新教材北師大版必修第二冊第2章66.2平面向量在幾何物理中的應(yīng)用舉例學(xué)案

6．2平面向量在幾何、物理中的應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．能運(yùn)用向量的有關(guān)知識解決平面幾何中的線段平行、垂直、相等等問題．(重點(diǎn))2．能運(yùn)用向量的有關(guān)知識解決物理中有關(guān)力、速度、功等問題．(難點(diǎn))通過平面向量的應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理．這個(gè)定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因?yàn)檫@個(gè)定理太貼近人們的生活實(shí)際，以至于古往今來，無論是平民百姓，還是帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明．圖①圖②圖③圖④圖①是傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法，圖②是趙爽弦圖的證法，圖③是劉徽的證法，圖④是美國總統(tǒng)茄菲爾德的證法．閱讀教材，回答下列問題．問題1：類比上述勾股定理的證明，如何證明“矩形兩條對角線的平方和，等于四條邊的平方和”？問題2：如何用向量法證明平面幾何問題？知識點(diǎn)用向量方法解決平面幾何問題的三個(gè)步驟1.你認(rèn)為利用向量方法解決幾何問題的關(guān)鍵是什么？[提示]關(guān)鍵是如何將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，對具體問題是選用向量幾何法還是坐標(biāo)法解決．2．利用向量可以解決哪些物理問題？[提示]利用向量可以解決物理中有關(guān)力、速度、位移等矢量的合成問題以及力對物體做功的問題等．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四邊形法則． ()(2)若△ABC為直角三角形，則有eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0. ()(3)若向量eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))，則AB∥CD. ()[答案](1)√(2)×(3)×類型1向量在平面幾何中的應(yīng)用【例1】如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.[證明]法一：設(shè)eq\o(AD,\s\up8(→))＝a，eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AE,\s\up8(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0.故eq\o(AF,\s\up8(→))⊥eq\o(DE,\s\up8(→))，即AF⊥DE.法二：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方形的邊長為2，則A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(xiàn)(2，1)，eq\o(AF,\s\up8(→))＝(2，1)，eq\o(DE,\s\up8(→))＝(1，－2)，因?yàn)閑q\o(AF,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up8(→))⊥eq\o(DE,\s\up8(→))，即AF⊥DE.用向量解平面幾何問題的方法(1)基法：選擇兩個(gè)不共線的向量作為基，用基表示有關(guān)向量，把問題轉(zhuǎn)化為只含有基向量的運(yùn)算．(2)坐標(biāo)法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，把問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1.如圖所示，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DP，EF，求證：DP⊥EF.[解]法一：設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AE＝a(0<a<1)，則EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq\r(2)a，所以eq\o(DP,\s\up8(→))·eq\o(EF,\s\up8(→))＝(eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AP,\s\up8(→)))·(eq\o(EP,\s\up8(→))＋eq\o(PF,\s\up8(→)))＝eq\o(DA,\s\up8(→))·eq\o(EP,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))·eq\o(PF,\s\up8(→))＋eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(EP,\s\up8(→))＋eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(PF,\s\up8(→))＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋eq\r(2)a×a×cos45°＋eq\r(2)a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.所以eq\o(DP,\s\up8(→))⊥eq\o(EF,\s\up8(→))，即DP⊥EF.法二：設(shè)正方形邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，x)，則D(0，1)，E(x，0)，F(xiàn)(1，x)，所以eq\o(DP,\s\up8(→))＝(x，x－1)，eq\o(EF,\s\up8(→))＝(1－x，x)，由于eq\o(DP,\s\up8(→))·eq\o(EF,\s\up8(→))＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以eq\o(DP,\s\up8(→))⊥eq\o(EF,\s\up8(→))，即DP⊥EF.