北師大版必修第二冊(cè)6-5-1直線與平面垂直學(xué)案

5.5垂直關(guān)系5.5.1直線與平面垂直新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.借助生活中的實(shí)物之間的位置關(guān)系，理解空間中直線與平面垂直的位置關(guān)系．2．掌握用幾何圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表示空間直線與平面垂直的位置關(guān)系.1.理解并掌握直線與平面垂直的定義，明確定義中“任何”兩字的重要性．(直觀想象、邏輯推理)2．理解直線和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言描述定理．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)3．理解直線和平面垂直的判定定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言描述定理．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)4．了解直線與平面所成的角的含義，并知道其求法．(直觀想象、邏輯推理)課前篇·自主學(xué)習(xí)預(yù)案1.直線與平面垂直(1)文字?jǐn)⑹觯喝绻本€l與平面α內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱直線l與平面α垂直，記作l⊥α.直線l稱為平面α的垂線，平面α稱為直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P稱為垂足．(2)符號(hào)表示：任意a?α，都有l(wèi)⊥a?l⊥α.(3)圖形表示：2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)文字?jǐn)⑹觯捍怪庇谕粋€(gè)平面的兩條直線________．(2)符號(hào)表示：a⊥α，b⊥α?a∥b.(3)圖形表示：3.直線到平面的距離如果一條直線與平面平行，那么這條直線上________到平面的距離就是這條直線到這個(gè)平面的距離．4.直線與平面所成的角(1)定義：一條直線與一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線稱為這個(gè)平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)A稱為斜足．過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面作垂線，過(guò)垂足O和斜足A的直線AO稱為斜線在這個(gè)平面上的投影．平面的一條斜線與它在平面上的投影所成的銳角，叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角．如圖，∠PAO就是斜線AP與平面α所成的角．(2)當(dāng)直線AP與平面垂直時(shí)，它們所成的角是90°.(3)當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，它們所成的角是0°.5.直線與平面垂直的判定定理(1)文字?jǐn)⑹觯喝绻粭l直線與一個(gè)平面內(nèi)的________垂直，那么該直線與此平面垂直．(2)圖形表示：(3)符號(hào)表示：a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A?l⊥α.答案：2.(1)平行3.任意一點(diǎn)5.(1)兩條相交直線課堂篇·研習(xí)討論導(dǎo)案研習(xí)1直線與平面垂直的正確理解(直觀想象、數(shù)學(xué)抽象)[典例1]1.設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m2.從圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上)，過(guò)該點(diǎn)作另一個(gè)底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．相交或平行3.下列命題中，正確的序號(hào)是________．①若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α；②若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒(méi)有與l垂直的直線；④若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直；⑤過(guò)一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條．[自主記](méi)1.[答案]B2.[答案]B3.[答案]④⑤[巧歸納]直線與平面垂直定義的“雙向”作用(1)證明線面垂直若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線都垂直，則該直線與已知平面垂直．即線線垂直?線面垂直．(2)證明線線垂直若一條直線與一個(gè)平面垂直，則該直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直．即線面垂直?線線垂直.研習(xí)2直線與平面垂直的性質(zhì)定理和判定定理的應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)[典例2]如圖所示，直角△ABC所在的平面外一點(diǎn)S，SA＝SB＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)．求證：直線SD⊥平面ABC．四步內(nèi)容理解題意條件：直角△ABC所在的平面外一點(diǎn)S，SA＝SB＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)．