數(shù)學(xué)人教A版選修2-2學(xué)案第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1-5-

/12/12/1．5.3定積分的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解定積分的概念，會(huì)用定義求定積分.2.理解定積分的幾何意義.3.掌握定積分的基本性質(zhì)．知識(shí)點(diǎn)一定積分的概念思考分析求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，找一下它們的共同點(diǎn)．答案兩個(gè)問題均可以通過“分割、近似代替、求和、取極限”解決，都可以歸結(jié)為一個(gè)特定形式和的極限．梳理一般地，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b將區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點(diǎn)ξi(i＝1,2，…，n)，作和式eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)，當(dāng)n→∞時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作?eq\o\al(b,a)f(x)dx，即?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)，這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式．知識(shí)點(diǎn)二定積分的幾何意義思考1根據(jù)定積分的定義求得?eq\o\al(2,1)(x＋1)dx的值是多少？答案?eq\o\al(2,1)(x＋1)dx＝eq\f(5,2).思考2?eq\o\al(2,1)(x＋1)dx的值與直線x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1圍成的梯形面積有何關(guān)系？答案相等．梳理從幾何上看，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)≥0，那么定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx表示由直線x＝a，x＝b，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積．這就是定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx的幾何意義．注意：f(x)<0(圖象在x軸的下方時(shí)，?eq\o\al(b,a)f(x)dx<0，－?eq\o\al(b,a)f(x)dx等于曲邊梯形的面積．知識(shí)點(diǎn)三定積分的性質(zhì)思考你能根據(jù)定積分的幾何意義解釋?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝?eq\o\al(c,a)f(x)dx＋?eq\o\al(b,c)f(x)dx(其中a<c<b)嗎？答案直線x＝c把一個(gè)大的曲邊梯形分成了兩個(gè)小曲邊梯形，因此大曲邊梯形的面積S是兩個(gè)小曲邊梯形的面積S1，S2之和，即S＝S1＋S2.梳理(1)?eq\o\al(b,a)kf(x)dx＝k?eq\o\al(b,a)f(x)dx(k為常數(shù))．(2)?eq\o\al(b,a)[f1(x)±f2(x)]dx＝?eq\o\al(b,a)f1(x)dx±?eq\o\al(b,a)f2(x)dx.(3)?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝?eq\o\al(c,a)f(x)dx＋?eq\o\al(b,c)f(x)dx(其中a<c<b)．類型一利用定積分的定義求定積分例1利用定積分的定義，計(jì)算?eq\o\al(2,1)(3x＋2)dx的值．解令f(x)＝3x＋2.(1)分割在區(qū)間[1,2]上等間隔地插入n－1個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間[eq\f(n＋i－1,n)，eq\f(n＋i,n)](i＝1,2，…，n)，每個(gè)小區(qū)間的長度為Δx＝eq\f(n＋i,n)－eq\f(n＋i－1,n)＝eq\f(1,n).(2)近似代替、求和取ξi＝eq\f(n＋i－1,n)(i＝1,2，…，n)，則Sn＝eq\i\su(i＝1,n,f)(eq\f(n＋i－1,n))·Δx＝eq\i\su(i＝1,n,[)eq\f(3?n＋i－1?,n)＋2]·eq\f(1,n)＝eq\i\su(i＝1,n,[)eq\f(3?i－1?,n2)＋eq\f(5,n)]＝eq\f(3,n2)[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝eq\f(3,2)×eq\f(n2－n,n2)＋5＝eq\f(13,2)－eq\f(3,2n).(3)取極限?eq\o\al(2,1)(3x＋2)dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))Sn＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))(eq\f(13,2)－eq\f(3,2n))＝eq\f(13,2).反思與感悟利用定義求定積分的步驟跟蹤訓(xùn)練1利用定積分的定義計(jì)算?eq\o\al(3,2)(x＋2)dx.解令f(x)＝x＋2.將區(qū)間[2,3]平均分為n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長度為Δxi＝eq\f(1,n)，[xi－1，xi]＝[2＋eq\f(i－1,n)，2＋eq\f(i,n)]，i＝1,2，…，n.