平面向量的極化恒等式

→→→專題八→→→

平面向量極化恒等式利用向量的極化恒等式可以快速對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)積進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)間的橋梁，實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)巧妙結(jié)合．于不共起點和不共終點的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化為對共起終的向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決．11．化等：b＝[(＋b)24

－－b)2]幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形和對角線與差對角線平1差的4

C

b

＋

－

→→12．行邊模如圖平行四邊形ABCDO是角線交點則·AD＝24

－BD2．D

C

A

O圖(

B

D(2)

C3．角模：圖，中，設(shè)DBC的點，則·AC＝AD2－BD2．三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決．記憶：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差．考點一平面向量數(shù)量積的定值題【方總】利極恒式數(shù)量積的定值問題的步(1)取第三邊的中點，連接向量起點與中點；(2)利用積化恒等式將數(shù)量積轉(zhuǎn)為中線長與第三邊長的一半的平方差；(3)求中線及第三邊的長度，從求出數(shù)量積的．積化恒等式適用于求對共起點終的兩向量的數(shù)量積，對于不共起點和不共終點的問題可通平移轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化為對共起終點的兩向量的數(shù)量積，從而用極化恒等式解決．在運用極化恒等式求數(shù)量積時，關(guān)鍵在于取第三邊的中點，找到三角形的中線，再寫出極化恒等式，難點在于求中線及三邊的長度，通常用平面幾何方法或用正余弦定理求解，從而得到數(shù)量的值．【題講[例1](1)(2014·全國Ⅱ設(shè)向量a，b滿a＋b＝10，ab＝，則ab＝)A．．C．D．答案A解析通由件可得(a＋b2

＝，a－)＝6兩式相減得ab＝，以a＝1．11極化恒等式a＝a＋b2－a－b2]－＝．44(2)(2012·浙江中M是中點＝，10B＝．

→→→→→12答案解析連EG，，于點O，則·FG＝EF·＝2－2＝－＝，＝GHGF＝2－223→→→→→→→→12答案解析連EG，，于點O，則·FG＝EF·＝2－2＝－＝，＝GHGF＝2－223→→→32→→→→→→229m4·22E22→→

11BC29×10044(3)如圖所示，是O的徑，是上點，，是徑AB上于點對稱的兩點，且AB→→＝，＝，＝)A．B．7C．D．→→→→→→→→→→答案C解連AP＝＋＝PB＋＝－AMPM＝＋)·(→→→→→→→→→→→→→→－)＝·PB－AMAMPB－AM2＝＋AM·PB－2＝AB－2

＝－＝．(4)如圖，在平行四邊形ABCD中AB＝，AD＝，，，，分別是，，，AD邊的中點，則·＋GHHE＝．3→→→→→→3→→24→→→→

＝－＝，此FG＋·HE＝．42(5)(2016·江蘇如圖，中是BC的點是上兩個三等分點·CA＝CF＝－1，則·CE的為．7答案解析DCFDn3n8→→→→→2

2

m21n

51328→→→→

4

2m2

7→→7．B88xBCyxoy，A(3b)，(－，，(，Ea2b)，(b)BACA＝(3＋3b－，b

→→－236FD－2－2－216FD－→→→→→→→－236FD－2－2－216FD－→→→→→2

－2

＋2

＝·＝a＋b)·(a－，)＝

2

－2

＋2

＝－1，2

＋2

513→→＝，2·＝882a－，)(a－，b

7＝a2－＋4b2＝．8＝

→→→→→→→→→4AD→→→→→BA＝－－＝＝＝4，CF＝DF－)(－)44→→→→4FD2→5→13→→→→→427＝－F2＝＝·＝DE－DE－＝＝＝．482448(6)在梯形，滿足AD1·2CBD的值為．ADBC答案4解析AAEDCBCE中DHBHABBFBDBE

DE

DE

，F(xiàn)EBEBFAD∥ADEFAF．AB

EC

【對訓(xùn)】1．已知正方形的邊長為，點是邊的動點，則·DA的為．1→→1．答案1解析Ox(0≤x≤1)AOx∴·DADO22

AO2

1

2

1x2124

→→2．如圖為角三角形OA＝，＝為邊的中點為段OC中點，則POP＝()A．．

111C．－1642

→→→→3．答案9解析因為BADAO－2＝－2＝－72＝，所以·DC＝2－2→→→→3．答案9解析因為BADAO－2＝－2＝－72＝，所以·DC＝2－2→→→→→→→→→→366→→→→2．答案B解析AOQPQ·OP＝·＝PQ

