高中數(shù)學(xué)第一章解三角形練習(xí)含解析人教A版必修

PAGEPAGE40正弦定理(一)課時(shí)目標(biāo)1．熟記正弦定理的內(nèi)容；2．能夠初步運(yùn)用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，eq\f(A,2)＋eq\f(B,2)＋eq\f(C,2)＝eq\f(π,2).2．在Rt△ABC中，C＝eq\f(π,2)，則eq\f(a,c)＝sin_A，eq\f(b,c)＝sin_B.3．一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形．4．正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，這個(gè)比值是三角形外接圓的直徑2R.一、選擇題1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，則a∶b∶c等于()A．1∶2∶3B．2∶3∶4C．3∶4∶5D．1∶eq\r(3)∶2答案D2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，則邊b的值為()A.eq\r(3)＋1B．2eq\r(3)＋1C．2eq\r(6)D．2＋2eq\r(3)答案C解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(4,sin45°)＝eq\f(b,sin60°)，∴b＝2eq\r(6).3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，則△A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等邊三角形D．等腰三角形答案A解析sin2A＝sin2B＋sin2C?(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c24．在△ABC中，若sinA>sinB，則角A與角B的大小關(guān)系為()A．A>BB．A<BC．A≥BD．A，B的大小關(guān)系不能確定答案A解析由sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B.5．在△ABC中，A＝60°，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，則B等于()A．45°或135°B．60°C．45°D．135°答案C解析由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2)sin60°,\r(3))＝eq\f(\r(2),2).∵a>b，∴A>B，B<60°∴B＝45°.6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，如果c＝eq\r(3)a，B＝30°，那么角C等于()A．120°B．105°C．90°D．75°答案A解析∵c＝eq\r(3)a，∴sinC＝eq\r(3)sinA＝eq\r(3)sin(180°－30°－C)＝eq\r(3)sin(30°＋C)＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinC＋\f(1,2)cosC))，即sinC＝－eq\r(3)cosC.∴tanC＝－eq\r(3).又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.二、填空題7．在△ABC中，AC＝eq\r(6)，BC＝2，B＝60°，則C＝_________.答案75°解析由正弦定理得eq\f(2,sinA)＝eq\f(\r(6),sin60°)，∴sinA＝eq\f(\r(2),2).∵BC＝2<AC＝eq\r(6)，∴A為銳角．∴A＝45°.∴C＝75°.8．在△ABC中，若tanA＝eq\f(1,3)，C＝150°，BC＝1，則AB＝________.答案eq\f(\r(10),2)解析∵tanA＝eq\f(1,3)，A∈(0°，180°)，∴sinA＝eq\f(\r(10),10).由正弦定理知eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，∴AB＝eq\f(BCsinC,sinA)＝eq\f(1×sin150°,\f(\r(10),10))＝eq\f(\r(10),2).9．在△ABC中，b＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(2π,3)，則a＝________.答案1解析由正弦定理，得eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝eq\f(1,sinB)，∴sinB＝eq\f(1,2).∵C為鈍角，∴B必為銳角，∴B＝eq\f(π,6)，∴A＝eq\f(π,6).∴a＝b＝1.10．在△ABC中，已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若b＝2a，B＝A＋60°，則A答案30°解析∵b＝2a∴sinB＝2sinA，又∵B＝A∴sin(A＋60°)＝2sinA即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA，化簡(jiǎn)得：sinA＝eq\f(\r(3),3)cosA，∴tanA＝eq\f(\r(3),3)，∴A＝30°.三、解答題11．在△ABC中，已知a＝2eq\r(2)，A＝30°，B＝45°，解三角形．解∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(2\r(2)sin45°,sin30°)＝eq\f(2\r(2)×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝4.∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2\r(2)sin105°,sin30°)＝eq\f(2\r(2)sin75°,\f(1,2))＝2＋2eq\r(3).12．在△ABC中，已知a＝2eq\r(3)，b＝6，A＝30°，解三角形．解a＝2eq\r(3)，b＝6，a<b，A＝30°<90°.又因?yàn)閎sinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，所以本題有兩解，由正弦定理得：sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(6sin30°,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，故B＝60°或120°.當(dāng)B＝60°時(shí)，C＝90°，c＝eq\r(a2＋b2)＝4eq\r(3)；當(dāng)B＝120°時(shí)，C＝30°，c＝a＝2eq\r(3).所以B＝60°，C＝90°，c＝4eq\r(3)或B＝120°，C＝30°，c＝2eq\r(3).能力提升13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＋cosB＝eq\r(2)，則角A的大小為_(kāi)_______．答案eq\f(π,6)解析∵sinB＋cosB＝eq\r(2)sin(eq\f(π,4)＋B)＝eq\r(2).∴sin(eq\f(π,4)＋B)＝1.又0<B<π，∴B＝eq\f(π,4).由正弦定理，得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(2)×\f(\r(2),2),2)＝eq\f(1,2).又a<b，∴A<B，∴A＝eq\f(π,6).14．在銳角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所對(duì)的角分別為A，B，C，求eq\f(a,b)的取值范圍．解在銳角三角形ABC中，A，B，C<90°，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B<90°，,2B<90°，,180°－3B<90°，))∴30°<B<45°.由正弦定理知：eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(sin2B,sinB)＝2cosB∈(eq\r(2)，eq\r(3))，故eq\f(a,b)的取值范圍是(eq\r(2)，eq\r(3))．