-高中數(shù)學(xué)第三章不等式1不等關(guān)系與不等式1教案新人教版必修

PAGEPAGE15不等關(guān)系與不等式（一）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生從一系列的具體問題情境中感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用，這是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，也是不等關(guān)系在本章內(nèi)容的地位與作用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較的過程，即能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來，也就是建立不等式數(shù)學(xué)模型的過程，這是學(xué)習(xí)本章第三節(jié)的基礎(chǔ).在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中還安排了一些簡單的學(xué)生易于處理的問題，用意在于讓學(xué)生注意對數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)本章的情感基礎(chǔ).根據(jù)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用觀察、抽象歸納、思考、交流、探究，得出數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)并使用投影儀輔助.教學(xué)重點(diǎn)1.通過具體的問題情景，讓學(xué)生體會(huì)不等量關(guān)系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式組表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系，并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關(guān)系的問題；3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值.教學(xué)難點(diǎn)1.用不等式或不等式組準(zhǔn)確地表示不等關(guān)系；2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關(guān)系的實(shí)際問題.教具準(zhǔn)備投影儀、膠片、三角板、刻度尺三維目標(biāo)一、知識與技能1.通過具體情境建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示不等關(guān)系；2.了解不等式或不等式組的實(shí)際背景；3.能用不等式或不等式組解決簡單的實(shí)際問題.二、過程與方法1.采用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數(shù)學(xué)模型，從具體到抽象再從抽象到具體的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；2.教師提供問題、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用；3.設(shè)計(jì)較典型的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1.通過具體情境，讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)、改變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度；2.學(xué)習(xí)過程中，通過對問題的探究思考、廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，主動(dòng)、積極的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量；3.通過對富有實(shí)際意義問題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，同時(shí)去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的簡潔美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)過程導(dǎo)入新課師日常生活中,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關(guān)系.你能舉出一些例子嗎？生實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫32℃，最低氣溫26℃.生實(shí)例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，則xa＜xb.(老師協(xié)助畫出數(shù)軸草圖)生實(shí)例3:若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零.實(shí)例4:兩點(diǎn)之間線段最短.實(shí)例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.(學(xué)生迫不及待地說出這么多,說明課前的預(yù)習(xí)量很充分,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣濃,此時(shí)老師應(yīng)給以充分的肯定和表揚(yáng))推進(jìn)新課師同學(xué)們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實(shí)生活，又考慮到數(shù)學(xué)上常見的數(shù)量關(guān)系,非常好.而且大家已經(jīng)考慮到本節(jié)課的標(biāo)題不等關(guān)系與不等式,所舉的實(shí)例都是反映不等量關(guān)系,這將暗示我們這節(jié)課的效果將非常好.(此時(shí)，老師用投影儀給出課本上的兩個(gè)實(shí)例)實(shí)例6:限時(shí)40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h.實(shí)例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.