取ξi＝xi＝2＋eq\f(i,n)，則f(ξi)＝2＋eq\f(i,n)＋2＝4＋eq\f(i,n).則eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))f(ξi)Δxi＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(4＋eq\f(i,n))·eq\f(1,n)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(eq\f(4,n)＋eq\f(i,n2))＝n·eq\f(4,n)＋eq\f(1＋2＋…＋n,n2)＝4＋eq\f(n＋1,2n).∴?eq\o\al(3,2)(x＋2)dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))(4＋eq\f(n＋1,2n))＝eq\f(9,2).類型二利用定積分的幾何意義求定積分例2說明下列定積分所表示的意義，并根據(jù)其意義求出定積分的值．(1)?eq\o\al(1,0)2dx；(2)?eq\o\al(2,1)xdx；(3)?eq\o\al(1,－1)eq\r(1－x2)dx.解(1)?eq\o\al(1,0)2dx表示的是圖①中陰影部分所示的長方形的面積，由于這個(gè)長方形的面積為2，所以?eq\o\al(1,0)2dx＝2.(2)?eq\o\al(2,1)xdx表示的是圖②中陰影部分所示的梯形的面積，由于這個(gè)梯形的面積為eq\f(3,2)，所以?eq\o\al(2,1)xdx＝eq\f(3,2).(3)?eq\o\al(1,－1)eq\r(1－x2)dx表示的是圖③中陰影部分所示的半徑為1的半圓的面積，其值為eq\f(π,2)，所以?eq\o\al(1,－1)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,2).引申探究1．將例2(3)改為利用定積分的幾何意義求?eq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx.解?eq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx表示的是圖④中陰影部分所示半徑為1的圓的eq\f(1,4)的面積，其值為eq\f(π,4)，∴?eq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,4).2．將例2(3)改為利用定積分的幾何意義求?eq\o\al(1,0)eq\r(1－?x－1?2)dx.解?eq\o\al(1,0)eq\r(1－?x－1?2)dx表示的是圖⑤中陰影部分所示半徑為1的eq\f(1,4)圓的面積，其值為eq\f(π,4)，∴?eq\o\al(1,0)eq\r(1－?x－1?2)dx＝eq\f(π,4).3．將例2(3)改為利用定積分的幾何意義求?eq\o\al(1,－1)(x＋eq\r(1－x2))dx.解由定積分的性質(zhì)得，?eq\o\al(1,－1)(x＋eq\r(1－x2))dx＝?eq\o\al(1,－1)xdx＋?eq\o\al(1,－1)eq\r(1－x2)dx.∵y＝x是奇函數(shù)，∴?eq\o\al(1,－1)xdx＝0.由例2(3)知?eq\o\al(1,－1)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,2).∴?eq\o\al(1,－1)(x＋eq\r(1－x2))dx＝eq\f(π,2).反思與感悟利用定積分所表示的幾何意義求?eq\o\al(b,a)f(x)dx的值的關(guān)鍵是確定由曲線y＝f(x)，直線x＝a，直線x＝b及x軸所圍成的平面圖形的形狀．常見形狀是三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的平面圖形．跟蹤訓(xùn)練2利用定積分的幾何意義，求：(1)?eq\o\al(3,－3)eq\r(9－x2)dx；(2)?eq\o\al(3,0)(2x＋1)dx.解(1)在平面上y＝eq\r(9－x2)表示的幾何圖形為以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的上半圓，如圖(1)所示，其面積S＝eq\f(1,2)·π·32＝eq\f(9,2)π.由定積分的幾何意義，知?eq\o\al(3,－3)eq\r(9－x2)dx＝eq\f(9,2)π.(2)在平面上，f(x)＝2x＋1為一條直線．?eq\o\al(3,0)(2x＋1)dx表示直線f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3，y＝0所圍成的直角梯形OABC的面積，如圖(2)，其面積S＝eq\f(1,2)×(1＋7)×3＝12.根據(jù)定積分的幾何意義，知?eq\o\al(3,0)(2x＋1)dx＝12.類型三利用定積分的性質(zhì)求定積分例3已知?eq\o\al(1,0)x3dx＝eq\f(1,4)，?eq\o\al(2,1)x3dx＝eq\f(15,4)，?eq\o\al(2,1)x2dx＝eq\f(7,3)，?eq\o\al(4,2)x2dx＝eq\f(56,3)，求下列各式的值．(1)?eq\o\al(2,0)(3x3)dx；(2)?eq\o\al(4,1)(6x2)dx；(3)?eq\o\al(2,1)(3x2－2x3)dx.解(1)?eq\o\al(2,0)(3x3)dx＝3?eq\o\al(2,0)x3dx＝3(?eq\o\al(1,0)x3dx＋?eq\o\al(2,1)x3dx)＝3×(eq\f(1,4)＋eq\f(15,4))＝12.(2)?eq\o\al(4,1)(6x2)dx＝6?eq\o\al(4,1)x2dx＝6(?eq\o\al(2,1)x2dx＋?eq\o\al(4,2)x2dx)＝6×(eq\f(7,3)＋eq\f(56,3))＝126.