江蘇省2019屆高三二輪專題解三角形

解三角形專題復(fù)習(xí)【課堂導(dǎo)入】在△ABC中，BC=，AC=1，以AB為邊作等腰直角三角形ABD（B為直角頂點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)在直線AB的兩側(cè)）．當(dāng)∠C變化時(shí)，線段CD長(zhǎng)的最大值為．解答：如圖：∵AB=BD，∴在△ABC中，由正弦定理得，∴，在△BCD中，=∴當(dāng)∠ACB=135°時(shí)最大為9，CD最大值為3．考點(diǎn)：正弦定理．【知識(shí)講解】解三角形：．【典例分析】【例1】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，，，已知，，，則C=．解答：在△ABC中，，∵，∴由正弦定理得：，∴，，，∴，．又知，，顯然，，故A＞C．∴由正弦定理得：，∴．∴．考點(diǎn)：正弦定理．【變式1-1】在△ABC中，若，則的值為．解答：在△ABC中，∵，∴，化簡(jiǎn)可得，故有．由正弦定理可得．考點(diǎn)：余弦定理．【變式1-2】若△ABC的內(nèi)角滿足，則的最小值是．解答：由正弦定理得，得，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故cosC的最小值是．考點(diǎn)：余弦定理，正弦定理．【變式1-3】在△ABC中，己知AC=3，∠A=45°，點(diǎn)D滿足，且，則BC的長(zhǎng)為．解答：根據(jù)題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；則C（3，0），∵∠A=45°，∴設(shè)B，其中，D；根據(jù)，得，即，解得，，∴D；又∵，∴，解得或（舍去）；∴B（3，3），即BC=3．考點(diǎn)：向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義．【例2】如圖，在C城周邊已有兩條公路l1，l2在點(diǎn)O處交匯．已知OC＝km，∠AOB＝75°，∠AOC＝45°，現(xiàn)規(guī)劃在公路l1，l2上分別選擇A，B兩處為交匯點(diǎn)（異于點(diǎn)O）直接修建一條公路通過(guò)C城．設(shè)OA＝x

km，OB＝y(tǒng)

km．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式并指出它的定義域；

（2）試確定點(diǎn)A，B的位置，使△OAB的面積最?。?/p>

解答：（1）因?yàn)椤鰽OC的面積與△BOC的面積之和等于△AOB的面積，所以，

即，所以．△AOB的面積．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)．

考點(diǎn)：函數(shù)相關(guān)知識(shí)．【變式2-1】如圖，旅客從某旅游區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50米/分鐘，在甲出發(fā)2分鐘后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1分鐘后，再?gòu)腂勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130米/分鐘，山路AC長(zhǎng)1260米，經(jīng)測(cè)量，cosA=1213，cosC=35．（1）求索道AB的長(zhǎng)；（2）問(wèn)乙出發(fā)后多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？解答：（1）在△ABC中，因?yàn)?，，所以，，從而由正弦定理，得m，所以索道AB的長(zhǎng)為1040m．（2）假設(shè)乙出發(fā)分鐘后，甲、乙兩游客距離為，此時(shí)，甲行走了m，乙距離A處m，所以由余弦定理得：，因，即，故當(dāng)min時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．考點(diǎn)：余弦定理，正弦定理．【例3】已知函數(shù)，，則滿足的的取值范圍為．解答：注意到函數(shù)，是偶函數(shù)故只需考慮區(qū)間上的情形．

