程宏2016 2017學(xué)年統(tǒng)計(jì)學(xué)課程 第4次-統(tǒng)計(jì)學(xué) 第5章 概率與概率分布(Grant)

統(tǒng)計(jì)學(xué)第5章概率與概率分布課程內(nèi)容第5章概率與概率分布第6章統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布第7章參數(shù)估計(jì)第8章假設(shè)檢驗(yàn)第11章一元線性回歸

第1章導(dǎo)論第2章數(shù)據(jù)的收集第3章數(shù)據(jù)的圖表展示第4章數(shù)據(jù)的概括性度量第13章時間序列分析及預(yù)測第14章指數(shù)本章內(nèi)容離散型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布隨機(jī)變量(randomvariables)一次試驗(yàn)的結(jié)果的數(shù)值性描述一般用X、Y、Z來表示例如:投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量(discreterandomvariables)隨機(jī)變量X取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來X1,X2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查100個產(chǎn)品一家餐館營業(yè)一天電腦公司一個月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個數(shù)顧客數(shù)銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為1連續(xù)型隨機(jī)變量(continuousrandomvariables)隨機(jī)變量X取無限個值所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測量一個產(chǎn)品的長度使用壽命(小時)半年后工程完成的百分比測量誤差(cm)X00X100X0離散型隨機(jī)變量的概率分布列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn

P(X=xi)=pi稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)pi0離散型隨機(jī)變量的概率分布

(例題分析)【例】如規(guī)定打靶中域Ⅰ得3分，中域Ⅱ得2分，中域Ⅲ得1分，中域外得0分。今某射手每100次射擊，平均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10次中Ⅲ，5次中域外。則考察每次射擊得分為0,1,2,3這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi0123P(X=xi)pi0.050.100.550.30【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為p＝0.05，合格率為q=1-p=1-0.05=0.95。并指定廢品用1表示，合格品用0表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi10P(X=xi)=pi0.050.95離散型隨機(jī)變量的概率分布(0—1分布)

一個離散型隨機(jī)變量X只取兩個可能的值例如，男性用1表示，女性用0表示；合格品用1表示，不合格品用0表示一個離散型隨機(jī)變量取各個值的概率相同列出隨機(jī)變量取值及其取值的概率例如，投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)及其出現(xiàn)各點(diǎn)的概率離散型隨機(jī)變量的概率分布(均勻分布)

【例】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是個離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi123456P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/601/6P(x)1x23456離散型隨機(jī)變量的概率分布(均勻分布)

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(expectedvalue)在離散型隨機(jī)變量X的一切可能取值的完備組中，各可能取值xi與其取相對應(yīng)的概率pi乘積之和描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度計(jì)算公式為離散型隨機(jī)變量的方差(variance)隨機(jī)變量X的每一個取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為D(X)描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度計(jì)算公式為離散型隨機(jī)變量的方差(例題分析)【例】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是個離散型隨機(jī)變量，其概率分布為如下。計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差X=xi123456P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/6解：數(shù)學(xué)期望為：方差為：二項(xiàng)試驗(yàn)(貝努里試驗(yàn))

二項(xiàng)分布與貝努里試驗(yàn)有關(guān)貝努里試驗(yàn)具有如下屬性試驗(yàn)包含了n個相同的試驗(yàn)每次試驗(yàn)只有兩個可能的結(jié)果，即“成功”和“失敗”出現(xiàn)“成功”的概率p對每次試驗(yàn)結(jié)果是相同的；“失敗”的概率q也相同，且p+q=1試驗(yàn)是相互獨(dú)立的試驗(yàn)“成功”或“失敗”可以計(jì)數(shù)二項(xiàng)分布(Binomialdistribution)進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布設(shè)X為n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，X取x的概率為二項(xiàng)分布1.顯然，對于P{X=x}0，x=1,2,…,n，有2.同樣有3.當(dāng)n=1時，二項(xiàng)分布化簡為二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望為

E(X)＝np方差為

D(X)＝npq二項(xiàng)分布

(例題分析)【例】已知100件產(chǎn)品中有5件次品，現(xiàn)從中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件產(chǎn)品中恰好有2件次品的概率解：設(shè)X為所抽取的3件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X~B(3,0.05)，根據(jù)二項(xiàng)分布公式有泊松分布(Poissondistribution)用于描述在一指定時間范圍內(nèi)或在一定的長度、面積、體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布泊松分布的例子一個城市在一個月內(nèi)發(fā)生的交通事故次數(shù)消費(fèi)者協(xié)會一個星期內(nèi)收到的消費(fèi)者投訴

