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兩角和與差的余弦公式的五種推導(dǎo)方法之對(duì)比因此兩.對(duì)于不同版本的教材采用究問題、解決問題的能力有很大的作用。下面將兩角和與差的余弦公式的五種常見推導(dǎo)方法歸納如下:方法一:應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式的方法1設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1,∠POP=β,則∠POx=α-β.1PPM⊥x軸M,OMα-βα,β的正弦、余弦的線段來(lái)表OM.1PPA⊥OPAAAB⊥xB,PPC⊥ABCcosβ=OA,1sinβ=AP,并∠PAC=∠P1Ox=α,于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα.綜上所述, .說(shuō)明:應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式這一方法簡(jiǎn)單明了,構(gòu)思巧妙,容易理解。但這種推導(dǎo)方法對(duì)于如何能夠得到解題思路,存在一定的困.此種證明方法的另一個(gè)問題是公式是此還要考慮 的角度從銳角向任意角的推廣問題。

均為銳角的情況下進(jìn)行的證明,因方法二:應(yīng)用三角形全等、兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)差角公式的方法, 設(shè)P1(x1y1),P2(x2y2),則有|P1P2, α,α+β

。,它們的終邊分別交單位圓于P2、P3和3P4xP1P1)P2α,nα(3∵ ,且 ,∴ ,∴ ,∴,

α+β(αβ、 ?!?,∴ , 。說(shuō)明該推導(dǎo)方法巧妙的將三角形全等和兩點(diǎn)間的距離結(jié)合在一起,利用單位圓上與角 有關(guān)的四個(gè)點(diǎn), 建立起等式關(guān)系,通過(guò)將等式的化簡(jiǎn)、變形就可以得到符合要求的和角與差角的三角公.在此種推導(dǎo)方法中,推導(dǎo)思路的產(chǎn)生是一個(gè)難另外于 三點(diǎn)在一條直線和 三點(diǎn)在一條直線上時(shí)這一特殊情,還需要加以解釋、說(shuō).方法三:應(yīng)用余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)差角公式的方法設(shè) ,則 。在△OPQ中,∵ ,∴ ,∴ 。說(shuō)明:此題的解題思路和構(gòu)想都是容易實(shí)現(xiàn)的.因?yàn)橐髢山呛团c差的三角函數(shù),所以構(gòu)造出和角和差角是必須實(shí)現(xiàn)的.構(gòu)造出的和角或差角的余弦函數(shù)又需要和這兩個(gè)角的三角函數(shù)建立起等式關(guān)系,因此借助于余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式建立起等式關(guān)系容易出現(xiàn),因此此種方法是推導(dǎo)兩角和與差的余弦的比較容易理解的一種方法.但此種方法必須是在學(xué)習(xí)完余弦定理的前提下才能使用,因此此種方法在必修四中又無(wú)法使用.另外也同樣需要考慮三點(diǎn)在一條直線上的情況。方法四:應(yīng)用三角形面積公式推導(dǎo)推導(dǎo)差角公式的方法α、βα、βOBOBα另一邊于A,交β另一邊于C,則有S△OAC=S△OAB+S△OBC。。根據(jù)三角形面積公式,有,∴ ?!?,,,∴∵ ,∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα。,根據(jù)此式和誘導(dǎo)公式,可繼續(xù)證出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(—β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ—sinβcosα;(2)cos(α+β)=sin[90—(α+β)]=sin[(90—α)-β]=sin(90-α)cosβ—sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ;(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(—β)—sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.說(shuō)明:此種推導(dǎo)方法通過(guò)三角形的面積的和巧妙的將兩角和的三角函數(shù)與各個(gè)角的三角函數(shù)和聯(lián)系在一起,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)。缺點(diǎn)是公式還是在兩個(gè)角為銳角的情況下進(jìn)行的證明,因此同樣需要將角的范圍進(jìn)行拓展。(五)應(yīng)用數(shù)量積推導(dǎo)余弦的差角公式在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),作單位圓O,以O(shè)x為始邊作角α,β,它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)為A,B,則=(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ).由向量數(shù)量積的概念,有 .由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,有.于是有 。說(shuō)明:應(yīng)用數(shù)量積推導(dǎo)余弦的差角公式無(wú)論是構(gòu)造兩個(gè)角的差,還是得到每個(gè)角的三角函數(shù)值都是容易實(shí)現(xiàn)的,而且從向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算兩種形式求向量的數(shù)量積將二者之

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