1．利用正弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：(1)已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角．(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和兩角．2．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求第三邊和其它兩個(gè)角，這時(shí)三角形解的情況比較復(fù)雜，可能無(wú)解，可能一解或兩解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B時(shí)的各種情況.A為銳角a<bsinAa＝bsinAbsinA<a<ba≥b無(wú)解一解(直角)兩解(一銳角，一鈍角)一解(銳角)A為直角或鈍角a≤ba>b無(wú)解一解(銳角)1.1.1正弦定理(二)課時(shí)目標(biāo)1．熟記正弦定理的有關(guān)變形公式；2．能夠運(yùn)用正弦定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理與證明．1．正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R的常見(jiàn)變形：(1)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；(2)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R；(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).2．三角形面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB.一、選擇題1．在△ABC中，sinA＝sinB，則△ABC是()A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形答案D2．在△ABC中，若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC是()A．直角三角形B．等邊三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinC,cosC)，∴tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.3．在△ABC中，sinA＝eq\f(3,4)，a＝10，則邊長(zhǎng)c的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)，＋∞))B．(10，＋∞)C．(0,10)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(40,3)))答案D解析∵eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(40,3)，∴c＝eq\f(40,3)sinC.∴0<c≤eq\f(40,3).4．在△ABC中，a＝2bcosC，則這個(gè)三角形一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案A解析由a＝2bcosC得，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于()A．6∶5∶4B．7∶5∶3C．3∶5∶7D．4∶5∶6答案B解析∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴eq\f(b＋c,4)＝eq\f(c＋a,5)＝eq\f(a＋b,6).令eq\f(b＋c,4)＝eq\f(c＋a,5)＝eq\f(a＋b,6)＝k(k>0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝4k,c＋a＝5k,a＋b＝6k))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(7,2)k,b＝\f(5,2)k,c＝\f(3,2)k)).∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.6．已知三角形面積為eq\f(1,4)，外接圓面積為π，則這個(gè)三角形的三邊之積為()A．1B．2C.eq\f(1,2)D．4答案A解析設(shè)三角形外接圓半徑為R，則由πR2＝π，得R＝1，由S△＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(abc,4)＝eq\f(1,4)，∴abc＝1.二、填空題7．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝________.答案2eq\r(3)解析∵cosC＝eq\f(1,3)，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3)，∴eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3).8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A＝60°，a＝eq\r(3)，b＝1，則c＝________.答案2解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(\r(3),sin60°)＝eq\f(1,sinB)，∴sinB＝eq\f(1,2)，故B＝30°或150°.由a>b，得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，由勾股定理得c＝2.9．在單位圓上有三點(diǎn)A，B，C，設(shè)△ABC三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝________.答案7解析∵△ABC的外接圓直徑為2R＝2，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R＝2，∴eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝2＋1＋4＝7.10．在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq\r(3)，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________，c＝________.答案126解析eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(6\r(3),\f(\r(3),2))＝12.∵S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6eq\r(3)×12sinC＝18eq\r(3)，∴sinC＝eq\f(1,2)，∴eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝12，∴c＝6.三、解答題11．在△ABC中，求證：eq\f(a－ccosB,b－ccosA)＝eq\f(sinB,sinA).證明因?yàn)樵凇鰽BC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，所以左邊＝eq\f(2RsinA－2RsinCcosB,2RsinB－2RsinCcosA)＝eq\f(sinB＋C－sinCcosB,sinA＋C－sinCcosA)＝eq\f(sinBcosC,sinAcosC)＝eq\f(sinB,sinA)＝右邊．所以等式成立，即eq\f(a－ccosB,b－ccosA)＝eq\f(sinB,sinA).12．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，試判斷△ABC的形狀．解設(shè)三角形外接圓半徑為R，則a2tanB＝b2tanA?eq\f(a2sinB,cosB)＝eq\f(b2sinA,cosA)?eq\f(4R2sin2AsinB,cosB)＝eq\f(4R2sin2BsinA,cosA)?sinAcosA＝sinBcosB?sin2A＝sin2?2A＝2B或2A＋2?A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．