次數(shù)人壽保險(xiǎn)公司每天收到的死亡聲明的人數(shù)泊松概率分布函數(shù)—給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù)e=2.71828x—給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù)泊松概率分布的期望和方差泊松分布的數(shù)學(xué)期望為

E(X)=方差為

D(X)=

泊松分布(例題分析)【例】假定某企業(yè)的職工中在周一請假的人數(shù)X服從泊松分布，且設(shè)周一請事假的平均人數(shù)為2.5人。求（1）X的均值及標(biāo)準(zhǔn)差（2）在給定的某周一正好請事假是5人的概率解：(1)E(X)==2.5,

(2)泊松分布(作為二項(xiàng)分布的近似)當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n很大，成功的概率p很小時，可用泊松分布來近似地計(jì)算二項(xiàng)分布的概率，即

實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)P0.25，n>20，np5時，近似效果良好連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個實(shí)數(shù)軸上的任意一個值它取任何一個特定的值的概率都等于0不能列出每一個值及其相應(yīng)的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率概率密度函數(shù)(probabilitydensityfunction)1.設(shè)X為一連續(xù)型隨機(jī)變量，x為任意實(shí)數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件2.f(x)不是概率概率密度函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖形，則對于任何實(shí)數(shù)x1

<x2，P(x1<Xx2)是該曲線下從x1

到x2的面積f(x)xab分布函數(shù)

(distributionfunction)1.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率也可以用分布函數(shù)F(x)來表示2.分布函數(shù)定義為根據(jù)分布函數(shù)，P(a<X<b)可以寫為分布函數(shù)與密度函數(shù)的圖示密度函數(shù)曲線下的面積等于1分布函數(shù)是曲線下小于x0

的面積f(x)xx0F(x0

)連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為方差為正態(tài)分布(normaldistribution)1. 描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布2. 可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布例如:二項(xiàng)分布3. 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)xf(x)概率密度函數(shù)f(x)=隨機(jī)變量X

的頻數(shù)

=總體方差

=3.14159;e=2.71828x=隨機(jī)變量的取值(-<x<+)

=總體均值正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)在x的上方，即f(x)>0正態(tài)曲線的最高點(diǎn)在均值，它也是分布的中位數(shù)和眾數(shù)正態(tài)分布是一個分布族，每一特定正態(tài)分布通過均值和標(biāo)準(zhǔn)差來區(qū)分。決定了圖形的中心位置,決定曲線的平緩程度，即寬度曲線f(x)相對于均值對稱，尾端向兩個方向無限延伸，且理論上永遠(yuǎn)不會與橫軸相交正態(tài)曲線下的總面積等于1隨機(jī)變量的概率由曲線下的面積給出和對正態(tài)曲線的影響xf(x)CAB正態(tài)分布的概率概率是曲線下的面積!abxf(x)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)任何一個一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用將一個一般的轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)算概率時，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率分布表對于負(fù)的x

，可由(-x)x得到對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即X~N(0,1)，有P(aXb)baP(|X|a)2a1對于一般正態(tài)分布，即X~N(,)，有正態(tài)分布(例題分析)【例】設(shè)X~N(0，1)，求以下概率：

(1)P(X<1.5)；(2)P(X>2)；(3)P(-1<X

3)；(4)P(|X|2)

解：(1)P(X<1.5)=(1.5)=0.9332(2)P(X>2)=1-P(X

2)=1-0.9973=0.0227(3)P(-1<X

3)=P(X

3)-P(X<-1)=(3)-(-1)=(3)–[1-(1)]=0.9987-(1-0.8413)=0.84(4)P(|X|2)=P(-2

X

2)=(2)-(-2)=(2)-[1-(2)]=2(2)-1=0.9545正態(tài)分布

(例題分析)【例】設(shè)X~N(5，32)，求以下概率

(1)P(X

10)；(2)P(2<X

<10)

解：(1)(2)二項(xiàng)分布的正態(tài)近似當(dāng)n很大時，二項(xiàng)隨機(jī)變量X近似服從正態(tài)分布N{np,np(1-p)}對于一個二項(xiàng)隨機(jī)變量X，當(dāng)n很大時，求P(x1Xx2)時可用正態(tài)分布近似為二項(xiàng)分布的正態(tài)近似（實(shí)例）【例】100臺機(jī)床彼此獨(dú)立地工作，每臺機(jī)床的實(shí)際工