［過程引導(dǎo)］師能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好,這說明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來說,能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程,這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人來說必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?生可以用不等式或不等式組來表示.師什么是不等式呢?生用不等號將兩個(gè)解析式連結(jié)起來所成的式子叫不等式.（老師給出一組不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是讓同學(xué)們回憶不等式的一些基本形式，并說明不等號“≤，≥”的含義，是或的關(guān)系.回憶了不等式的概念，不等式組學(xué)生自然而然就清楚了）師能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來，也就是建立不等式數(shù)學(xué)模型的過程，通過對不等式數(shù)學(xué)模型的研究，反過來作用于我們的現(xiàn)實(shí)生活，這才是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的.（此時(shí)，同學(xué)們已經(jīng)迫不及待地想說出自己的觀點(diǎn).）［合作探究］生我們應(yīng)該先像實(shí)例2那樣用不等式或不等式組把上述實(shí)例中的不等量關(guān)系表示出來.師說得非常好，下面我們就把上述實(shí)例中的不等量關(guān)系用不等式或不等式組一一表示出來.那應(yīng)該怎么樣來表示呢?（學(xué)生輪流回答，老師將答案相應(yīng)地寫在實(shí)例后面）生上述實(shí)例中的不等量關(guān)系用不等式表示應(yīng)該為32℃≤t≤26℃.生可以表示為x≥0.（此時(shí)，學(xué)生有疑問，老師及時(shí)點(diǎn)撥，可以畫出圖形.讓學(xué)生板演）（老師順便畫出三角形草畫）生|AC|+|BC|＞|AB|(只需結(jié)合上述三角形草圖).生|AB|+|BC|＞|AC|、|AC|+|BC|＞|AB|、|AB|+|AC|＞|BC|.生|AB|-|BC|＜|AC|、|AC|-|BC|＜|AB|、|AB|-|AC|＜|BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以.生如果用v表示速度，則v≤40km/h.生f≥2.5%或p≥2.3%.(此時(shí),一片安靜,同學(xué)們在積極思考)生這樣表達(dá)是錯(cuò)誤的,因?yàn)閮蓚€(gè)不等量關(guān)系要同時(shí)滿足，所以應(yīng)該用不等式組來表示此實(shí)際問題中的不等量關(guān)系，即可以表示為生也可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.師同學(xué)們看這兩位同學(xué)的觀點(diǎn)是否正確?生(齊答)大家齊聲說，都可以.師同學(xué)們的思考很嚴(yán)密,很好!應(yīng)該用不等式組來表示此實(shí)際問題中的不等量關(guān)系，也可以用“且”的形式來表達(dá).課堂練習(xí)教科書第83頁練習(xí)1、2.(老師讓學(xué)生輪流回答，學(xué)生回答很好.此時(shí)，同學(xué)們已真正進(jìn)入了本節(jié)課的學(xué)習(xí)狀態(tài),老師再用投影儀給出課本上的三個(gè)問題.問題是數(shù)學(xué)研究的核心，以問題展示的形式來培養(yǎng)學(xué)生的問題意識與探究意識）【問題1】設(shè)點(diǎn)A與平面α的距離為d,B為平面α上的任意一點(diǎn).［活動(dòng)與探究］師請同學(xué)們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量關(guān)系.(此時(shí),教室一片安靜,同學(xué)們在積極思考,時(shí)間較長,老師應(yīng)該及時(shí)點(diǎn)撥)［方法引導(dǎo)］師前面我們借助圖形來表示不等量關(guān)系,這個(gè)問題是否可以?(可以讓學(xué)生板演，結(jié)合三角形草圖來表達(dá))過點(diǎn)A作AC⊥平面α于點(diǎn)C，則d=|AC|≤|AB|.師這位同學(xué)做得很好,我們在解決問題時(shí)應(yīng)該貫穿數(shù)形結(jié)合的思想,以形助數(shù),以數(shù)解形.師請同學(xué)們繼續(xù)來處理問題2.［合作探究］【問題2】某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售,可以售出8萬本.據(jù)市場調(diào)查,若單價(jià)每提高0.1元,銷售量就可能相應(yīng)減少2000本.若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢?生可設(shè)雜志的定價(jià)為x元，則銷售量就減少萬本.師那么銷售量變?yōu)槎嗌倌?？如何表示？生可以表示為萬本，則總收入為萬元.〔老師板書，即銷售的總收入為不低于20萬元的不等式表示為x≥20〕師是否有同學(xué)還有其他的解題思路？生可設(shè)雜志的單價(jià)提高了0.1n元，(n∈N*)，（下面有討論的聲音，有的同學(xué)存在疑問，此時(shí)老師應(yīng)密切關(guān)注學(xué)生的思維狀況）師為什么可以這樣設(shè)？生我只考慮單價(jià)的增量.師很好，請繼續(xù)講.生那么銷售量減少了0.2n萬本，單價(jià)為(2.5+0.1n)元，則也可得銷售的總收入為不低于20萬元的不等式，表示為(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.師這位同學(xué)回答得很好，表述得很準(zhǔn)確.請同學(xué)們對兩種解法作比較.（留下讓學(xué)生思考的時(shí)間）師請同學(xué)們繼續(xù)思考第三個(gè)問題.［合作探究］【問題3】某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種,按照生產(chǎn)的要求,600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式?師假設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根.根據(jù)題意，應(yīng)當(dāng)有什么樣的不等量關(guān)系呢？生截得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm.生截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍.生截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù).師上述的三個(gè)不等關(guān)系是“或”還是“且”的關(guān)系呢？生它們要同時(shí)滿足條件，應(yīng)該是且的關(guān)系.生由實(shí)際問題的意義，還應(yīng)有x,y∈N.師這位同學(xué)回答得很好，思維很嚴(yán)密.那么我們該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關(guān)系呢？生要同時(shí)滿足上述三個(gè)不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來表示：師這位同學(xué)回答很準(zhǔn)確.通過上述三個(gè)問題的探究，同學(xué)們對如何用不等式或不等組把實(shí)際問題中所隱含的不等量關(guān)系表示出來，這一點(diǎn)掌握得很好.請同學(xué)們再完成下面這個(gè)練習(xí).課堂練習(xí)練習(xí)：若需在長為4000mm的圓鋼上，截出長為698mm和518mm兩種毛坯，問怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組?分析：設(shè)截出長為698mm的毛坯x個(gè)和截出長為518mm的毛坯y個(gè)，把截取條件數(shù)學(xué)化地表示出來就是：（練習(xí)可讓學(xué)生板演，老師結(jié)合學(xué)生具體完成情況作評析，特別應(yīng)注意x≥0,y≥0,x,y∈N）課堂小結(jié)師通過今天的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么知識，有何體會(huì)？生我感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以幫助我們解決生活中的實(shí)際問題.生數(shù)學(xué)就在我們的身邊，與我們的生活聯(lián)系非常緊密，我更加喜愛數(shù)學(xué)了.生本節(jié)課我們還進(jìn)一步鞏固了初中所學(xué)的二元一次不等式及二元一次不等式組，并且用它來解決現(xiàn)實(shí)生活中存在的大量不等量關(guān)系的實(shí)際問題.師我來補(bǔ)充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式組表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時(shí)，思維要嚴(yán)密、規(guī)范，并且要注意數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應(yīng)用.（慢慢培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)自己來歸納總結(jié)，將所學(xué)的知識，結(jié)合獲取知識的過程與方法，進(jìn)行回顧與反思，從而達(dá)到三維目標(biāo)的整合.進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和語言表達(dá)能力）布置作業(yè)第84頁習(xí)題3.1A組4、5.板書設(shè)計(jì)不等關(guān)系與不等式（一）實(shí)例方法引導(dǎo)方法歸納如何用不等式或不等式組表示實(shí)例剖析（知識方法應(yīng)用）小結(jié)實(shí)際問題中不等量關(guān)系？示范解題備課資料一、備用習(xí)題1.一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料需要的主要原料是磷酸鹽4噸、硝酸鹽18噸；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸、硝酸鹽15噸.現(xiàn)有庫存磷酸鹽10噸、硝酸鹽66噸，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行生產(chǎn).請用不等式或不等式組把此實(shí)例中的不等量關(guān)系表示出來.分析：設(shè)x,y分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，則2.某年夏天，我國遭受特大洪災(zāi)，災(zāi)區(qū)學(xué)生小李家中經(jīng)濟(jì)發(fā)生困難.為幫助小李解決開學(xué)費(fèi)用問題，小李所在班級學(xué)生（小李除外）決定承擔(dān)這筆費(fèi)用.若每人承擔(dān)12元人民幣，則多余84元；若每人承擔(dān)10元，則不夠；若每人承擔(dān)11元，又多出40元以上.問該班共有多少人？這筆開學(xué)費(fèi)用共多少元？請用不等式或不等式組把此實(shí)例中的不等量關(guān)系表示出來，不必解答.分析：設(shè)該班共有x人，這筆開學(xué)費(fèi)用共y元，則.3.制定投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目.根據(jù)預(yù)測，甲、乙項(xiàng)目可能的最大虧損分別為30%和10%.投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元.請用不等式或不等式組把此實(shí)例中的不等量關(guān)系表示出來.分析：設(shè)投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，由題意，知4.某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，A產(chǎn)品的單位利潤為60元，B產(chǎn)品的單位利潤為80元，兩種產(chǎn)品都需要在加工車間和裝配車間進(jìn)行生產(chǎn)，每件A產(chǎn)品在加工車間和裝配車間各需經(jīng)過0.8h和2.4h，每件B產(chǎn)品在兩個(gè)車間都需經(jīng)過1.6h，在一定時(shí)期中，加工車間最大加工時(shí)間為240h，裝配車間最大生產(chǎn)時(shí)間為288h.請用不等式或不等式組把此實(shí)例中的不等量關(guān)系表示出來.分析：設(shè)該企業(yè)分別生產(chǎn)A產(chǎn)品x件、B產(chǎn)品y件，則二、課外探究開放性問題已知：不等式組你能舉出符合此不等式組的實(shí)際問題嗎？3.1.2不等關(guān)系與不等式（二）從容說課本節(jié)課的研究是對初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展.為了利用不等式更好地研究不等關(guān)系，也能夠讓學(xué)生在以后的解不等式以及對不等式的證明奠定一定的理論基礎(chǔ).在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.了解不等式的一些基本性質(zhì)并能給出嚴(yán)格的理論證明，能用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行一些簡單的不等式證明，進(jìn)而更深一層次地從理性角度建立不等觀念.