能力提升13．在△ABC中，B＝60°，最大邊與最小邊之比為(eq\r(3)＋1)∶2，則最大角為()A．45°B．60°C．75°D．90°答案C解析設(shè)C為最大角，則A為最小角，則A＋C＝120°，∴eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(120°－A)),sinA)＝eq\f(sin120°cosA－cos120°sinA,sinA)＝eq\f(\r(3),2tanA)＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3)＋1,2)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)，∴tanA＝1，A＝45°，C＝75°.14．在△ABC中，a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面積S.解cosB＝2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(3,5)，故B為銳角，sinB＝eq\f(4,5).所以sinA＝sin(π－B－C)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－B))＝eq\f(7\r(2),10).由正弦定理得c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(10,7)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2×eq\f(10,7)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,7).1．在△ABC中，有以下結(jié)論：(1)A＋B＋C＝π；(2)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；(3)eq\f(A＋B,2)＋eq\f(C,2)＝eq\f(π,2)；(4)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)，taneq\f(A＋B,2)＝eq\f(1,tan\f(C,2)).2．借助正弦定理可以進(jìn)行三角形中邊角關(guān)系的互化，從而進(jìn)行三角形形狀的判斷、三角恒等式的證明．1．1.2余弦定理(一)課時(shí)目標(biāo)1．熟記余弦定理及其推論；2．能夠初步運(yùn)用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.2．余弦定理的推論cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).3．在△ABC中：(1)若a2＋b2－c2＝0，則C＝90°；(2)若c2＝a2＋b2－ab，則C＝60°；(3)若c2＝a2＋b2＋eq\r(2)ab，則C＝135°.一、選擇題1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，則c等于()A.eq\r(3)B．3C.eq\r(5)D．5答案A2．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，則△ABC的最小角為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,12)答案B解析∵a>b>c，∴C為最小角，由余弦定理cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).∴C＝eq\f(π,6).3．在△ABC中，已知a＝2，則bcosC＋ccosB等于()A．1B.eq\r(2)C．2D．4答案C解析bcosC＋ccosB＝b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq\f(2a2,2a)＝a＝2.4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，則cosBA.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)答案B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝eq\r(2)a，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,2a·2a)＝eq\f(3,4).5．在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊)，則△ABC的形狀為()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形答案B解析∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC為直角三角形．6．在△ABC中，已知面積S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，則角C的度數(shù)為()A．135°B．45°C．60°D．120°答案B解析∵S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)＝eq\f(1,2)absinC，∴a2＋b2－c2＝2absinC，∴c2＝a2＋b2－2absinC.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，∴sinC＝cosC，∴C＝45°.二、填空題7．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，則A＝________.答案120°8．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，則A＝________.答案30°解析c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋42－2×2×4×cos60°＝12∴c＝2eq\r(3).由正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)得sinA＝eq\f(1,2).∵a<c，∴A<60°，A＝30°.9．三角形三邊長(zhǎng)為a，b，eq\r(a2＋ab＋b2)(a>0，b>0)，則最大角為_(kāi)_______．答案120°解析易知：eq\r(a2＋ab＋b2)>a，eq\r(a2＋ab＋b2)>b，設(shè)最大角為θ，則cosθ＝eq\f(a2＋b2－\r(a2＋ab＋b2)2,2ab)＝－eq\f(1,2)，∴θ＝120°.10．在△ABC中，BC＝1，B＝eq\f(π,3)，當(dāng)△ABC的面積等于eq\r(3)時(shí)，tanC＝________.答案－2eq\r(3)解析S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\r(3)，∴c＝4.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝13，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,\r(13))，sinC＝eq\f(\r(12),\r(13))，∴tanC＝－eq\r(12)＝－2eq\r(3).三、解答題11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，試求AC邊上的中線長(zhǎng)．解由條件知：cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2·AB·AC)＝eq\f(92＋82－72,2×9×8)＝eq\f(2,3)，設(shè)中線長(zhǎng)為x，由余弦定理知：x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＋AB2－2·eq\f(AC,2)·ABcosA＝42＋92－2×4×9×eq\f(2,3)＝49?x＝7.所以，所求中線長(zhǎng)為7.12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長(zhǎng)；(3)求△ABC的面積．