備戰(zhàn)2023年中考-三角形中平分倍角模型

/07/7/三角形中平分倍角模型東方岳（2023.02.14）【原題】如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，∠A=3∠C，AB=6，BC=10，則AD=______.【分析】本題條件出現(xiàn)平分和3倍角，一般通過(guò)“翻折”、“平分”轉(zhuǎn)化為等角，利用勾股定理或相似解形.以下提供幾種方法，僅供參考.【解法】簡(jiǎn)解1：角平分線定理如圖，在BC上取一E，使BE=AB=6∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠EBD，又，BD=BD∴△ABD≌△EBD（SAS）∴∠BED=∠A=3∠C=3α，AD=DE又，∠EDC=∠BED-∠C=2α作DF平分∠EDC，則∠EDF=∠CDF=∠C=α∴DF=CF，∴DF=CF=CE=，EF=CE=又，△DEF∽△CED∴AD2=DE2=EF?EC=×4=6∴AD=簡(jiǎn)解2：角平分線定理如圖，在BC上取一點(diǎn)E，使BE=AB=6，作AF⊥BC于F則，∠BEA=∠BAE∴∠EAC=∠AEB-∠C=∠BAE-∠C=∠BAC-∠EAC-∠C又，∠BAC=3∠C∴∠EAC=∠C∴AE=CE=4可令EF=x，則BF=6-x由勾股定理得，AB2-BF2=AF2=AE2-EF2即，36-(6-x)2=16-x2解得，x=，則CF=解△AEF得，AF=解△ACF得，AC=又，∴AD=AC=簡(jiǎn)解3：角平分線定理如圖，延長(zhǎng)BA至E，使BE=BC=10則，△BED≌△BCD（SAS）∴∠BED=∠BCD=α，DE=DC∴∠DEC=∠DCE又，∠BAC=3∠BCD=3α∴∠AED=∠DEC=∠DCE=α∴△EAD∽△CAE又，可令，AD=3x，則CD=5x∴AE2=AD?AC=24x2解得，x=∴AD=3x=簡(jiǎn)解4：角平分線定理如圖，在BC上取一點(diǎn)E，使BE=AB=6，連接AE則，∠BAE=∠BEA=∠EAC+∠C又，∠BAD=3∠C=3α∴∠AED=∠EAD=∠C=α∴△EAD∽△CAE∴AE2=AD?AC又，∴可令，AD=3x，則CD=5x即，16=3x×8x解得，x=∴AD=3x=簡(jiǎn)解5：平行導(dǎo)比例如圖，在BC上取一點(diǎn)E，使BE=AB=6，交BD于H則，△ABD≌△EBD（SAS）∴∠BAE=∠BEA=∠EAC+∠C又，∠BAC=3∠C∴∠EAC=∠C∴AE=CE=4，AH=EH=2可令，DH=x，則EF=2x又，∴BH=4x解△ABH得，4x=，∴x=解△ADH得，AD=簡(jiǎn)解6：角平分線定理如圖，在BC上取一點(diǎn)E，使BE=AB=6，連接AE交BD于F則，∠BAE=∠BEA=∠EAC+∠C又，∠BAC=3∠C∴∠BAE=∠BEA=2α，∠EAC=∠C=α∴EA=EC=4，AF=EF=2在BF上取一點(diǎn)G，使GF=DF則，∠GAF=∠DAF=∠BAG=α∴∴可令，DF=GF=x，則BG=4x=4√(2)∴x=解△ADF得，AD=簡(jiǎn)解7：角平分線定理如圖，延長(zhǎng)CA至E，使BE=BC=10則，∠E=∠C=α在AE上取一點(diǎn)F，使BF=EF則，∠FBE=∠E=∠C=α∴∠BFA=∠E+∠FBE=2α又，∠BAC=3∠C=3α∴∠EBF=∠ABF=α∴∴可令，AF=3x，則EF=BF=5x又，∠FAD=α+∠ABD=α+∠DBC=∠FDB∴BF=DF=5x，則AD=2x又，△BAF∽△EAB∴AB2=AF?AE，即，36=24x2解得，x=，∴AD=2x=簡(jiǎn)解8：避開(kāi)角平分線定理如圖，在BC上取一點(diǎn)E，使BE=AB=6則，△ABD≌△EBD（SAS）∴∠BED=∠A=∠EDC+∠C又，∠A=3∠C=3α∴∠EDC=2α作DF//AB交BC于F則，∠FDC=∠A=3α，BF=DF=x∴∠EDF=∠C=α，F(xiàn)E=6-x，F(xiàn)C=10-x∴△DFE∽△CFD∴DF2=FE?FC即，(x^2)=(6-x)(10-x)解得，x=作DG平分∠EDC交BC于G則，∠BDG=90°，∠EDG=∠C=α∴FG=BF=，EG=2x-6=又，AD2=DE2=EG?EC=×4=6∴AD=簡(jiǎn)解9：如圖，在BE上取一點(diǎn)E，使BE=AB=6則，∠C+∠EAC=∠BEA=∠BAE=∠BAC-∠EAC又，∠BAC=3∠C=3α∴∠EAC=∠C=α，∠BAE=∠BEA=2α∴CE=AE=BC-BE=4作AF平分∠BAE則，∠BAF=∠FAE=∠EAC=α又，∴FE=BE=，F(xiàn)C=EF+CE=又，△AFE∽△CFA∴AF2=FE?FC=，∴AF=又，，∴AC=又，，∴AD=AC=簡(jiǎn)解10：平分相似如圖，作CE⊥BD于E，延長(zhǎng)BE至F，使EF=ED則，△CDE≌△CFE（SAS）∴∠F=∠CDE=∠ADB又，BD平分∠ABD∴∠ABD=∠CBF∴△ABD∽△CBF∴，∠BCF=∠A=3∠BCD=3α∴∠BCD=∠DCE=∠FCE=α可令，BD=3x，則BF=5x，DE=EF=x則，，∴CE=解△BCE得，BD