這是學(xué)習(xí)本節(jié)課的目的也是本節(jié)課的內(nèi)容安排在本章的地位與作用.對實(shí)數(shù)基本理論的復(fù)習(xí)，教師應(yīng)作好點(diǎn)撥，利用數(shù)軸數(shù)形結(jié)合，做好歸納總結(jié).對不等式的基本性質(zhì)，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)與等式的基本性質(zhì)作類比、歸納、邏輯分析，并鼓勵(lì)學(xué)生從理性角度去分析量與量的比較的過程，進(jìn)而能利用不等式的基本性質(zhì)來證明一些簡單的不等式.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，課外作業(yè)仍安排了一些簡單的學(xué)生易于處理的實(shí)際問題，用意在于讓學(xué)生注意對數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)研究不等式基本性質(zhì)的必要性，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)本學(xué)時(shí)的情感基礎(chǔ).根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大小和證明不等式的一些性質(zhì).應(yīng)用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性質(zhì)，并能利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行一些簡單的不等式證明.進(jìn)行啟發(fā)、探究式教學(xué)并使用投影儀輔助.教學(xué)重點(diǎn)1.利用數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大小；2.了解不等式性質(zhì)研究的必要性及不等式的一些基本性質(zhì)；3.能用不等式的基本性質(zhì)來證明一些簡單的不等式.教學(xué)難點(diǎn)1.用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大小時(shí)對差的合理變形；2.利用不等式的基本性質(zhì)來證明一些簡單的不等式.教具準(zhǔn)備投影儀、膠片、三角板、刻度尺三維目標(biāo)一、知識與技能1.利用數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大小與用實(shí)數(shù)的基本理論來證明不等式的一些性質(zhì);2.通過回憶與復(fù)習(xí)學(xué)生所熟悉的等式性質(zhì)類比得出不等的一些基本性質(zhì);3.在了解不等式一些基本性質(zhì)的基礎(chǔ)之上能利用它們來證明一些簡單的不等式.二、過程與方法1.采用探究法，按照聯(lián)想、類比、思考、交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué);2.教師提供問題、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用;3.設(shè)計(jì)較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學(xué)生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1.通過具體問題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行類比、歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)、培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣;2.學(xué)習(xí)過程中，通過對問題的探究思考，廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，主動(dòng)、積極的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量;3.通過對富有挑戰(zhàn)性問題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，同時(shí)去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘、數(shù)學(xué)的簡潔美、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)美，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)過程導(dǎo)入新課師上一節(jié)課我們通過具體的問題情景，體會(huì)到現(xiàn)實(shí)世界存在大量的不等量關(guān)系，并且研究了用不等式或不等式組來表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系.為了利用不等式更好地研究不等量關(guān)系及用不等式或不等式組研究含有不等關(guān)系的問題.我們需要對不等式的性質(zhì)有必要的了解.推進(jìn)新課師我們已學(xué)習(xí)過等式、不等式，同學(xué)們還記得等式的性質(zhì)嗎？生等式有這樣的性質(zhì)：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）同一個(gè)數(shù)，所得到的仍是等式.師很好！當(dāng)我們開始研究不等式的時(shí)候，自然會(huì)聯(lián)想到，是否有與等式相類似的性質(zhì)，也就是說，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）同一個(gè)數(shù)，結(jié)果將會(huì)如何呢？（此時(shí)很快能讓學(xué)生進(jìn)入對初中所學(xué)過的不等式三條基本性質(zhì)的回憶與復(fù)習(xí)）師一般地說，不等式的基本性質(zhì)有三條：性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)，不等號的方向_________.（讓同學(xué)回答）性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向________.（讓同學(xué)回答）性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向________.（讓同學(xué)回答）［過程引導(dǎo)］師不等式的這三條基本性質(zhì)，都可以用數(shù)學(xué)的符號語言表達(dá)出來.