解(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,2)，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.(2)∵a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2.))∴AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝eq\r(10).(3)S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),2).能力提升13．(2010·濰坊一模)在△ABC中，AB＝2，AC＝eq\r(6)，BC＝1＋eq\r(3)，AD為邊BC上的高，則AD的長(zhǎng)是________．答案eq\r(3)解析∵cosC＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2×BC×AC)＝eq\f(\r(2),2)，∴sinC＝eq\f(\r(2),2).∴AD＝AC·sinC＝eq\r(3).14．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，試判斷三角形的形狀．解由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知條件得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋c·eq\f(c2－a2－b2,2ab)＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展開(kāi)整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形．1．利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：(1)已知兩邊和夾角，解三角形．(2)已知三邊求三角形的任意一角．2．余弦定理與勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．1.2余弦定理(二)課時(shí)目標(biāo)1．熟練掌握正弦定理、余弦定理；2．會(huì)用正、余弦定理解三角形的有關(guān)問(wèn)題．1．正弦定理及其變形(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(4)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c.2．余弦定理及其推論(1)a2＝b2＋c2－2bccos_A.(2)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C為直角；c2>a2＋b2?C為鈍角；c2<a2＋b2?C為銳角．3．在△ABC中，邊a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C，則有：(1)A＋B＋C＝π，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).(2)sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C.(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).一、選擇題1．已知a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，若滿足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則∠C的大小為()A．60°B．90°C．120°D．150°答案C解析∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，即eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2)，∴cosC＝－eq\f(1,2)，∴∠C＝120°.2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形答案C解析∵2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，∴A＝B.3.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，則這個(gè)三角形的最小外角為()A．30°B．60°C．90°D．120°答案B解析∵a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，不妨設(shè)a＝3，b＝5，c＝7，C為最大內(nèi)角，則cosC＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2).∴C＝120°.∴最小外角為60°.4．△ABC的三邊分別為a，b，c且滿足b2＝ac,2b＝a＋c，則此三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形答案D解析∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若C＝120°，c＝eq\r(2)a，則()A．a(chǎn)>bB．a(chǎn)<bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)與b的大小關(guān)系不能確定答案A解析在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝eq\r(2)a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.6．如果將直角三角形的三邊增加同樣的長(zhǎng)度，則新三角形的形狀是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．由增加的長(zhǎng)度確定答案A解析設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)為a，b，c，且a2＋b2＝c2，則(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所對(duì)的最大角變?yōu)殇J角．二、填空題7．在△ABC中，邊a，b的長(zhǎng)是方程x2－5x＋2＝0的兩個(gè)根，C＝60°，則邊c＝________.答案eq\r(19)解析由題意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝eq\r(19).8．設(shè)2a＋1，a,2a－1為鈍角三角形的三邊，那么答案2<a<8解析∵2a－1>0，∴a>eq\f(1,2)，最大邊為2a＋1.∵三角形為鈍角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)化簡(jiǎn)得：0<a<8.又∵a＋2a－1>2∴a>2，∴2<a<8.9．已知△ABC的面積為2eq\r(3)，BC＝5，A＝60°，則△ABC的周長(zhǎng)是________．答案12解析S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(1,2)AB·AC·sin60°＝2eq\r(3)，∴AB·AC＝8，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝AB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC，∴(AB＋AC)2＝BC2＋3AB·AC＝49，∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周長(zhǎng)為12.10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq\r(3)，則△ABC外接圓的面積是________．答案eq\f(13π,3)解析S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)c＝eq\r(3)，∴c＝4，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA＝12＋42－2×1×4cos60°＝13，∴a＝eq\r(13).