝x3，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10，∴x1<6<x2,2015>x2.從圖象上可以看出，當x1<x<x2時，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．當x>x2時，f(x)>g(x)，∴f(2015)>g(2015)．又g(2015)>g(6)，∴f(2015)>g(2015)>g(6)>f(6)．第20頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如右圖所示．(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點為分界點，對f(x)，g(x)的大小進行比較)．第21頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三[解析]

(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.(2)當x<x1時，g(x)>f(x)；當x1<x<x2時，f(x)>g(x)；當x>x2時，g(x)>f(x)．第22頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三

某皮鞋廠今年1月份開始投產(chǎn)，并且前4個月的產(chǎn)量分別為1萬雙，1.2萬雙，1.3萬雙，1.37萬雙．由于產(chǎn)品質(zhì)量好、款式新穎，前幾個月的銷售情況良好．為了推銷員在推銷產(chǎn)品時，接受訂單不至于過多或過少，需要估計以后幾個月的產(chǎn)量．廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程．廠里也暫時不準備增加設(shè)備和工人．假如你是廠長，就月份x，產(chǎn)量為y給出三種函數(shù)模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你將利用哪一種模型去估算以后幾個月的產(chǎn)量？函數(shù)模型的選擇●探索延拓第23頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三探究1.本題是通過數(shù)據(jù)驗證，確定系數(shù)，然后分析確定函數(shù)變化情況，最終找出與實際最接近的函數(shù)模型．第24頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三第25頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三第26頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三第27頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三比較上述四個模擬函數(shù)的優(yōu)劣，既要考慮到誤差最小，又要考慮生產(chǎn)的實際，如：增產(chǎn)的趨勢和可能性．經(jīng)過篩選，以指數(shù)函數(shù)模擬為最佳，一是誤差小，二是由于廠房新建，隨著工人技術(shù)和管理效益逐漸提高，一段時間內(nèi)產(chǎn)量會明顯上升，但經(jīng)過一段時間之后，如果不更新設(shè)備，產(chǎn)量必然趨于穩(wěn)定，而指數(shù)函數(shù)模型恰好反映了這種趨勢．因此選用指數(shù)函數(shù)y＝－0.8×0.5x＋1.4模擬比較接近客觀實際．第28頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三[規(guī)律總結(jié)]

本題是對數(shù)據(jù)進行函數(shù)模擬，選擇最符合客觀實際的模擬函數(shù)．一般思路為：先畫出散點圖，然后作出模擬函數(shù)的圖象，選擇適當?shù)膸追N函數(shù)模型后，再加以驗證．函數(shù)模型的建立是最大的難點，另外運算量較大，須借助計算器或計算機進行數(shù)據(jù)處理，函數(shù)模型的可靠性與合理性既需要數(shù)據(jù)檢驗，又必須符合實際．第29頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三某私立學(xué)校為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標，準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？第30頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三第31頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三[規(guī)律總結(jié)]

不同的函數(shù)增長模型能刻畫現(xiàn)實世界中不同的變化規(guī)律：(1)線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律；(2)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規(guī)律；(3)對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律；(4)冪函數(shù)增長模型適合于描述增長速度一般的