－2

511＝－＝．164163．如圖，在平面四邊形中，O為BD的中點，且＝，＝，ABAD＝－，則DC值是．→→→→→→→→

＝－＝．4已點分在直線＝x1上＝當OA＋取小值時OA·OB的值是____．A．．C．D．4．答案C解如，點A，分別在直線＝，＝上，AB＝4，當OA＋|取最小值時的中點在x軸上，·OB22＝－＝．yAO

MB→→5．在邊長為1的三角形ABC中，，是BC的個三等分點D靠點B，則DAE等于)12131A．BC．D．6918315．答案C解析解法一：因為D，是BC的個三等分點，所以BDDE＝＝，中3117AD2＝22－BD＝2＋1－×1×＝，＝，理可得AE，32933771＋－2AD＋AE2－29313→→中弦定理得∠＝＝＝以＝AD|·|AE∠＝2·771432××3371313×＝．×31418解法二：如圖，建立平面直角坐標系，由正三角形的性質(zhì)易得A0，

2

11，－，，，，

所以D(－，－)，＝，，以D·AE＝－，·→→所以D(－，－)，＝，，以D·AE＝－，·→→33333333→→→→→→→→→→→→→→→13→→331313，－＝＋＝．62262236418→→3113AE2－2＝－＝．43618→→→→→→6．在△中，＋＝|AB|，＝，1，為的等分點，EAF等于)8102526A．BD．999→→→→→→6．答案B解析坐標法|ABA·0ABABCAACxABy(00)B(02)C0)BCE→→12410A·××33339

22142214FAE→→AMAAF＝AM2

5510－EM2－＝．43697．如圖，在平行四邊形中已知AB8AD5＝PDAPBP，則·的是)A．．．．727．答案B解析EAPBP2

－EP2－∴2∵3PDEBDC∴DP1→→→→AD10AB422240AD·ABAFAE2

－2

40－2)

2228．如圖，中，已知AB＝，AC＝，＝，D分在邊AB，AC上B＝ADAC→→＝AE，若F為的中點，F(xiàn)DE的值為．

－2＝．→→→→ABCADC2A－2＝．→→→→ABCADC2B

D

F

E18答案4解析BDNNF⊥AEBE＝3．∥FN2＝3．·DE＝FBFD2(AB

D

F

E9．如圖，中，已知AB＝，＝，∠＝D為BC的點，若AD，垂足為E→→則·EC＝．279答案解析27

→→2－AB··cos120°＝＝19ABACAD2

－2

＝|·|AC|·cos120°＝－3AD＝

71＝AC|·sin120°2·2223217→27AD＝DEC＝CD－2＝EC＝ED2－CD|2＝．7147D

C→→10在面四邊形ABCD中點E分是邊ADBC的點且＝EF＝2CD5若→→15．CBD的值為________．10．答案

解析,,,BDHIJK，ABCDEF,KI,HJ，

ADHK

154

，

ACHE4

，EFI

EF2,EI

5,FI，IO,HO224

，AC=)．E

DH

A

K

O

I

JB

F

2ABDC，EFAB，=1,DC5,2，，

AD(AC)BDDC)，CDDC

→→→→→→→→→→→→ACABBCCD15，=14．

故E

DAB考點二平面向量數(shù)量積的最值范圍問【方總】

OF

利極恒式數(shù)量積的最值范圍問的步驟(1)取第三邊的中點，連接向量起點與中點；(2)利用積化恒等式將數(shù)量積轉(zhuǎn)為中線長與第三邊長的一半的平方差；(3)求中線長的最值范，而得到數(shù)量的最(范)．積化恒等式適用于求對共起點終的兩向量的數(shù)量積的最范)問極化恒等式將多變量轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞?，再用?shù)形結(jié)合等方法求出單變量的范圍．對于不共起點和不共終點的問題可通過移轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化為對共起點終的向量的數(shù)量積的最范問題從而用極化恒等式解決運用極化恒等式求數(shù)量積的最值(范圍)時關(guān)鍵在于取第三邊的中點，找到三角形的中線，再寫出極化恒等，難點在于求中線長的最值(范圍)，過觀察或用點到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第邊，兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長的最范圍，從而得到數(shù)量的最范)．【題講[例1]若面向量a，滿|ab≤，則ab的小值為_．91102－2答案解析aba＋b2－ab2＝a＋b2－ab2≥＝．|a＋b8888339＝，ab＝，a＝，b＝，a，b>＝πa·b．428(2)如圖在一平面內(nèi)點位于兩平行直線n的側(cè)且到mn距離分別為3點，C分別在mn上AB＋AC＝5，B·的大值是．答案