∴2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(13),\f(\r(3),2))＝eq\f(2\r(39),3)，∴R＝eq\f(\r(39),3).∴S外接圓＝πR2＝eq\f(13π,3).三、解答題11．在△ABC中，求證：eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sinA－B,sinC).證明右邊＝eq\f(sinAcosB－cosAsinB,sinC)＝eq\f(sinA,sinC)·cosB－eq\f(sinB,sinC)·cosA＝eq\f(a,c)·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)－eq\f(b,c)·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(a2＋c2－b2,2c2)－eq\f(b2＋c2－a2,2c2)＝eq\f(a2－b2,c2)＝左邊．所以eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sinA－B,sinC).12.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊的長(zhǎng)，cosB=，且·＝－21.(1)求△ABC的面積；(2)若a＝7，求角C.解（1）∵·＝－21，∴·=21.∴·=||·||·cosB=accosB=21.∴ac=35，∵cosB=，∴sinB=.∴S△ABC=acsinB=×35×=14.(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝32，∴b＝4eq\r(2).由正弦定理：eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB).∴sinC＝eq\f(c,b)sinB＝eq\f(5,4\r(2))×eq\f(4,5)＝eq\f(\r(2),2).∵c<b且B為銳角，∴C一定是銳角．∴C＝45°.能力提升13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，則角C的取值范圍是()A．0<C≤eq\f(π,6)B．0<C<eq\f(π,2)C.eq\f(π,6)<C<eq\f(π,2)D.eq\f(π,6)<C≤eq\f(π,3)答案A解析方法一(應(yīng)用正弦定理)∵eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，∴eq\f(1,sinC)＝eq\f(2,sinA)∴sinC＝eq\f(1,2)sinA，∵0<sinA≤1，∴0<sinC≤eq\f(1,2).∵AB<BC，∴C<A，∴C為銳角，∴0<C≤eq\f(π,6).方法二(應(yīng)用數(shù)形結(jié)合)如圖所示，以B為圓心，以1為半徑畫圓，則圓上除了直線BC上的點(diǎn)外，都可作為A點(diǎn)．從點(diǎn)C向圓B作切線，設(shè)切點(diǎn)為A1和A2，當(dāng)A與A1、A2重合時(shí)，角C最大，易知此時(shí)：BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝eq\f(π,6)，∴0<C≤eq\f(π,6).14．△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知b2＝ac且cosB＝eq\f(3,4).(1)求eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)的值；（2）設(shè)·=，求a+c的值.解(1)由cosB＝eq\f(3,4)，得sinB＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2)＝eq\f(\r(7),4).由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC.于是eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)＝eq\f(cosA,sinA)＋eq\f(cosC,sinC)＝eq\f(sinCcosA＋cosCsinA,sinAsinC)＝eq\f(sinA＋C,sin2B)＝eq\f(sinB,sin2B)＝eq\f(1,sinB)＝eq\f(4\r(7),7).(2)由·=得ca·cosB=由cosB＝eq\f(3,4)，可得ca＝2，即b2＝2.由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac·cosB得a2＋c2＝b2＋2ac·cosB∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c1．解斜三角形的常見(jiàn)類型及解法在三角形的6個(gè)元素中要已知三個(gè)(至少有一邊)才能求解，常見(jiàn)類型及其解法見(jiàn)下表：已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b與c.在有解時(shí)只有一解．兩邊和夾角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出小邊所對(duì)的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解時(shí)只有一解．三邊(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有一解時(shí)只有一解.兩邊和其中一邊的對(duì)角如(a，b，A)余弦定理正弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有兩解、一解或無(wú)解.2.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換．§1.2應(yīng)用舉例(一)課時(shí)目標(biāo)1．了解數(shù)學(xué)建模的思想；2．利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中的有關(guān)距離的問(wèn)題．1．基線的定義：在測(cè)量上，我們根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線．一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高．2．方位角：指從正北方向線按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角．如圖中的A點(diǎn)的方位角為α.3．計(jì)算不可直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離是正弦定理和余弦定理的重要應(yīng)用之一．一、選擇題1．若點(diǎn)P在點(diǎn)Q的北偏西45°10′方向上，則點(diǎn)Q在點(diǎn)P的()A．南偏西45°10′B．南偏西44°50′C．南偏東45°10′D．南偏東44°50′答案C2．已知兩燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離都等于akm，燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東20°方向上，燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東40°方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)kmB.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akmD．2akm答案B解析∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，∴由余弦定理得AB＝eq\r(3)a.3．海上有A、B兩個(gè)小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是()A．10eq\r(3)nmileB.eq\f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmileD．5eq\r(6)nmile答案D解析在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinB)∴eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(10,sin45°)解得BC＝5eq\r(6).4．如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離為()A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)mD.eq\f(25\r(2),2)m答案A解析由題意知∠ABC＝30°，由正弦定理eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sin∠ABC)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．5．如圖，一貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后到達(dá)N處，又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為()A．20(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/小時(shí)B．20(eq\r(6)－eq\r(2))海里/小時(shí)C．20(eq\r(6)＋eq\r(3))海里/小時(shí)D．20(eq\r(6)－eq\r(3))海里/小時(shí)答案B解析由題意，∠SMN＝45°，∠SNM＝105°，∠NSM＝30°.由正弦定理得eq\f(MN,sin30°)＝eq\f(MS,sin105°).∴MN＝eq\f(MSsin30°,sin105°)＝eq\f(10,\f(\r(6)＋\r(2),4))＝10(eq\r(6)－eq\r(2))．則v貨＝20(eq\r(6)－eq\r(2))海里/小時(shí)．6．甲船在島B的正南A處，AB＝10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是()A.eq\f(150,7)分鐘B.eq\f(15,7)小時(shí)C．21.5分鐘D．2.15分鐘答案A解析設(shè)行駛x小時(shí)后甲到點(diǎn)C，乙到點(diǎn)D，兩船相距ykm，則∠DBC＝180°－60°＝120°.∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos120°＝28x2－20x＋100＝28(x2－eq\f(5,7)x)＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,14)))2－eq\f(25,7)＋100∴當(dāng)x＝eq\f(5,14)(小時(shí))＝eq\f(150,7)(分鐘)時(shí)，y2有最小值．∴y最?。?、填空題7．如圖，A、B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_______．答案3eq\r(2－\r(2))8．如圖，A、N兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______．答案40eq\r(3)9．如圖所示，為了測(cè)定河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A、B，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則河的寬度為_(kāi)_____．答案60m解析在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°.∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB＝120m.作CD⊥AB，垂足為D，則CD即為河的寬度．由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，∴eq\f(120,sin90°)＝eq\f(CD,sin30°)，∴CD＝60(m)∴河的寬度為60m.10．太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽車測(cè)得小島在公路的南偏西15°的方向上，汽車行駛1km后，又測(cè)得小島在南偏西75°的方向上，則小島到公路的距離是________km.答案eq\f(\r(3),6)解析如圖，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)∴BC＝eq\f(1,sin60°)·sin15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km)．設(shè)C到直線AB的距離為d，則d＝BC·sin75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))·eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3),6)(km)．三、解答題11．如圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為12eq\r(6)nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在北偏東120°方向上，求：(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．解(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠B＝45°，由正弦定理得AD＝eq\f(ABsinB,sin∠ADB)＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(nmile)．(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°，解得CD＝8eq\r(3)≈14(nmile)．即A處與D處的距離為24nmile，燈塔C與D處的距離約為14nmile.12．如圖，為測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)的距離，在河的這邊測(cè)出CD的長(zhǎng)為eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B兩點(diǎn)間的距離．解在△BDC中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，則BC＝eq\f(CDsin30°,sin45°)＝eq\f(\r(6),4)(km)．在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD為正三角形．∴AC＝CD＝eq\f(\r(3),2)(km)．在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC＝eq\f(3,4)＋eq\f(6,16)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)，∴AB＝eq\f(\r(6),4)(km)．答河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)間距離為eq\f(\r(6),4)km.能力提升13．臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為()A．0.5小時(shí)B．1小時(shí)C．1.5小時(shí)D．2小時(shí)答案B解析設(shè)t小時(shí)時(shí)，B市恰好處于危險(xiǎn)區(qū)，則由余弦定理得：(20t)2＋402－2×20t×40·cos45°＝302.化簡(jiǎn)得：4t2－8eq\r(2)t＋7＝0，∴t1＋t2＝2eq\r(2)，t1·t2＝eq\f(7,4).從而|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝1.14．如圖所示，甲船以每小時(shí)30eq\r(2)海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10eq\r(2)海里．問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？