兩角和與差的余弦公式的五種推導(dǎo)方法之對(duì)比

兩角和與差的余弦公式的五種推導(dǎo)方法之對(duì)比因此兩.對(duì)于不同版本的教材采用究問題、解決問題的能力有很大的作用。下面將兩角和與差的余弦公式的五種常見推導(dǎo)方法歸納如下：方法一：應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式的方法1設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1，∠POP＝β，則∠POx＝α－β．1PPM⊥x軸M,OMα－βα，β的正弦、余弦的線段來(lái)表OM．1PPA⊥OPAAAB⊥xB,PPC⊥ABCcosβ＝OA，1sinβ＝AP,并∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．綜上所述， .說(shuō)明：應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式這一方法簡(jiǎn)單明了，構(gòu)思巧妙，容易理解。但這種推導(dǎo)方法對(duì)于如何能夠得到解題思路，存在一定的困.此種證明方法的另一個(gè)問題是公式是此還要考慮 的角度從銳角向任意角的推廣問題。

均為銳角的情況下進(jìn)行的證明，因方法二：應(yīng)用三角形全等、兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)差角公式的方法, 設(shè)P1（x1y1），P2(x2y2)，則有|P1P2, α，α+β

。，它們的終邊分別交單位圓于P2、P3和3P4xP1P1)P2α,nα（3∵ ，且 ，∴ ,∴ ，∴,

α+β（αβ、 ?！?，∴ , 。說(shuō)明該推導(dǎo)方法巧妙的將三角形全等和兩點(diǎn)間的距離結(jié)合在一起，利用單位圓上與角 有關(guān)的四個(gè)點(diǎn), 建立起等式關(guān)系，通過(guò)將等式的化簡(jiǎn)、變形就可以得到符合要求的和角與差角的三角公.在此種推導(dǎo)方法中，推導(dǎo)思路的產(chǎn)生是一個(gè)難另外于 三點(diǎn)在一條直線和 三點(diǎn)在一條直線上時(shí)這一特殊情,還需要加以解釋、說(shuō).方法三：應(yīng)用余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)差角公式的方法設(shè) ,則 。在△OPQ中，∵ ，∴ ，∴ 。說(shuō)明:此題的解題思路和構(gòu)想都是容易實(shí)現(xiàn)的.因?yàn)橐髢山呛团c差的三角函數(shù),所以構(gòu)造出和角和差角是必須實(shí)現(xiàn)的.構(gòu)造出的和角或差角的余弦函數(shù)又需要和這兩個(gè)角的三角函數(shù)建立起等式關(guān)系，因此借助于余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式建立起等式關(guān)系容易出現(xiàn),因此此種方法是推導(dǎo)兩角和與差的余弦的比較容易理解的一種方法.但此種方法必須是在學(xué)習(xí)完余弦定理的前提下才能使用，因此此種方法在必修四中又無(wú)法使用.另外也同樣需要考慮三點(diǎn)在一條直線上的情況。方法四：應(yīng)用三角形面積公式推導(dǎo)推導(dǎo)差角公式的方法α、βα、βOBOBα另一邊于A，交β另一邊于C，則有S△OAC=S△OAB+S△OBC。。根據(jù)三角形面積公式,有，∴ ?！?，，,∴∵ ,∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα。，根據(jù)此式和誘導(dǎo)公式,可繼續(xù)證出其它和角公式及差角公式.(1）sin（α-β)=sin［α+（—β）]=sinαcos(-β）+sin（-β)cosα=sinαcosβ—sinβcosα；(2)cos（α+β)=sin[90—（α+β)］=sin［(90—α）-β]=sin(90-α)cosβ—sinβcos（90-α）=cosαcosβ-sinαsinβ；（3)cos（α-β）=cos［α+(-β）］=cosαcos（—β)—sinαsin（-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.說(shuō)明:此種推導(dǎo)方法通過(guò)三角形的面積的和巧妙的將兩角和的三角函數(shù)與各個(gè)角的三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)。缺點(diǎn)是公式還是在兩個(gè)角為銳角的情況下進(jìn)行的證明，因此同樣需要將角的范圍進(jìn)行拓展。（五）應(yīng)用數(shù)量積推導(dǎo)余弦的差角公式在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)為A,B，則＝(cosα,sinα)， ＝(cosβ，sinβ).由向量數(shù)量積的概念，有 .由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,有.于是有 。說(shuō)明:應(yīng)用數(shù)量積推導(dǎo)余弦的差角公式無(wú)論是構(gòu)造兩個(gè)角的差，還是得到每個(gè)角的三角函數(shù)值都是容易實(shí)現(xiàn)的，而且從向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算兩種形式求向量的數(shù)量積將二者之