北師大版選擇性必修第一冊(cè)7.2.1-7.2.2相關(guān)系數(shù)成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性分析學(xué)案

§2成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性2.1相關(guān)系數(shù)2.2成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能結(jié)合向量共線與夾角來(lái)理解相關(guān)系數(shù)公式,進(jìn)一步了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義,培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)建模能力.2.會(huì)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù),并能根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小判斷變量之間相關(guān)程度的強(qiáng)弱,提升數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).問(wèn)題1:如圖是一組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,若求出相應(yīng)的線性回歸方程,求出的線性回歸方程可以用作預(yù)測(cè)和估計(jì)嗎?提示:圖(1)中兩個(gè)變量線性相關(guān)性很弱,求出的線性回歸方程不能用作預(yù)測(cè)和估計(jì);圖(2)中兩個(gè)變量線性相關(guān)性很強(qiáng),求出的線性回歸方程能用作預(yù)測(cè)和估計(jì).1.相關(guān)系數(shù)一般地,設(shè)隨機(jī)變量X,Y的n組觀測(cè)值分別為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),記r=(x稱r為隨機(jī)變量X和Y的樣本(線性)相關(guān)系數(shù).r還可以表示為r=(xr=∑i=1n問(wèn)題2:兩個(gè)變量Y與X的回歸模型中,分別選擇了4個(gè)不同的模型,它們的相關(guān)系數(shù)r如表,其中擬合效果最好的模型是哪一個(gè)?模型模型1模型2模型3模型4相關(guān)系數(shù)r0.150.480.960.50提示:模型3.2.相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)(1)r的取值范圍為[-1,1];(2)|r|值越接近1,隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng);|r|值越接近0,隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度越弱;(3)當(dāng)r>0時(shí),兩個(gè)隨機(jī)變量的值總體上變化趨勢(shì)相同,此時(shí)稱兩個(gè)隨機(jī)變量正相關(guān);(4)當(dāng)r<0時(shí),兩個(gè)隨機(jī)變量的值總體上變化趨勢(shì)相反,此時(shí)稱兩個(gè)隨機(jī)變量負(fù)相關(guān);(5)當(dāng)r=0時(shí),此時(shí)稱兩個(gè)隨機(jī)變量線性不相關(guān).相關(guān)系數(shù)[例1](1)某相關(guān)變量X,Y的散點(diǎn)圖如圖所示,現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析,方案一,根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)分析,可得到線性回歸方程Y=1X+1,樣本相關(guān)系數(shù)為r1;方案二,剔除點(diǎn)(10,32),根據(jù)剩下數(shù)據(jù)分析,可得到線性回歸方程Y=2X+2,樣本相關(guān)系數(shù)為r2.則()

A.0<r1<r2<1 B.0<r2<r1<1C.-1<r1<r2<0D.-D.-1<r2<r1<0(2)(2021·山東威海第一中學(xué)月考)對(duì)變量X,Y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1)對(duì)變量U,V有觀測(cè)數(shù)據(jù)(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),r1表示變量X,Y之間的線性相關(guān)系數(shù),r2表示變量U,V之間的線性相關(guān)系數(shù),則()A.r2<r1<0 B.0<r2<r1C.r1<0<r2 D.r2=r1解析:(1)由題中散點(diǎn)圖可知,變量X和Y成正相關(guān),故0<r1<1,0<r2<1,在剔除點(diǎn)(10,32)之后,可看出X與Y之間的線性相關(guān)程度更強(qiáng),故r1<r2.所以0<r1<r2<1.故選A.(2)由條件可知,第一組中的數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān),相關(guān)系數(shù)小于零;第二組中的數(shù)據(jù)正相關(guān),相關(guān)系數(shù)大于零,所以有r1<0<r2.故選C.線性相關(guān)系數(shù)是從數(shù)值上來(lái)判斷變量間的線性相關(guān)程度,是定量的方法.與散點(diǎn)圖相比較,線性相關(guān)系數(shù)要精細(xì)得多.[針對(duì)訓(xùn)練](多選題)(2021·湖北十堰高二期末)相關(guān)變量X,Y的散點(diǎn)圖如圖所示,現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)分析.方案一:根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù),得到線性回歸方程Y=1X+1,相關(guān)系數(shù)為r1;方案二:剔除點(diǎn)(10,21),根據(jù)剩下的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程Y=2X+2,相關(guān)系數(shù)為r2.則()A.r1=r2 B.r1<r2C.r1>r2 D.r1,r2∈(-1,0)解析:由散點(diǎn)圖可知這兩個(gè)變量為負(fù)相關(guān),所以r1,r2<0.因?yàn)樘蕹c(diǎn)(10,21)后,剩下點(diǎn)的數(shù)據(jù)更具有線性相關(guān)性,|r2|更接近1,所以-1<r2<r1<0.