解如圖所示，連結(jié)A1B2，由已知A2B2＝10eq\r(2)，A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(20,60)＝10eq\r(2)，∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2∴△A1A2B2是等邊三角形∴A1B2＝A1A2＝10eq\r(2).由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2在△A1B2B1中，由余弦定理，B1Beq\o\al(2,2)＝A1Beq\o\al(2,1)＋A1Beq\o\al(2,2)－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10eq\r(2))2－2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝200.∴B1B2＝10eq\r(2).因此，乙船速度的大小為eq\f(10\r(2),20)×60＝30eq\r(2)(海里/小時(shí))．答乙船每小時(shí)航行30eq\r(2)1．解三角形應(yīng)用問(wèn)題的基本思路是：實(shí)際問(wèn)題eq\o(→,\s\up7(畫圖))數(shù)學(xué)問(wèn)題eq\o(→,\s\up7(解三角形))數(shù)學(xué)問(wèn)題的解eq\o(→,\s\up7(檢驗(yàn)))實(shí)際問(wèn)題的解．2．測(cè)量距離問(wèn)題：這類問(wèn)題的情境一般屬于“測(cè)量有障礙物相隔的兩點(diǎn)間的距離”．在測(cè)量過(guò)程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，測(cè)量工具要有較高的精確度．§1.2應(yīng)用舉例(二)課時(shí)目標(biāo)1．利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中的有關(guān)高度的問(wèn)題．2．利用正、余弦定理及三角形面積公式解決三角形中的幾何度量問(wèn)題．1．仰角和俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平線下方時(shí)叫俯角．(如圖所示)2．已知△ABC的兩邊a、b及其夾角C，則△ABC的面積為eq\f(1,2)absinC.一、選擇題1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α與β的關(guān)系為()A．α>βB．α＝βC．α<βD．α＋β＝90°答案B2．設(shè)甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是()A．20eq\r(3)m，eq\f(40,3)eq\r(3)mB．10eq\r(3)m,20eq\r(3)mC．10(eq\r(3)－eq\r(2))m,20eq\r(3)mD.eq\f(15,2)eq\r(3)m，eq\f(20,3)eq\r(3)m答案A解析h甲＝20tan60°＝20eq\r(3)(m)．h乙＝20tan60°－20tan30°＝eq\f(40,3)eq\r(3)(m)．3．如圖，為測(cè)一樹(shù)的高度，在地面上選取A、B兩點(diǎn)，從A、B兩點(diǎn)分別測(cè)得望樹(shù)尖的仰角為30°，45°，且A、B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹(shù)的高度為()A．30＋30eq\r(3)mB．30＋15eq\r(3)mC．15＋30eq\r(3)mD．15＋3eq\r(3)m答案A解析在△PAB中，由正弦定理可得eq\f(60,sin45°－30°)＝eq\f(PB,sin30°)，PB＝eq\f(60×\f(1,2),sin15°)＝eq\f(30,sin15°)，h＝PBsin45°＝(30＋30eq\r(3))m.4．從高出海平面h米的小島看正東方向有一只船俯角為30°，看正南方向一只船俯角為45°，則此時(shí)兩船間的距離為()A．2h米B.eq\r(2)h米C.eq\r(3)h米D．2eq\r(2)h米答案A解析如圖所示，BC＝eq\r(3)h，AC＝h，∴AB＝eq\r(3h2＋h2)＝2h.5．在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為θ，對(duì)著山峰在平行地面上前進(jìn)600m后測(cè)仰角為原來(lái)的2倍，繼續(xù)在平行地面上前進(jìn)200eq\r(3)m后，測(cè)得山峰的仰角為原來(lái)的4倍，則該山峰的高度是()A．200mB．300mC．400mD．100eq\r(3)m答案B解析如圖所示，600·sin2θ＝200eq\r(3)·sin4θ，∴cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，∴θ＝15°，∴h＝200eq\r(3)·sin4θ＝300(m)．6．平行四邊形中，AC＝eq\r(65)，BD＝eq\r(17)，周長(zhǎng)為18，則平行四邊形面積是()A．16B．17.5C答案A解析設(shè)兩鄰邊AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，則a＋b＝9，a2＋b2－2abcosα＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.解得：a＝5，b＝4，cosα＝eq\f(3,5)或a＝4，b＝5，cosα＝eq\f(3,5)，∴S?ABCD＝absinα＝16.二、填空題7．甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的eq\r(3)倍，則甲船應(yīng)取方向__________才能追上乙船；追上時(shí)甲船行駛了________海里．答案北偏東30°eq\r(3)a解析如圖所示，設(shè)到C點(diǎn)甲船追上乙船，乙到C地用的時(shí)間為t，乙船速度為v，則BC＝tv，AC＝eq\r(3)tv，B＝120°，由正弦定理知eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，∴eq\f(1,sin∠CAB)＝eq\f(\r(3),sin120°)，∴sin∠CAB＝eq\f(1,2)，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝a，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝a2＋a2－2a2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，∴AC＝eq\r(3)a.8．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面積為10eq\r(3)，則其周長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案20解析設(shè)AB＝8k，AC＝5k，k>0，則S＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝10eq\r(3)k2＝10eq\r(3).∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝82＋52－2×8×5×eq\f(1,2)＝49.∴BC＝7，∴周長(zhǎng)為：AB＋BC＋CA＝20.9．已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6，一腰長(zhǎng)為12，則它的內(nèi)切圓面積為_(kāi)_______．答案eq\f(27π,5)解析不妨設(shè)三角形三邊為a，b，c且a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(122＋122－62,2×12×12)＝eq\f(7,8)，∴sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))2)＝eq\f(\r(15),8).由eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r＝eq\f(1,2)bcsinA得r＝eq\f(3\r(15),5).