結(jié)論：直線SD⊥平面ABC．思路探求證明直線和平面垂直，必須在平面內(nèi)找到兩條相交直線和此直線垂直．書(shū)寫(xiě)表達(dá)【證明】因?yàn)镾A＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC．如圖，連接BD，在Rt△ABC中，則AD＝DC＝BD，所以△ADS≌△BDS，所以∠ADS＝∠BDS，所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性：立體幾何中的證明問(wèn)題，需要特別注意符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范性，證明線面垂直，條件一定要寫(xiě)全，不能有遺漏，特別是相交這個(gè)條件．題后反思證明線面垂直的關(guān)鍵是找到線線垂直，還要注意“相交”．[巧歸納]線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化[練習(xí)1]如圖，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，求證：DF∥平面ABC．證明：取AB的中點(diǎn)G，連接FG，CG，可得FG∥AE，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)AE.因?yàn)镃D⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，所以CD∥AE.又因?yàn)镃D＝eq\f(1,2)AE.所以FG∥CD，F(xiàn)G＝CD．所以四邊形CDFG是平行四邊形，所以DF∥CG.又因?yàn)镃G?平面ABC，DF?平面ABC，所以DF∥平面ABC．研習(xí)3線面垂直中的計(jì)算問(wèn)題(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1求距離[典例3]已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝eq\r(2)，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，SA＝SB＝2，SC＝eq\r(5)，點(diǎn)P是SC的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面ABC的距離．[自主記](méi)[解]如圖所示，連接PA，PB．易知△SAC，△ACB是直角三角形，所以SA⊥AC，BC⊥AC．取AB，AC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PF，EF，PE，則EF∥BC，PF∥SA．所以EF⊥AC，PF⊥AC．因?yàn)镻F∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.又PE?平面PEF，所以PE⊥AC．易證△SAC≌△SBC．因?yàn)镻是SC的中點(diǎn)，所以PA＝PB．而E是AB的中點(diǎn)，所以PE⊥AB．因?yàn)锳B∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC．從而PE的長(zhǎng)就是點(diǎn)P到平面ABC的距離．在Rt△AEP中，AP＝eq\f(1,2)SC＝eq\f(\r(5),2)，AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(2),2)，所以PE＝eq\r(AP2－AE2)＝eq\r(\f(5,4)－\f(1,2))＝eq\f(\r(3),2)，即點(diǎn)P到平面ABC的距離為eq\f(\r(3),2).[變式探究]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，BB1＝2.(1)求異面直線B1C1與A1C所成角的正切值；(2)求直線B1C1與平面A1BC的距離．解：(1)因?yàn)锽1C1∥BC，所以∠A1CB(或其補(bǔ)角)是異直線B1C1與A1C所成角．因?yàn)锽C⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥A1B．在Rt△A1BC中，tan∠A1CB＝eq\f(A1B,BC)＝eq\f(\r(5),1)＝eq\r(5)，所以異面直線B1C1與A1C所成角的正切值為eq\r(5).(2)因?yàn)锽1C1∥平面A1BC，所以B1C1到平面A1BC的距離等于B1到平面A1BC的距離，設(shè)B1到平面A1BC的距離為d，因?yàn)閂B1－A1BC＝VC－A1BB1，所以eq\f(1,3)S△A1BC×d＝eq\f(1,3)S△A1BB1×BC，可得d＝eq\f(2\r(5),5)，直線B1C1與平面A1BC的距離為eq\f(2\r(5),5).角度2求直線與平面所成的角[典例4]如圖所示，在Rt△BMC中，斜邊BM＝5，它在平面ABC上的射影AB長(zhǎng)為4，∠MBC＝60°，求MC與平面CAB所成角的正弦值．[解]由題意知，AB是MB在平面ABC內(nèi)的射影，所以MA⊥平面ABC，所以MC在平面CAB內(nèi)的射影為AC．所以∠MCA即為直線MC與平面CAB所成的角．又因?yàn)樵赗t△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),2).在Rt△MAB中，MA＝eq\r(MB2－AB2)＝eq\r(52－42)＝3.在Rt△MAC中，sin∠MCA＝eq\f(MA,MC)＝eq\f(3,\f(5\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),5).即MC與平面CAB所成角的正弦值為eq\f(2\r(3),5).[解題策略]求直線與平面所成角的一般步驟(1)尋找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線．