故選CD.成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性[例2](2021·山東菏澤期中)隨著智能手機(jī)的普及,使用手機(jī)上網(wǎng)成為人們?nèi)粘Ｉ畹囊徊糠?很多消費(fèi)者對(duì)手機(jī)流量的需求越來(lái)越大,某通信公司為了更好地滿足消費(fèi)者對(duì)流量的需求,準(zhǔn)備推出一款流量包.該通信公司選了5個(gè)城市(總?cè)藬?shù)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況、消費(fèi)能力等方面比較接近),采用不同的定價(jià)方案作為試點(diǎn),經(jīng)過(guò)一個(gè)月的統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)該流量包的定價(jià)X(單位:元/月)和購(gòu)買人數(shù)Y(單位:萬(wàn)人)的關(guān)系如表:X3035404550Y18141085(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說(shuō)明,是否可以用線性回歸模型擬合Y與X的關(guān)系?并指出Y與X是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān).(2)①求出Y關(guān)于X的回歸方程;②若該通信公司在一個(gè)類似于試點(diǎn)的城市中將這款流量包的價(jià)格定為25元/月,請(qǐng)用所求回歸方程預(yù)測(cè)該市一個(gè)月內(nèi)購(gòu)買該流量包的人數(shù)能否超過(guò)20萬(wàn).附:25000≈158,26000≈161,=∑i=1n(xi-x)(解:(1)根據(jù)題意,得x=15×(30+35+40+45+50)=40,y=15可列表:i12345xi-x-10-50510yi-y73-1-3-6(xi-x)(yi-y)-70-150-15-60則∑i=15(xi-x)(yi∑i=15因此相關(guān)系數(shù)r=∑i=15(2)①由(1)得Y與X線性相關(guān),設(shè)回歸直線方程為Y=X+,則=∑i=15(xi-x)(y②由①知,若X=25,則Y=-0.64×25+36.6=20.6,故若將流量包的價(jià)格定為25元/月,則預(yù)測(cè)該市一個(gè)月內(nèi)購(gòu)買該流量包的人數(shù)能超過(guò)20萬(wàn).(1)散點(diǎn)圖可以直觀地判斷兩變量是否具有線性關(guān)系.(2)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算運(yùn)算量較大,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.[針對(duì)訓(xùn)練](2021·陜西二模)科研人員在對(duì)人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中,獲得了一些年齡和脂肪含量的樣本數(shù)據(jù),如表:X(年齡/歲)26273941495356586061Y(脂肪含量/%)14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到如圖所示的散點(diǎn)圖.(1)根據(jù)表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖,計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并刻畫它們的相關(guān)程度;(2)若Y關(guān)于X的線性回歸方程為Y=1.56+X,求的值(精確到0.01),并根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為50歲時(shí)人體的脂肪含量.附:y=27,∑i=110xiyi=13527.8,∑i=110x相關(guān)系數(shù)r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n解:(1)根據(jù)題表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖知,x=26+27+39+41+49+53+56+58+60+6110相關(guān)系數(shù)r=∑=13=13=837.所以r=837.由樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.98,可以推斷人體脂肪含量和年齡的相關(guān)程度很強(qiáng).(2)因?yàn)榛貧w方程為Y=1.56+X,即=1.56,所以=y-∧ax所以Y關(guān)于X的線性回歸方程為Y=0.54X+1.56,將X=50代入線性回歸方程得Y=0.54×50+1.56=28.56.所以根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為50歲時(shí)人的脂肪含量為28.56%.1.(2021·天津高二期末)對(duì)變量X,Y由觀測(cè)數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖1,對(duì)變量U,V由觀測(cè)數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖2,由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以推斷(D)A.X與Y正相關(guān),U與V正相關(guān)B.X與Y正相關(guān),U與V負(fù)相關(guān)C.X與Y負(fù)相關(guān),U與V負(fù)相關(guān)D.X與Y負(fù)相關(guān),U與V正相關(guān)解析:題圖1中的點(diǎn)分布在從左上角到右下角的帶狀區(qū)域內(nèi),所以X與Y負(fù)相關(guān);題圖2中的點(diǎn)分布在從左下角到右上角的帶狀區(qū)域內(nèi),所以U與V正相關(guān).故選D.2.(2022·山東聊城一中期中)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),獲得如圖所示的散點(diǎn)圖,關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較,正確的是(A)A.r1<r4<0<r3<r2 B.r4<r1<0<r3<r2C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3解析:由題圖可知,題圖2和題圖3是正相關(guān),題圖1和題圖4是負(fù)相關(guān),題圖1和題圖2的點(diǎn)相對(duì)更加集中,所以相關(guān)性更強(qiáng),所以r1接近于-1,r2接近于1,所以r1<r4<0<r3<r2.