(3)?eq\o\al(2,1)(3x2－2x3)dx＝?eq\o\al(2,1)(3x2)dx－?eq\o\al(2,1)(2x3)dx＝3?eq\o\al(2,1)x2dx－2?eq\o\al(2,1)x3dx＝3×eq\f(7,3)－2×eq\f(15,4)＝－eq\f(1,2).反思與感悟若函數(shù)f(x)的奇偶性已經(jīng)明確，且f(x)在[－a，a]上連續(xù)，則(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則?eq\o\al(a,－a)f(x)dx＝0.(2)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則?eq\o\al(a,－a)f(x)dx＝2?eq\o\al(a,0)f(x)dx.跟蹤訓(xùn)練3(1)已知定積分?eq\o\al(a,0)f(x)dx＝8，且f(x)是偶函數(shù)，則?eq\o\al(a,－a)f(x)dx＝________.(2)?eq\o\al(1,－1)(x3＋3)＝________.答案(1)16(2)6解析(1)?eq\o\al(a,－a)f(x)dx＝2?eq\o\al(a,0)f(x)dx＝2×8＝16.(2)?eq\o\al(1,－1)(x3＋3)dx＝?eq\o\al(1,－1)x3dx＋?eq\o\al(1,－1)3dx，∵y＝x3是奇函數(shù)，∴?eq\o\al(1,－1)x3dx＝0，又?eq\o\al(1,－1)3dx＝6，∴?eq\o\al(1,－1)(x3＋3)dx＝6.(3)已知?eq\o\al(b,a)[f(x)＋g(x)]dx＝12，?eq\o\al(b,a)g(x)dx＝6，求?eq\o\al(b,a)3f(x)dx.解∵?eq\o\al(b,a)f(x)dx＋?eq\o\al(b,a)g(x)dx＝?eq\o\al(b,a)[f(x)＋g(x)]dx＝12，又∵?eq\o\al(b,a)g(x)dx＝6，∴?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝6.∴?eq\o\al(b,a)3f(x)dx＝3?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝3×6＝18.1．下列結(jié)論中成立的個(gè)數(shù)是()①?eq\o\al(1,0)x3dx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n)；②?eq\o\al(1,0)x3dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(?i－1?3,n3)·eq\f(1,n)；③?eq\o\al(1,0)x3dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n).A．0B．1C．2D．3答案C解析②③成立．2．關(guān)于定積分a＝?eq\o\al(2,－1)(－2)dx的敘述正確的是()A．被積函數(shù)為y＝2，a＝6B．被積函數(shù)為y＝－2，a＝6C．被積函數(shù)為y＝－2，a＝－6D．被積函數(shù)為y＝2，a＝－6答案C解析由定積分的概念可知，?eq\o\al(2,－1)(－2)dx中的被積函數(shù)為y＝－2，由定積分的幾何意義知，?eq\o\al(2,－1)(－2)dx等于由直線x＝－1，x＝2，y＝0，y＝－2所圍成的圖形的面積的相反數(shù)，∴?eq\o\al(2,－1)(－2)dx＝－2×3＝－6.3．下列等式不成立的是()A．?eq\o\al(b,a)[mf(x)＋ng(x)]dx＝m?eq\o\al(b,a)f(x)dx＋n?eq\o\al(b,a)g(x)dxB．?eq\o\al(b,a)[f(x)＋1]dx＝?eq\o\al(b,a)f(x)dx＋b－aC．?eq\o\al(b,a)f(x)g(x)dx＝?eq\o\al(b,a)f(x)dx·?eq\o\al(b,a)g(x)dxD．?eq\o\al(2π,－2π)sinxdx＝?eq\o\al(0,－2π)sinxdx＋?eq\o\al(2π,0)sinxdx答案C解析由定積分的性質(zhì)可得A、B、D正確，故選C.4．?eq\o\al(5,0)2(x－2)dx＝________.答案5解析?eq\o\al(5,0)(x－2)dx＝S2－S1＝eq\f(1,2)×32－eq\f(1,2)×22＝eq\f(5,2)，故?eq\o\al(5,0)2(x－2)dx＝5.5．計(jì)算：解由定積分的幾何意義得，＝(eq\f(3π,2)－eq\f(π,2))×2＝2π.由定積分的幾何意義得，＝0.所以＝－5＝2π.1．定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx是一個(gè)和式eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)的極限，是一個(gè)常數(shù)．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取極限”求定積分．對(duì)于一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分．3．定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡(jiǎn)化定積分運(yùn)算．課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．根據(jù)定積分的定義，?eq\o\al(2,0)x2dx等于()A.eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(i－1,n))2·eq\f(1,n) B．eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(i－1,n))2·eq\f(1,n)C.eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(2i,n))2·eq\f(2,n) D．eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(2i,n))2·eq\f(2,n)答案D解析根據(jù)定積分的定義，?eq\o\al(2,0)x2dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(2i,n))2·eq\f(2,n).2．已知f(x)＝x3－x＋sinx，則?eq\o\al(2,－2)f(x)dx的值()A．等于0 B．大于0C．小于0 D．不確定答案A解析∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，∴?eq\o\al(2,－2)f(x)dx＝0.3．下列定積分的值等于1的是()A．?eq\o\al(1,0)xdx B．?eq\o\al(1,0)(x＋1)dxC．?eq\o\al(1,0)eq\f(1,2)dx D．?eq\o\al(1,0)1dx答案D解析A項(xiàng)，?eq\o\al(1,0)xdx＝eq\f(1,2)，C項(xiàng)，?eq\o\al(1,0)eq\f(1,2)dx＝eq\f(1,2)，B項(xiàng)，?eq\o\al(1,0)(x＋1)dx＝eq\f(3,2)，D項(xiàng)，?eq\o\al(1,0)1dx＝1，故選D.4．直線x＝1，x＝－1，y＝0及曲線y＝x3＋sinx圍成的平面圖形的面積可表示為()A．?eq\o\al(1,－1)(x3＋sinx)dx B．2?eq\o\al(1,0)(x3＋sinx)dxC.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(?eq\o\al(1,－1)?x3＋sinx?dx)) D．?eq\o\al(1,0)(x3＋sinx)dx答案B解析∵y＝x3＋sinx是奇函數(shù)，∴其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴直線x＝1，x＝－1，y＝0及曲線y＝x3＋sinx圍成的圖形面積可表示為2?eq\o\al(1,0)(x3＋sinx)dx.5．由直線y＝x，y＝－x＋1及x軸圍成的平面圖形的面積為()A．?eq\o\al(1,0)[(1－y)－y]dyB．C．＋D．?eq\o\al(1,0)[x－(－x＋1)]dx答案C解析聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝－x＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(1,2)，))故A(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))．由圖知陰影部分的面積可表示為＋6．與定積分相等的是()A．||B．C．?eq\o\al(π,0)sinxdx－D．＋答案C解析當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，sinx≥0；當(dāng)x∈(π，eq\f(3π,2)]時(shí)，sinx<0.∴由定積分的性質(zhì)可得，＝?eq\o\al(π,0)|sinx|dx＋＝?eq\o\al(π,0)sinxdx＋＝?eq\o\al(π,0)sinxdx－7．設(shè)a＝dx，b＝?eq\o\al(1,0)x2dx，c＝?eq\o\al(1,0)x3dx，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c>a>b B．a(chǎn)>b>cC．a(chǎn)＝b>c D．a(chǎn)>c>b答案B解析根據(jù)定積分的幾何意義，易知?eq\o\al(1,0)x3dx<?eq\o\al(1,0)x2dx<dx，即a>b>c，故選B.8．若?eq\o\al(a,－a)|56x|dx≤2016，則正數(shù)a的最大值為()A．6 B．56C．36 D．2016答案A解析由?eq\o\al(a,－a)|56x|dx＝56?eq\o\al(a,－a)|x|dx≤2016，得?eq\o\al(a,－a)|x|dx≤36，∵?eq\o\al(a,－a)|x|dx＝a2，∴a2≤36，即0<a≤6.故正數(shù)a的最大值為6.二、填空題9．若?eq\o\al(1,0)eq\f(1,2)f(x)dx＝1，?eq\o\al(0,－1)3f(x)dx＝2，則?eq\o\al(1,－1)f(x)dx＝________.答案eq\f(8,3)解析∵?eq\o\al(1,0)eq\f(1,2)f(x)dx＝eq\f(1,2)?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝1，∴?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝2.又?eq\o\al(0,－1)3f(x)dx＝3?eq\o\al(0,－1)f(x)dx＝2，∴?eq\o\al(0,－1)f(x)dx＝eq\f(2,3).∴?eq\o\al(1,－1)f(x)dx＝?eq\o\al(0,－1)f(x)dx＋?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝eq\f(2,3)＋2＝eq\f(8,3).10．如圖所示的陰影部分的面積用定積分表示為________．答案?eq\o\al(2,－4)eq\f(x2,2)dx解析由定積分的定義可得．11．?eq\o\al(3,0)[eq\r(9－?x－3?2)－x]dx＝________.答案eq\f(9π－18,4)解析?eq\o\al(3,0)[eq\r(9－?x－3?2)－x]dx＝?eq\o\al(3,0)eq\r(9－?x－3?2)dx－?eq\o\al(3,0)xdx.?eq\o\al(3,0)eq\r(9－?x－3?2)dx表示以(3,0)為圓心，3為半徑的圓的面積的e