∴S內(nèi)切圓＝πr2＝eq\f(27π,5).10．某艦艇在A處測(cè)得遇險(xiǎn)漁船在北偏東45°，距離為10nmile的C處，此時(shí)得知，該漁船沿北偏東105°方向，以每小時(shí)9nmile的速度向一小島靠近，艦艇時(shí)速21nmile，則艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間是______小時(shí)．答案eq\f(2,3)解析設(shè)艦艇和漁船在B處相遇，則在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，設(shè)艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間為t，則AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，則(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos120°，解得t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍)．三、解答題11．如圖所示，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角為α，在塔底C處測(cè)得A處的俯角為β.已知鐵塔BC部分的高為h，求山高CD.解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.根據(jù)正弦定理得：eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，即eq\f(AC,sin90°－α)＝eq\f(BC,sinα－β)，∴AC＝eq\f(BCcosα,sinα－β)＝eq\f(hcosα,sinα－β).在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝eq\f(hcosαsinβ,sinα－β).即山高CD為eq\f(hcosαsinβ,sinα－β).12．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積．解連接BD，則四邊形面積S＝S△ABD＋S△CBD＝eq\f(1,2)AB·AD·sinA＋eq\f(1,2)BC·CD·sinC.∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC.∴S＝eq\f(1,2)(AB·AD＋BC·CD)·sinA＝16sinA.由余弦定理：在△ABD中，BD2＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA，在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cosC＝52－48cosC，∴20－16cosA＝52－48cosC.又cosC＝－cosA，∴cosA＝－eq\f(1,2).∴A＝120°.∴四邊形ABCD的面積S＝16sinA＝8eq\r(3).能力提升13．如圖所示，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A處測(cè)得水深A(yù)D＝80m，于B處測(cè)得水深BE＝200m，于C處測(cè)得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．解作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝eq\r(MF2＋DM2)＝eq\r(302＋1702)＝10eq\r(298)(m)，DE＝eq\r(DN2＋EN2)＝eq\r(502＋1202)＝130(m)，EF＝eq\r(BE－FC2＋BC2)＝eq\r(902＋1202)＝150(m)．在△DEF中，由余弦定理的變形公式，得cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(1302＋1502－102×298,2×130×150)＝eq\f(16,65).即∠DEF的余弦值為eq\f(16,65).14．江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連成30°角，求兩條船之間的距離．解如圖所示：∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°∵AB＝30，∴BC＝30，BD＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3).在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，∴CD＝30，即兩船相距30m.1．測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題．由于底部不可到達(dá)，這類問(wèn)題不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計(jì)算出建筑物頂部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題．2．測(cè)量角度就是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要求出所求的角．第一章解三角形復(fù)習(xí)課課時(shí)目標(biāo)1．掌握正弦定理、余弦定理的內(nèi)容，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題．2．能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．一、選擇題1．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，則B等于()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不對(duì)答案C解析sinB＝b·eq\f(sinA,a)＝eq\f(\r(2),2)，且b<a，∴B＝45°.2．在△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，則△ABC是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形答案C解析cosAcosB>sinAsinB?cos(A＋B)>0，∴A＋B<90°，∴C>90°，C為鈍角．3．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，則k的取值范圍是()A．(2，＋∞)B．(－∞，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案D解析由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>c,a＋c>b))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2k＋1>2mk,3mk>mk＋1))，∴k>eq\f(1,2).4．如圖所示，D、C、B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC＝a，從C、D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別是β、α(β<α)．則A點(diǎn)離地面的高AB等于()A.eq\f(asinαsinβ,sinα－β)B.eq\f(asinαsinβ,cosα－β)C.eq\f(asinαcosβ,sinα－β)D.eq\f(acosαcosβ,cosα－β)答案A解析設(shè)AB＝h，則AD＝eq\f(h,sinα)，在△ACD中，∵∠CAD＝α－β，∴eq\f(CD,sinα－β)＝eq\f(AD,sinβ).∴eq\f(a,sinα－β)＝eq\f(h,sinαsinβ)，∴h＝eq\f(asinαsinβ,sinα－β).5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面積為220eq\r(3)，那么BC的長(zhǎng)度為()A．25B．51C．49eq\r(3)D．49答案D解析S△ABC