故選A.3.(2021·廣西玉林育才中學(xué)月考)已知r1表示變量X與Y之間的線性相關(guān)系數(shù),r2表示變量U與V之間的線性相關(guān)系數(shù),且r1=0.837,r2=-0.957,則(C)A.變量X與Y之間呈正相關(guān)關(guān)系,且X與Y之間的相關(guān)性強(qiáng)于U與V之間的相關(guān)性B.變量X與Y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系,且X與Y之間的相關(guān)性強(qiáng)于U與V之間的相關(guān)性C.變量U與V之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系,且X與Y之間的相關(guān)性弱于U與V之間的相關(guān)性D.變量U與V之間呈正相關(guān)關(guān)系,且X與Y之間的相關(guān)性弱于U與V之間的相關(guān)性解析:因?yàn)榫€性相關(guān)系數(shù)r1=0.837,r2=-0.957,所以變量X與Y之間呈正相關(guān)關(guān)系,變量U與V之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系,X與Y之間的相關(guān)性弱于U與V之間的相關(guān)性.故選C.[例1](2021·浙江麗水期末)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)各自對(duì)A,B兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn),并用回歸分析的方法分別求得相關(guān)系數(shù)r如表:甲乙丙丁r-0.82-0.78-0.69-0.85則哪名同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A,B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析:因?yàn)?.85>0.82>0.78>0.69,且相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1,則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),所以能體現(xiàn)出A,B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性的是丁.故選D.[例2](2021·江西吉安期末)某商場(chǎng)五天內(nèi)T恤衫的銷售情況如表:第X天12345銷售量Y/件19395979104則下列說(shuō)法正確的是()A.Y與X負(fù)相關(guān) B.Y與X正相關(guān)C.Y與X不相關(guān) D.Y與X成正比例關(guān)系解析:根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,可知所有點(diǎn)都在一條直線附近波動(dòng),是線性相關(guān)的,且Y值隨著X值的增大而增大,即Y與X正相關(guān).故選B.[例3](多選題)以下是某小區(qū)5套房成交價(jià)格Y(單位:萬(wàn)元)與住房面積X(單位:m2)之間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).(成交價(jià)格受面積、樓層、位置等因素影響)面積X/m28095105110125價(jià)格Y/萬(wàn)元120142161171186若Y與X之間具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)表中數(shù)據(jù)可求得Y關(guān)于X的回歸方程為Y=1.52X+,則下列說(shuō)法正確的是()A.=55.66B.變量X與Y具有負(fù)相關(guān)關(guān)系C.當(dāng)住房面積增加1m2時(shí),其價(jià)格增加約1.52萬(wàn)元D.根據(jù)回歸方程估計(jì),若住房面積為150m2,則成交價(jià)格約為227.44萬(wàn)元解析:根據(jù)表中數(shù)據(jù)可求得x=80+95+105+110+1255y=120+142+161+171+1865將點(diǎn)(103,156)代入回歸方程解得=-0.56,故A錯(cuò)誤;由回歸方程為Y=1.52X+,可知變量X與Y具有正相關(guān)關(guān)系,故B錯(cuò)誤;因?yàn)閅=1.52X+,故X增加1時(shí),Y大約增加1.52,故C正確;將X=150代入方程求得Y=1.52×150-0.56=227.44,故D正確.故選CD.[例4]隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展,網(wǎng)上購(gòu)物越來(lái)越受到人們的喜愛(ài),各大購(gòu)物網(wǎng)站為增加收入,促銷策略越來(lái)越多樣化,促銷費(fèi)用也不斷增加.如表是某購(gòu)物網(wǎng)站2020年1—8月促銷費(fèi)用(單位:萬(wàn)元)和產(chǎn)品銷量(單位:萬(wàn)件)的具體數(shù)據(jù):月份12345678促銷費(fèi)用X/萬(wàn)元2361013211518產(chǎn)品銷量Y/萬(wàn)件11233.5544.5(1)根據(jù)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖能夠看出可用線性回歸模型擬合Y與X的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)r加以說(shuō)明(系數(shù)精確到0.001);(2)建立Y關(guān)于X的線性回歸方程Y=X+(系數(shù)精確到0.001);如果該公司在9月份實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品銷量超6萬(wàn)件,預(yù)測(cè)至少需要投入促銷費(fèi)用多少萬(wàn)元(結(jié)果精確到0.01).參考數(shù)據(jù):∑i=18(xi-11)(yi-3)=74.5,∑i=18(xi-11)2=340,∑i=18(yi-3)2=16.5,參考公式:①樣本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相關(guān)系數(shù)r=∑i②對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1,y1)