類型2向量在解決物理問題中的應(yīng)用【例2】在風(fēng)速為75(eq\r(6)－eq\r(2))km/h的西風(fēng)中，飛機(jī)以150km/h的航速向西北方向飛行，求沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速和航向．[解]設(shè)向量a表示風(fēng)速，b表示無風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度，c表示有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度，則c＝a＋b.如圖，作向量eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，則四邊形OACB為平行四邊形．過C、B分別作OA的垂線，交AO的延長線于D、E點(diǎn)．由已知，|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝75(eq\r(6)－eq\r(2))，|eq\o(OC,\s\up8(→))|＝150，∠COD＝45°.在Rt△COD中，OD＝OCcos45°＝75eq\r(2)，CD＝75eq\r(2).又ED＝BC＝OA＝75(eq\r(6)－eq\r(2))，∴OE＝OD＋ED＝75eq\r(6).又BE＝CD＝75eq\r(2).在Rt△OEB中，OB＝eq\r(OE2＋BE2)＝150eq\r(2)，sin∠BOE＝eq\f(BE,OB)＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝150eq\r(2)，∠BOE＝30°.故沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速為150eq\r(2)1.用向量解決物理問題首先要建立數(shù)學(xué)模型，把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，其次要注意物理中的矢量與數(shù)學(xué)中向量的區(qū)別與聯(lián)系．2.速度、加速度、位移、力的合成和分解，實(shí)質(zhì)上就是向量的加減法運(yùn)算，求解時(shí)常用向量的平行四邊形法則和三角形法則．3.在數(shù)學(xué)中，向量數(shù)量積的運(yùn)算是由物理中力對物體所做的功抽象出來的，這也是向量在物理中的主要應(yīng)用之一．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．一輛汽車在平直公路上向西行駛，車上裝著風(fēng)速計(jì)和風(fēng)向標(biāo)，測得風(fēng)向?yàn)闁|偏南30°，風(fēng)速為4米/秒，這時(shí)氣象臺報(bào)告實(shí)際風(fēng)速為2米/秒．試求風(fēng)的實(shí)際方向和汽車的速度大?。甗解]依據(jù)物理知識，有三對相對速度，汽車對地的速度為v車地、風(fēng)對車的速度為v風(fēng)車、風(fēng)對地的速度為v風(fēng)地，風(fēng)對地的速度可以看成車對地與風(fēng)對車的速度的合速度，即v風(fēng)地＝v風(fēng)車＋v車地．如圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，表示向量v風(fēng)地的有向線段eq\o(AD,\s\up8(→))是平行四邊形ABDC的對角線．∵|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝4米/秒，∠ACD＝30°，|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝2米/秒，∴∠ADC＝90°.在Rt△ADC中，|eq\o(DC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|cos30°＝2eq\r(3)(米/秒)，即風(fēng)的實(shí)際方向是吹向正南方向，汽車速度的大小為2eq\r(3)米/秒．1．若向量OF1＝(1，1)，OF2＝(－3，－2)分別表示兩個(gè)力F1，F(xiàn)2，則|F1＋F2|為()A．(5，0)B．(－5，0)C．eq\r(5)D．－eq\r(5)[答案]C2．已知△ABC，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，且a·b<0，則△ABC的形狀為()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．不能確定[答案]A3．若eq\o(AB,\s\up8(→))＝2e1，eq\o(DC,\s\up8(→))＝4e1，且eq\o(AD,\s\up8(→))與eq\o(CB,\s\up8(→))的模相等，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．梯形C．等腰梯形 D．菱形C[eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up8(→))，又|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|，∴四邊形ABCD為等腰梯形．]4．已知F＝(2，3)作用一物體，使物體從A(2，0)移動到B(4，0)，則力F對物體作的功為________．[答案]45．在四邊形ABCD中，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(4，－2)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(7，4)，eq\o(AD,\s\up8(→))＝(3，6)，則四邊形ABCD的面積是________．30[∵eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝(3，6)＝eq\o(AD,\s\up8(→))，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝(4，－2)·(3，6)＝0，∴eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，∴四邊形ABCD為矩形，又|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(20)，|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝eq\r(45)，∴S＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq