精選常微分方程自學(xué)練習(xí)題

常微分方程自學(xué)練習(xí)題常微分方程自學(xué)習(xí)題及答案一填空題:1一階微分方程的通解的圖像是維空間上的一族曲線.2二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y1(x);y2(x)為方程的根本解組充分必要條件是________.3方程的根本解組是_________.4一個(gè)不可延展解的存在區(qū)間一定是___________區(qū)間.5方程的常數(shù)解是________.6方程一個(gè)非零解為x1(t),經(jīng)過變換_______7假設(shè)4(t)是線性方程組的基解矩陣,那么此方程組的任一解4(t)=___________.8一曲線上每一占切線的斜率為該點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍,那么此曲線方程為________.9滿足_____________條件的解,稱為微分方程的特解.10如果在微分方程中,自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)我們稱這種微分方程為_________.11一階線性方程有積分因子().12求解方程的解是().13(為恰當(dāng)方程,那么=____________.14,,由存在唯一性定理其解的存在區(qū)間是().15方程的通解是().16方程的階數(shù)為_______________.17假設(shè)向量函數(shù)在區(qū)間D上線性相關(guān),那么它們的伏朗斯基行列式w(x)=____________.18假設(shè)P(X)是方程組的根本解方陣那么該方程組的通解可表示為_________.二單項(xiàng)選擇:1方程滿足初值問題解存在且唯一定理?xiàng)l件的區(qū)域是().(A)上半平面(B)平面(C)下半平面(D)除y軸外的全平面2方程()奇解.(A)有一個(gè)(B)有兩個(gè)(C)無(D)有無數(shù)個(gè)3在以下函數(shù)中是微分方程的解的函數(shù)是().(A)(B)(C)(D)4方程的一個(gè)特解形如().(A)(B)(C)(D)5連續(xù)可微是保證方程解存在且唯一的()條件．〔A〕必要〔B〕充分(C)充分必要(D)必要非充分6二階線性非齊次微分方程的所有解().(A)構(gòu)成一個(gè)2維線性空間(B)構(gòu)成一個(gè)3維線性空間(C)不能構(gòu)成一個(gè)線性空間(D)構(gòu)成一個(gè)無限維線性空間7方程過點(diǎn)(0,0)有().(A)無數(shù)個(gè)解(B)只有一個(gè)解(C)只有兩個(gè)解(D)只有三個(gè)解8初值問題x,在區(qū)間,上的解是().(A)(B)(C)(D)9方程是().(A)一階非線性方程(B)一階線性方程〔C)超越方程(D)二階線性方程10方程的通解是().(A)(B)(C)(D)11方程的一個(gè)根本解組是().(A)(B)(C)(D)12假設(shè)y1和y2是方程的兩個(gè)解,那么〔e1,e2為任意常數(shù)〕(A)是該方程的通解(B)是該方程的解(C)不一定是該方程的通解(D)是該方程的特解13方程過點(diǎn)(0,0)的解為,此解存在().(A)(B)(C)(D)14方程是().(A)可別離變量方程(B)齊次方程(C)全微分方程(D)線性非齊次方程15微分方程的通解是().(A)(B)(C)(D)16在以下函數(shù)中是微分方程的解的函數(shù)是().(A)(B)(C)(D)17方程的一個(gè)數(shù)解形如().(A)(B)(C)(D)18初值問題在區(qū)間上的解是().(A)(B)(C)(D)三求以下方程的解:1求以下方程的通解或通積分:(1)(2)(3)(4)(5)2求方程的解3解方程:并求出滿足初始條件:當(dāng)x=0時(shí),y=2的特解4求方程:5求方程:的通解6求的通解.7求解方程:8求方程:的解9求方程的通解10求以下方程組的通解11求初值問題的解的存在區(qū)間并求出第二次近似解12求方程的通解(1)(2)(3)(三種方法)(4)13計(jì)算方程的通解14計(jì)算方程15求以下常系數(shù)線性微分方程:16試求x的基解矩陣17試求矩陣的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量.18試求矩陣的特征值和特征向量19解方程組四名詞解釋1微分方程2常微分方程、偏微分方程3變量別離方程4伯努利方程5條件6線性相關(guān)五證明題1在方程中p(x);q(x)在上連續(xù)求證:該方程的任一非零解在xoy平面上不能與x軸相切.2設(shè)x1(t)、x2(t)分別是非齊次性線方程證明：x1(t)+x2(t)是方程的解。3設(shè)f(x)在[0；+]上連續(xù)且f(x)=0求證：方程的一切解y(x)；均有y(x)=04在方程中p(x)、q(x)在〔〕上連續(xù)；求證：假設(shè)p(x)恒不為零；那么該方程的任一根本解組的朗斯基行列式w〔x〕是〔〕上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。5證明：x1(t)+x2(t)是方程的解。6證明：函數(shù)組〔其中當(dāng)時(shí)〕在任意區(qū)間〔a,b〕上線性無關(guān)。