（讓三位同學(xué)板演）性質(zhì)1：a＜ba+c＜b+c（或a-c＜b-c）；a＞ba+c＞b+c（或a-c＞b-c）.性質(zhì)2：a＜b且c＞0ac＜bc(或)；a＞b且c＞0ac＞bc(或).性質(zhì)3：a＜b且c＜0ac＞bc(或)；a＞b且c＜0ac＜bc(或).（用數(shù)學(xué)符號表達(dá)不等式的性質(zhì)，目的是為下面用符號進(jìn)行不等式性質(zhì)與證明打基礎(chǔ)，給學(xué)生也有一適應(yīng)過程.老師對學(xué)生的板演作點(diǎn)評）師性質(zhì)2、性質(zhì)3兩條性質(zhì)中，對a、b、c有什么要求？生對a、b沒什么要求，特別要注意c是正數(shù)還是負(fù)數(shù).師很好，c可以為零嗎？生c不能為零.因?yàn)閏為零時(shí)，任何不等式兩邊都乘以零就變成等式了.若是“≤”或“≥”則可以.師這位同學(xué)回答的非常好，思維既嚴(yán)謹(jǐn)又周到.師對于不等式的這三條基本性質(zhì)，我們不僅要理解這三條性質(zhì)，還要能靈活運(yùn)用.在初中，我們對這三條性質(zhì)只是作了感性的歸納，現(xiàn)在我們應(yīng)對它給出嚴(yán)格的證明，只有這樣應(yīng)用這些性質(zhì)才能有理有據(jù).（學(xué)生已迫不及待）生（齊聲）那我們來給出嚴(yán)格的證明吧.（此處，說明老師點(diǎn)撥很到位.真正體現(xiàn)了課堂上教師的主導(dǎo)地位與學(xué)生的主體地位）師為了對不等式的基本性質(zhì)給出嚴(yán)格證明，我們還有必要回憶實(shí)數(shù)的基本性質(zhì).（此時(shí)學(xué)生對這一名詞肯定感到生疏，老師在黑板上應(yīng)很快給出數(shù)軸）［教師精講］師若點(diǎn)Ａ對應(yīng)的實(shí)數(shù)為a，點(diǎn)Ｂ對應(yīng)的實(shí)數(shù)為b，因?yàn)辄c(diǎn)Ａ在點(diǎn)Ｂ的左邊，所以可得a＞b.a＞b表示a減去b所得的差是一個(gè)大于０的數(shù)即正數(shù)，即a＞ba-b＞0.它的逆命題是否正確？生顯然正確.師類似地，如果a＜b，則a減去b是負(fù)數(shù)，如果a=b，則a減去b等于０，它們的逆命題也正確.一般地,a＞ba-b＞0;a=ba-b=0;a＜ba-b＜0.師這就是實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的一部分，還有任意兩個(gè)正數(shù)的和與積都是正數(shù)等.等價(jià)符號左邊不等式反映的是實(shí)數(shù)的大小順序，右邊不等式反映的則是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，合起來就成為實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，它是不等式這一章的理論基礎(chǔ)，是證明不等式以及解不等式的主要依據(jù).師由實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)可知，我們?nèi)绾伪容^兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小呢？生只要考察它們的差就可以了.師很好.請同學(xué)們思考下面這個(gè)問題.(此時(shí)，老師用投影儀給出問題)［合作探究］【問題1】已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.（問題是數(shù)學(xué)研究的核心，此處以問題展示的形式來培養(yǎng)學(xué)生的問題意識與探究意識)（讓學(xué)生板演，老師根據(jù)學(xué)生的完成情況作點(diǎn)評）解：(x2+1)2－x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，由x≠0，得x2＞0，從而(x2+1)2＞x4+x2+1.（學(xué)生對x≠0，得x2＞0在說理過程中往往會(huì)忽略）師下面我們來看一組比較復(fù)雜的問題，請大家都來開動(dòng)腦筋，認(rèn)真審題，仔細(xì)分析.（讓學(xué)生板演，老師根據(jù)學(xué)生的完成情況作點(diǎn)評）【例1】比較下列各組數(shù)的大?。╝≠b）.(1)與(a＞0,b＞0);（2）a4－b4與4a3（a－b）.師比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.解：（1），∵a＞0,b＞0且a≠b,∴a+b＞0,(a-b)2＞0.∴.（2）a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)［(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)］=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2［2a2+(a+b)2］,∵2a2+(a+b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)取等號),又a≠b,∴(a-b)2＞0,2a2+(a+b)2＞0.∴-(a-b)2［2a2+(a+b)2］＜0.∴a4-b4＜4a3(a-b).師同學(xué)們完成得很好，證明不等式時(shí)，應(yīng)注意有理有據(jù)、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，還應(yīng)條理清晰.比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用.(此時(shí)，老師用投影儀給出下列問題)［合作探究］【問題2】求證：（1）a＞b且c＞0ac＞bc；（2）a＞ba+c＞b+c.師請同學(xué)們思考第一小問該如何證明？生可用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)，∵a＞b,∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意兩個(gè)正數(shù)的積都是正數(shù)可得(a-b)c＞0，即ac＞bc.師這位同學(xué)證明的思路很好，很嚴(yán)密.同學(xué)們還有其他的證明思路嗎？生ac-bc=(a-b)c，∵a＞b，∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意兩個(gè)正數(shù)的積都是正數(shù)可得(a-b)c＞0，所以得證.師這位同學(xué)證明得是否正確？生正確.師這兩位同學(xué)的證明都正確，請同學(xué)們認(rèn)真地審視一下，比較這兩位同學(xué)證題思路的區(qū)別與聯(lián)系.生第一位同學(xué)的證明是由條件到結(jié)論，