數(shù)學人教A版必修四第二章平面向量2-

/11/11/學習目標1.能結合物理中的力、位移、速度等具體背景認識向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別.2.會用有向線段作向量的幾何表示，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別，會用字母表示向量.3.理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關的概念.知識點一向量的概念思考1在日常生活中有很多量，如面積、質(zhì)量、速度、位移等，這些量有什么區(qū)別？答案面積、質(zhì)量只有大小，沒有方向；而速度和位移既有大小又有方向.思考2兩個數(shù)量可以比較大小，那么兩個向量能比較大小嗎？答案數(shù)量之間可以比較大小，而兩個向量不能比較大小.梳理向量與數(shù)量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.(2)數(shù)量：只有大小，沒有方向的量稱為數(shù)量.知識點二向量的表示方法思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直觀地表示出來？答案可以用一條有向線段表示.思考20的模長是多少？0有方向嗎？答案0的模長為0，方向任意.思考3單位向量的模長是多少？答案單位向量的模長為1個單位長度.梳理(1)向量的幾何表示：向量可以用一條有向線段表示.帶有方向的線段叫做有向線段，它包含三個要素：起點、方向、長度，如圖所示.以A為起點、B為終點的有向線段記作eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)向量的字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))).(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，也就是向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度(或稱模)，即有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))的長度，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.長度為0的向量叫做零向量，記作0；長度等于1個單位的向量，叫做單位向量.知識點三相等向量與共線向量思考1已知A，B為平面上不同兩點，那么向量eq\o(AB,\s\up6(→))和向量eq\o(BA,\s\up6(→))相等嗎？它們共線嗎？答案因為向量eq\o(AB,\s\up6(→))和向量eq\o(BA,\s\up6(→))方向不同，所以二者不相等.又表示它們的有向線段在同一直線上，所以兩向量共線.思考2向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段平行、共線相同嗎？答案不相同，由相等向量定義可知，向量可以任意移動.由于任意一組平行向量都可以移動到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量.因此共線向量所在的直線可以平行，也可以重合.思考3若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c嗎？答案不一定.因為當b＝0時，a，c可以是任意向量.梳理(1)相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.①記法：向量a平行于b，記作a∥b.②規(guī)定：零向量與任一向量平行.(3)共線向量：由于任意一組平行向量都可移動到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量.也就是說，平行向量與共線向量是等價的，因此要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆.類型一向量的概念例1下列說法正確的是()A.向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等B.兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同C.零向量沒有方向D.任意兩個單位向量都相等答案A解析兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的方向不一定相同，終點也不一定相同；零向量的方向不確定，并不是沒有方向；任意兩個單位向量只有長度相等，方向不一定相同，故B，C，D都錯誤，A正確.故選A.反思與感悟解決向量概念問題一定要緊扣定義，對單位向量與零向量要特別注意方向問題.跟蹤訓練1下列說法正確的有.(1)若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；(2)向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A、B、C、D四點必在同一條直線上；(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))是平行向量.答案(3)解析(1)錯誤.|a|＝|b|僅說明a與b的模相等，不能說明它們方向的關系.(2)錯誤.共線向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求兩個向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))必須在同一直線上，因此點A、B、C、D不一定在同一條直線上.(3)正確.向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(BA,\s\up6(→))是長度相等，方向相反的兩個向量.類型二共線向量與相等向量例2如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E、F、D分別是AC、AB、BC的中點.(1)寫出與eq\o(EF,\s\up6(→))共線的向量；(2)寫出與eq\o(EF,\s\up6(→))的模大小相等的向量；(3)寫出與eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量.解(1)因為E、F分別是AC、AB的中點，所以EF綊eq\f(1,2)BC.又因為D是BC的中點，所以與eq\o(EF,\s\up6(→))共線的向量有eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)).(2)與eq\o(EF,\s\up6(→))模相等的向量有eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).(3)與eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(DB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→)).反思與感悟(1)非零向量共線是指向量的方向相同或相反.(2)共線的向量不一定相等，但相等的向量一定共線.跟蹤訓練2如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心.(1)與eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等的向量有多少個？(2)是否存在與eq\o(OA,\s\up6(→))長度相等、方向相反的向量？若存在，有幾個？(3)與eq\o(OA,\s\up6(→))共線的向量有哪些？解(1)與eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等的線段是六條邊和六條半徑(如OB)，而每一條線段可以有兩個向量，所以這樣的向量共有23個.(2)存在.由正六邊形的性質(zhì)可知，BC∥AO∥EF，所以與eq\o(OA,\s\up6(→))的長度相等、方向相反的向量有eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，共4個.(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，線段OD，AD與OA在同一條直線上，所以與eq\o(OA,\s\up6(→))共線的向量有eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，共9個.類型三向量的表示及應用例3一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100km到達B點，然后又改變方向，向西偏北50°的方向走了200km到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100km到達D點.(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up6(→))|.解(1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))如圖所示.(2)由題意，易知eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，∴在四邊形ABCD中，AB綊CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝200km.反思與感悟準確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點.跟蹤訓練3在如圖的方格紙上，已知向量a，每個小正方形的邊長為1.(1)試以B為終點畫一個向量b，使b＝a；(2)在圖中畫一個以A為起點的向量c，使|c|＝eq\r(5)，并說出向量c的終點的軌跡是什么？解(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量a平行，且長度相等(作圖略).(2)由平面幾何知識可知所有這樣的向量c的終點的軌跡是以A為圓心，半徑為eq\r(5)的圓(作圖略).1.下列結論正確的個數(shù)是()①溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；②向量的模是一個正實數(shù)；③向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；④若|a|>|b|，則a>b.A.0B.1C.2D.3答案B解析①溫度沒有方向，所以不是向量，故①錯；②向量的模也可以為0，故②錯；④向量不可以比較大小，故④錯；③若a，b中有一個為零向量，則a與b必共線，故a與b不共線，則應均為非零向量，故③對.2.下列說法錯誤的是()A.若a＝0，則|a|＝0B.零向量是沒有方向的C.零向量與任一向量平行D.零向量的方向是任意的答案B解析零向量的長度為0，方向是任意的，它與任何向量都平行，所以B是錯誤的.3.如圖所示，梯形ABCD為等腰梯形，則兩腰上的向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))的關系是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)) B.|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|C.eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(DC,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))<eq\o(DC,\s\up6(→))答案B解析|eq\o(AB,\s\up6(→))|與|eq\o(DC,\s\up6(→))|表示等腰梯形兩腰的長度，故相等.4.