當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在上的解集為，結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，得原問(wèn)題中的取值范圍是．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【變式3-1】設(shè)函數(shù)和的圖象在軸左、右兩側(cè)靠近軸的交點(diǎn)分別為M，N，已知O為原點(diǎn)，則=．解答：根據(jù)題意，令，即，則，所以，其中，化簡(jiǎn)，得，，所以，，則．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，正弦函數(shù)的圖象．【變式3-2】已知四邊形ABCD是矩形，AB=2，AD=3，E是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)．若∠AEF為鈍角，則線段BE長(zhǎng)度的取值范圍是．解答：以A為原點(diǎn)，AD、AB所在直線為x、y軸，建立直角坐標(biāo)系∵矩形ABCD中，AB=2且AD=3，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)∴F（3，1），設(shè)E（m，2）以AF為直徑作圓，由圓的性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)E位于圓內(nèi)時(shí)，∠AEF為鈍角，∵圓心為（，），半徑．∴圓的方程為．令，可得或2，即直線y=2與圓的交點(diǎn)為（1，2）和（2，2）因此，當(dāng)E的橫坐標(biāo)內(nèi)時(shí)，點(diǎn)E位于圓內(nèi)時(shí)，∠AEF為鈍角，此時(shí)，即BE長(zhǎng)度的取值范圍是．考點(diǎn)：余弦定理．【變式3-3】已知，是以原點(diǎn)O為圓心的單位圓上的兩點(diǎn)，∠P1OP2=（為鈍角）．若，則的值為．解答：由題意可得，，∴還是鈍角，∴，∴，∴．∴．考點(diǎn)：向量的數(shù)量積，兩角和與差的三角函數(shù)．【變式3-4】設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有極值點(diǎn)之和為．解答：∵是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即，解得，∵，∴當(dāng)時(shí)，，則，由，得，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴．考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象．【鞏固運(yùn)用】1、在△ABC中，已知AB=3，A=120°，且△ABC的面積為，則BC邊長(zhǎng)為．解答：∵，A=120°，△ABC的面積為，∴S△ABC=，即，由余弦定理得：，則．考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用．2、在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為、、，若，則角A的大小為．解答：∵∴∴，即∴∵角A是△ABC的內(nèi)角∴．考點(diǎn)：正弦定理、切化弦的應(yīng)用．3、已知在△ABC中，邊AB上的高與邊AB的長(zhǎng)相等，則的最大值為．解答：設(shè)，，，則，即．由余弦定理可得故由題意知，．考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用．4、若鈍角三角形三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)的比值為，則的范圍是．解答：鈍角三角形三內(nèi)角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，則，，可設(shè)三個(gè)角分別為，，．故．又，∴．令，且，

則

在上是增函數(shù)，∴，

綜上所述：則的范圍是．考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用．5、在△ABC中，已知，，則△ABC面積的最大值是．解答：∵，∴，（1）又∵，∴（2）+（2）得：，即由題知：，∴∵BC=2，∴，由不等式：當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB時(shí)，取等號(hào)∴，即∴，，即：∴，所以△ABC面積的最大值是．考點(diǎn)：向量與解三角形的綜合的應(yīng)用．6、已知是單位圓（圓心為坐標(biāo)極點(diǎn)O，半徑為1）上任一點(diǎn)，將射線OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB交單位圓于點(diǎn)，已知，若的最大值為3，則=．解答：是單位圓（圓心為坐標(biāo)極點(diǎn)O，半徑為1）上任一點(diǎn)，∴設(shè)，則，即，，則∵，若的最大值為3，∴，由，解得．考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值．7、如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC，設(shè)∠AOB=．用的三角函數(shù)來(lái)表示等邊三角形的面積，則=．解答：∵∠AOB=．則△ABC的面積在△OAB中，由余弦定理∴．考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用．【拓展延伸】1、已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，，若，則m=．（用表示）解答：取AB中點(diǎn)D，則有，代入得：，由⊥，得，∴兩邊同乘，化簡(jiǎn)得：，即，由正弦定理化簡(jiǎn)得：，由于，兩邊同時(shí)除以得：，∴，又∠A=，則．考點(diǎn)：正弦定理，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，兩角和與差的余弦函數(shù)．2、設(shè)，，，若對(duì)任意正實(shí)數(shù)，都存在以，，為三邊的三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．解答：∵，，，∵三角形任意兩邊之和大于第三邊，∴，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．考點(diǎn)：基本不等式．3、在△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，AB=AC=6，AD=4，若△ABC的外心恰在線段BD上，則BC=．解答：如圖所示，∵AB=AC=6，AD=4，O是△ABC的外心，∴BO：OD=3：2，設(shè)OB=3a，則OD=2a，DE=a，由相交弦定理可得4×2=a×5a，∴．∴△ABD中，，△ABC中，，則．考點(diǎn)：解三角形．4、通常用、、表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，R表示△ABC外接圓半徑。（1）如圖所示，在以O(shè)為圓心，半徑為2的O中，BC和BA是O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的長(zhǎng)；（2）在△ABC中，若∠C是鈍角，求證：；（3）給定三個(gè)正實(shí)數(shù)、、，其中，問(wèn)：、、滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，以、為邊長(zhǎng)，為外接圓半徑的△ABC不存在，存在一個(gè)或兩個(gè)（全等的三角形算作同一個(gè)）？在△ABC