常微分方程習(xí)題答案一填空題:1、22、線性無關(guān)〔或：它們的朗斯基行列式不等于零〕3、ex;xex4、開5、6、7、,c為常數(shù)列向量8、y=x2+c9、初始10、常微分方程11、ep(x)dx12、x2+y2=c;c為任意正常數(shù)13、/14、15、16、417、018、；其中c是確定的n維常數(shù)列向量二單項(xiàng)選擇1、D2、C3、C4、D5、B6、C7、A8、D9、A10、C11、D12、B13、D14、D15、B16、C17、D18、D三求以下方程的解1(1〕解：當(dāng)時(shí)，別離變量取不定積分，得通積分為1ny=Cex〔2〕解：令y=xu,那么代入原方程，得別離變量，取不定積分，得〔〕通積分為：〔3〕解：方程兩端同乘以y-5,得令y-4=z，那么代入上式，得通解為原方程通解為〔4〕解：因?yàn)椋栽匠淌侨⒎址匠?。取〔x0,y0〕=〔0，0〕原方程的通積分為即〔5〕解：原方程是克萊洛方程，通解為：y=cx+2c32解：設(shè)那么方程化為，積分后得y=ct即于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5其中c1,c2,c3,c4,c5為任意常數(shù)==f1(t)+f2(t)故x1(t)+x2(t)為方程=f1(t)+f2(t)的解。3解：將變量別離，得到兩邊積分，即得

因而，通解為這里c是任意常數(shù)。以x=0,y=1代入通解中以決定任意常數(shù)c，得到c=-1因而，所求特解為4解：以及代入，那么原方程變?yōu)榧磳⑸鲜絼e離變量,即有兩邊積分,得到這里是任意函數(shù),整理后,得到令,得到sinu=cx5解:令z=y-1得代入原方程得到這是線性方程,求得它的通解為代回原來的變量y,得到這就是原方程的通解。此外，方程還有解y=0。6解：這里M=3x2+6xy2.N=6x2y+4y3，這時(shí)因此方程是恰當(dāng)方程?，F(xiàn)在求u，使它同時(shí)滿足如下兩個(gè)方程由〔1〕對(duì)x積分，得到為了確定，將〔3〕對(duì)y求導(dǎo)數(shù)，并使它滿足〔2〕，即得于是=4y4積分后可得=y4將代入〔3〕，得到u=x3+3x2y2+y4因此，方程的通解為x3+3x2y2+y4=c這里c是任意常數(shù)7解：特征方程即特征根i是重根，因此方程有四個(gè)實(shí)值解cost、tcost、sint、tsint故通解為x=(c1+c2t)cost+(c3+c4t)sin其中c1;c2;c3;c4為任意常數(shù)8解：令那么方程化為：積分后得y=ct即于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t1+c5其中c1;c2…c5為任意常數(shù)，這就是原方程的通解。9解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根為齊次方程的通解為y=C1+C2e5x因?yàn)閍=0是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為y1(x)=x〔Ax2+Bx+C〕代入原方程，比擬系數(shù)確定出A=，B=，C=原方程的通解為10解：先解出齊次方程的通解=C1+C2令非齊次方程特解為=C1(t)+C2(t)滿足=解得積分，得通解為11解：M=max=4故解的存在區(qū)間為2)q0(x)=0q1(x)=0q2(x)=0+=12求方程的通解:1)解:變形(1),將y看作自變量,x為未知函數(shù)解齊線性方程,通解為x=cy令x=c(y)y…..(2)微分得,由(1)(2)知,積分得故(是任意常數(shù))2)解:令那么,于是那么原方程變?yōu)榧磳⑸鲜絼e離變量有積分得為任意常數(shù)。整理令得方程還有解tanu=0即sinu=0,故通解為sinu=cx(c為任意常數(shù))3〕(三種方法)解：法一，這里M=y-3x2,N=-(4y-x)=4-4y因此此方程是恰當(dāng)方程現(xiàn)求u使〔1〕，〔2〕對(duì)〔1〕中x積分得〔3〕對(duì)〔3〕中y求導(dǎo)積分得，代入〔3〕得故通解為，c為任意常數(shù)法二，重新組合得，即于是通解為其中c是任意常數(shù)。4〕解：令那么對(duì)x求導(dǎo)得積分得于是方程通解為〔p=0〕13方程的通解解：齊次方程是由于2i是特征方程單根故所求特解應(yīng)具形式代入原方程故通解為，其中c1c2為任意常數(shù)14解：特征方程有重根因此對(duì)應(yīng)齊線性方程的通解為，其中c1,c2為任意常數(shù)。因?yàn)椴皇翘卣鞲F(xiàn)求形如的特征解，代入原方程化簡(jiǎn)于是故故通解為其中c1,c2為任意常數(shù)15求以下常系數(shù)線性微分方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為特征方程為特征根為a不是特征根，故原方程有形如y*=(ax+b)e2x的特解代入原方程得故原方程通解為，〔為任意常數(shù)〕16解：因?yàn)?+而且后面的兩個(gè)矩陣是可交換的得到t={E+t+但是，=所以，級(jí)數(shù)只有兩項(xiàng)。因此，基解矩陣就是17解：特征方程為因此，是A的二重特征值.為了尋求對(duì)應(yīng)于的特征向量,考慮方程組因此,向量是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量,其中是任意常數(shù).18解A特征方程為特征根為對(duì)應(yīng)于1=3+5i的特征向量滿足解得u=a為任意常數(shù)對(duì)應(yīng)于特征向量滿足解得為任意常數(shù)19解:的特征方程為1=1,2=4為特征根,為方程組解a為任意常數(shù).為方程組解.這樣為方程的解四名詞解釋1聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，稱之為微分方程。2如果在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)