如圖所示，以1×2方格紙中的格點(各線段的交點)為起點和終點的向量中.(1)寫出與eq\o(AF,\s\up6(→))、eq\o(AE,\s\up6(→))相等的向量；(2)寫出與eq\o(AD,\s\up6(→))模相等的向量.解(1)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→)).(2)eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→)).1.向量是既有大小又有方向的量，從其定義可以看出向量既有代數(shù)特征又有幾何特征，因此借助于向量，我們可以將某些代數(shù)問題轉化為幾何問題，又將幾何問題轉化為代數(shù)問題，故向量能起到數(shù)形結合的橋梁作用.2.共線向量與平行向量是一組等價的概念.兩個共線向量不一定要在一條直線上.當然，同一直線上的向量也是平行向量.3.注意兩個特殊向量——零向量和單位向量，零向量與任何向量都平行，單位向量有無窮多個，起點相同的所有單位向量的終點在平面內(nèi)形成一個單位圓.課時作業(yè)一、選擇題1.下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程.其中是向量的有()A.2個B.3個C.4個D.5個答案C解析②③④⑤是向量.2.下列說法中正確的個數(shù)是()①任一向量與它的相反向量不相等；②一個向量方向不確定當且僅當模為0；③共線的向量，若起點不同，則終點一定不同；④單位向量的模都相等.A.0B.1C.2D.3答案C3.下列說法正確的是()A.若a∥b，則a與b的方向相同或相反B.若a∥b，b∥c，則a∥cC.若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等D.若a＝b，b＝c，則a＝c答案D4.如圖，在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則圖中相等的向量是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→)) B.eq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(OD,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→)) D.eq\o(AO,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))答案D解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC、BD互相平分，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)).5.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，則以下說法錯誤的是()A.與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有一個(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))B.與eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有9個(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))C.eq\o(BD,\s\up6(→))的模恰為eq\o(DA,\s\up6(→))的模的eq\r(3)倍D.eq\o(CB,\s\up6(→))與eq\o(DA,\s\up6(→))不共線答案D解析由于eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，因此與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有eq\o(DC,\s\up6(→))，而與eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))，因此選項B正確.而Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴|eq\o(DO,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)|eq\o(DA,\s\up6(→))|，故|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(DA,\s\up6(→))|，因此選項C正確.由于eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))，因此eq\o(CB,\s\up6(→))與eq\o(DA,\s\up6(→))是共線的，故選D.6.如圖所示，四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，則下列結論中不一定成立的是()A.|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|B.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FH,\s\up6(→))共線C.eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(EH,\s\up6(→))共線D.eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))答案C7.以下命題：①|(zhì)a|與|b|是否相等與a，b的方向無關；②兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；③兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；④單位向量都是共線向量.其中，正確命題的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案C解析②④錯誤.二、填空題8.在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，則四邊形的形狀為.答案菱形解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴AB綊DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，∴四邊形ABCD是菱形.9.給出以下5個條件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a與b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a與b都是單位向量.其中能使a∥b成立的是.(填序號)答案①③④解析相等向量一定是共線向量，故①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共線向量，故③能使a∥b；零向量與任一向量平行，故④成立.10.如圖，若四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形，則：(1)圖中與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量有；(2)圖中與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量有；(3)圖中與eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有；(4)圖中與eq\o(EC,\s\up6(→))相等的向量有.答案(1)eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))(2)eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))(3)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))(4)eq\o(BD,\s\up6(→))三、解答題11.一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務，先從A地向北偏東30°方向行駛2千米到D地，然后從D地沿北偏東60°方向行駛6千米到達C地，從C地又向南偏西30°方向行駛2千米才到達B地.(1)畫出eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)求B地相對于A地的位置向量.解(1)向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))如圖所示.(2)由題意知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴AD綊BC，則四邊形ABCD為平行四邊形，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則B地相對于A地的位置向量為“北偏東60°，長度為6千米”.12.如圖，已知eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＝eq\o(CC′,\s\up6(→)).求證：(1)△ABC≌△A′B′C′；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′C′,\s\up6(→)).證明(1)∵eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))，∴|eq\o(AA′,\s\up6(→))|＝|eq\o(BB′,\s\up6(→))|，且eq\o(AA′,\s\up6(→))∥eq\o(BB′,\s\up6(→)).又∵點A不在eq\o(BB′,\s\up6(→))上，∴AA′∥BB′，∴四邊形AA′B′B是平行四邊形，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(A′B′,\s\up6(→))|.同理|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(A′C′,\s\up6(→))|，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(B′C′,\s\up6(→))|.∴△ABC≌△A′B′C′.(2)∵四邊形AA′B′B是平行四邊形，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(A′B′,\s\up6(→))，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(A′B′,\s\up6(→))|，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(A′B′,\s\up6(→)).同理可證eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′C′,\s\up6(→)).13.如圖的方格紙由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成，方格紙中有兩個定點A，B.點C為小正方形的頂點，且|eq