214

解析nxyxOy，(0，)，(，)Bb，)

，B＝(，－，＝c，)，(＋)2＋

－)

2＝2，b＋)

2

→→(＋)221＝，CAB＝＋＋＝，b＝時，44

→→1→→|→→25222max3→→1→→|→→25222max3333→→→→→||PDAD|PD|AD2×3PD≤2AB＝BD＝ABAC＝AB＝251→21－2＝－，BC＝－＝，·)＝．444→→→國已△ABC是長為2的邊三角形P為面ABC內(nèi)點則PB＋)的小值是()34A．－B．－．－23

D．－答案B解方一)①A(03)B((10)P(y①→→→→→→A(x3y)PB(xyxy∴PB(3)·(2x2y2y2y22y32

2≥×－．x0yPB242→→→→→→→→方法二()②PDDBC)A·(PBPCPD②→→→→→→→→·PDAPPAD(·)||PD→→→→→3→→|||

→→→→max→→→→→→→→︵12→→→→max→→→→→→→→︵12→→→2

33→→→→→332，∴PBPC)](2PD×242→→→→→→BCADMPM∴·(PB)2PDPM2

1→→32PM2≥M22

C(4)已知正三角形內(nèi)接于半徑為2的O，是的一個動點，·的取值范圍是．答案－，解析ABDABCABCOCDOC22CD23·PD21|24

PD23POPCPD3PCOOPD|1·∈π→→→→(5)如圖，已知是半徑為2，圓心角為的段圓弧AB上一點，＝，·的最小值為3_____．答案5－13解析ABxy()(13)(2cosθθ)

π2π≤3

PC(22cos2sinθ)·(12cos32sinθ52cos3sinθ2θ)，3ππ→→0<tanφ<φ<θ－·52136362設(shè)心為O題得AB＝∴＝取AC的中M得＝PM2－2＝2－

9→→PPMBPM41＝，∴OM＝2

＋3)2

1313→→＝，PM2－，5－2213．(6)在面積為2中，，F(xiàn)分別是AB，的點，點P在線，則PB＋BC2值是________．

的最小

→＝·2＝2→→→→→→→→＝·2＝2→→→→→→→→→→→答案23

→→→→2→解析BCDPDCPBBCPD24PD2

→→→→3BCAD3BC→→→→→232BC·PBBC2≥24444

→→AD22·442BCMPMPBCh

1→||→|BCBC

2＝，hPM≥

2＝)【對訓(xùn)】1．已知AB是的徑長2C是上于A，的一點是所平面上任意一點則＋PB)·PC的小值()111A．．－C．432

．11．答案C解PBPO∴)·2POOC1→→→1PD2CD|2PD2PD2∴42C

O

→→2．如圖，設(shè)，是半徑為2的O上的兩個動點點C為AO中，則C的值范圍是)A．－，B．，C．－，－1]D．－1]2．答案A解析建立平面直角坐標系如圖所示，可得O(0，，－，，(－，，設(shè)B(2cos，→→θ．θ，2π)．COCB(1，＋，θ＝＋∈－，．選A．

max→→→max→→→→→OB取OB的D，，C·＝CD2

BD2

＝2

1，CD20→→→∴CD2CO3π→→3．如圖，在半徑為1的扇形AOB中，AOB＝，為上的動點與OC交點，·的最3小值為．A

CP1→→→→3．答案－解析OBDO·＝2|OD2＝PD216

1，4PDPD，PD＝

3－．416A

PO

B→→→→34．天如，在四邊形中∠＝AB＝，＝，D＝，·AB＝－，實2數(shù)λ的為________，，是段BC上動點，且MN＝，則DN最小值為_______．4．答案

113→→→→→→解析1λBC∥∠·ABADAB623→→→1→|·cos，AD1DADBC．26633ABCD⊥BC·cos60°22OBCAOxyaM

a2→→6．答案－0]a2→→6．答案－0]解析MB2－，∵||≤||≤|OC，7≤||，－2＝2→→→→→→→→→373→3→33→→(a1≤≤1DMa1aDM2222a

2

271131→→13aDMDN4222→→→1→→MNPPDMDN＝2－2＝PD－D⊥42

27→13，D·DN42

D

MPN

C5．中＝＝，∠為鈍角M，是上兩動點，且＝，若的最小值為，cosACB＝________．5．答案

18

解析，CCP

1MN，∵4CM

，∴CP

，CP⊥CPCH⊥，minHCH，＝＝∠＝o

，=cos∠＝cos（150－）=

18

．AN

P

M

HC

B6為O的徑為O的CD一動點6·MB的取值范圍是．→→→→→→→→∴·MB－．7圖方ABCD的邊長為點在AB為徑的弧上PD的取值范圍_．7．答案，解析PE·PD＝2－2＝2－，≤5PD[0，16]．

→→→→max→→→→→→→→max→→→→→→－→→→→→→→→

E

CPA8．已知內(nèi)于半徑為2的OE為段BC上一個動，延長交于，·的取值范圍_．8．答案，6]解析CDABCOABCOOC2OD2CD323·FBFD2AD2

FD2

3FBCFC|3FBPD|

APB∈CE

FA

B9．已知AB是徑為4的O的條，圓心O到弦AB的距離為，是上的動點，則PB的取值范圍為．9．答案－10]解析ABC，CPPB|2－2＝2PC－≥2515＝2－≤9－＝－．

10．形ABCD中AB＝，＝，點，分為邊BC，上的動點且MN2M的小值為．10．答案15解析MN·AK21KCAK

51．DA

K

MBπ→→．中，已知AB，＝，C的大為．3

max0040000000→→答案max0040000000→→

32

解析DCDODO33→→→→3′∵＝∴′＝CA|CD2|DA2＝CD2()≤|′D2＝24333→3(2＝．()＝．242C'

CD1→→12在ABC中是上定點PBAB于AB上任一點PB≥·PC00，則()A．∠＝．BAC＝C．＝D．BC112．答案D解析EABPEB4DDPCEBDP∥00→→→→→→→·PD2DB2B·PCD2DB2PB≥BPPD→≥PDDP⊥⊥EABACBC0013．正方形ABCD中＝1，，分在，軸非負半軸上滑動，O·的最大值______．→→→→→→13．答案2解析ADOCOB＝OE－2＝2－，OE≤|4→1→3→＋＝||＋FE＝1，C·2222

4244→→→→→→4244→→→→→→D

14．三角形ABC中，中點，＝，，，F(xiàn)分為BC，上動點，且→EF＝，·DF最值為．14答案

151→解析MCM|CMM42→→→11152－2＝DM2－|CD2－＝．BE

A→15．Rt中CAC3AB5，若點，分別在x，的非負半軸上滑動，OAOC的最大值為．→→→→3→15．答案18解析ABO·OC＝2－2＝2－2≤ON22→353－2)－)2＝＋2－)2＝．222

CA

N

Bx16．知正方形的長為2點為AB的中點，以為心為徑弧交AD于，P為劣弧EF上的動點，則·PD的最小值_．16．答案5－解析MPD＝2－2

＝2

－，PM1PM|＝5PQPD(5－2－＝－25

M

E

QA

P

B

→→→A·＝MAMD＝ME|EA＝ME→π1→→→→→A·＝MAMD＝ME|EA＝ME17．圖，已知D是角C兩上的動點AD⊥BD|AD＝3BADCM(CA＝621→→→(CD)，則·的大值為．2NDMC

17．答案

13＋4

解析MNGBD·＝CG2GN2＝CG2

116→→→113→113113＋→13＋∵CGCH＋|＝＋CMCN≤(＋2＝．．2424164AD

GMH18．圖，在平面四邊形⊥，⊥，∠BCD＝60°，CD23．若點M為BC→→上的動點，·的最小值為．18．答案

214

BA解析AD⊥，CBDAEN5FD＝3CD，＝CD＝3，∴＝3，∴AB＝，＝，∴，＝＝，EN＝．42→→→→→222

1EN2B

521→→211＝)21＝．∴·＝．2MEAD⊥FAGEF∵⊥AD⊥CD∴ABCD，∠BCD＝60°，＝＝3∠∠＝30°，AB＝

16224→→115→→→→→→16224→→∵∠GAE＝GE＝，∴EF＋＝·MAMD＝2|EA2|ME2222

1EN2

1＝521→→21(21＝．·＝．24F

C

D19．(2018·天津)如圖，在平面四邊形ABCD中A