(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角．(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角.[練習(xí)2]1.如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60° B．45°C．30° D．120°答案：A2.如圖所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝________.答案：6解析：因?yàn)锳F⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE.又因?yàn)锳F＝DE，所以四邊形ADEF是平行四邊形．所以EF＝AD＝6.3.三棱錐S－ABC的所有棱長(zhǎng)都相等且為a，求．SA與底面ABC所成角的余弦值．解：如圖，過(guò)S作SO⊥平面ABC于點(diǎn)O，連接AO，BO，CO，則SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.因?yàn)镾A＝SB＝SC＝a，所以△SOA≌△SOB≌△SOC，所以AO＝BO＝CO，所以O(shè)為△ABC的外心．因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以O(shè)為△ABC的中心．因?yàn)镾O⊥平面ABC，所以∠SAO即為SA與平面ABC所成的角．在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，所以cos∠SAO＝eq\f(AO,SA)＝eq\f(\r(3),3)，所以SA與底面ABC所成角的余弦值為eq\f(\r(3),3).達(dá)標(biāo)篇·課堂速測(cè)演習(xí)1.直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能()A．平行 B．相交C．異面 D．垂直答案：A2.在正三棱錐P－ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，側(cè)棱長(zhǎng)為a，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為()A．a(chǎn) B．eq\f(\r(2),2)aC．eq\f(\r(3),3)a D．eq\r(3)a答案：C3.(教材二次開(kāi)發(fā)：練習(xí)改編)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α的關(guān)系是()A．l和平面α平行 B．l和平面α垂直C．l在平面α內(nèi) D．不能確定答案：D4.直線l與平面α所成的角為70°，直線l∥m，則m與α所成的角等于________．答案：70°解析：因?yàn)閘∥m，所以直線l與平面α所成的角等于m與α所成的角，又直線l與平面α所成的角為70°，所以m與α所成的角為70°.5.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是側(cè)面PBC上的一點(diǎn)，過(guò)D作平面ABC的垂線DE，其中D?PC，證明：DE∥平面PAC．證明：因?yàn)镈E⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，所以DE∥PA．又DE?平面PAC，PA?平面PAC，所以DE∥平面PAC．[方法技巧]分類(lèi)討論思想的應(yīng)用[示例]如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，問(wèn)BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，并說(shuō)明理由．[思路分析]先證AQ⊥QD，由于BC邊的長(zhǎng)度是不確定的，在BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使AQ⊥QD與a有關(guān)，應(yīng)對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論．[解析]解法一：連接AQ，因?yàn)镻A⊥平面AC，QD?平面AC，所以PA⊥QD．又因?yàn)镻Q⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ.所以AQ⊥QD．(1)當(dāng)0<a<2時(shí)，由四邊形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD為直徑的圓與BC無(wú)交點(diǎn)，即對(duì)BC上任一點(diǎn)Q，都有∠AQD<90°，此時(shí)BC邊上不存在點(diǎn)Q，使PQ⊥QD．(2)當(dāng)a＝2時(shí)，以AD為直徑的圓與BC相切于BC的中點(diǎn)Q，此時(shí)∠AQD＝90°，所以BC邊上存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD．(3)當(dāng)a>2時(shí)，以AD為直徑的圓與BC相交于點(diǎn)Q1，Q2，此時(shí)∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC邊上存在兩點(diǎn)滿足題意．解法二：如圖所示，假如存在點(diǎn)Q，使PQ⊥QD．連接AQ，PA⊥平面AC，∴PA⊥QD，又QD⊥PQ，PQ∩PA＝P，∴QD⊥平面PAQ，∴QD⊥AQ.不妨設(shè)AQ＝x(x>0)，則AQ2＝x2，QD2＝QC2＋CD2＝(a－eq\r(x2－1))2＋1，AD2＝a2，在Rt△AQD中，由勾股定理得x2＋(a－eq\r(x2－1))2＋1＝a2.即x4－a2x2＋a2＝0.令t＝x2，則t2－a2t＋a2＝0，(*)∵a>