羅默《高級宏觀經(jīng)濟學》(第3版)課后習題詳解(第7章 消 費)

Borntowin經(jīng)濟學考研交流群<<<點擊加入Borntowin經(jīng)濟學考研交流群<<<點擊加入985/211985/211,,,你想要的都在這→經(jīng)濟學歷年考研真題及詳解羅默《高級宏觀經(jīng)濟學》（第3版）第7章消費財富，這或許能幫你少走彎路，躲開一些陷阱。行咨詢。生命周期儲蓄（ModiglianiandBrumber，1954?？紤]一個個人，他的生命期限由0至T，終生效用由UTt0

uu·0u·0，這個人的收入Ygt，其中0tR，并且RtT退休年齡R滿足0RT。利率為0，這個人沒有0初始財富，不存在不確定性。這個人的終生預(yù)算約束是什么？這個的效用最大化的消費路徑C是什么？作為t的函數(shù)的個人財富路徑是什么？（）（沒有原始財富，從而有：Tt0

CtdtTt0

Ydt （1）由于此人的收入為YtY0

gttR，Y0RtT，所以他收入的現(xiàn)值為：T

R

1 R 12 2Ytdt

Ygt

dtt2gt

gR2t0

t0

0

0t0因此，這個人的終生預(yù)算約束為：TCtdtRY1gR2

（2）t0 0 2因為u·0，且利率和貼現(xiàn)率都為零，所以效用最大化問題簡化為要求消費保持不變。預(yù)算約束意味著每一時點的消費等于終生收入除以生命的長度。1由（a）可知，終生收入為RY0

gR2，因而不變的消費水平為：2CR 1gR

（3）T0 2 此外，也可以利用變分法、拉格朗日方法求出上述結(jié)論。在任何時刻t0t的儲蓄，即：Wt

tt

S（4）其中，S代表儲蓄，W代表財富。t時期的儲蓄等于收入和消費之差，即：SYC （5）因而儲蓄可以表示為：當0tR時，財富為：

S

YgtC0tR0CRtT

（6）WtSTT

YgTCTT0

0 T0 1 t TgT2CT0 2 T01 Ytgt2Ct0 2從而可得：Wt 1gtC2

（7）0 當RtT時，財富為：Wt

tT

SWR 其中，WR是此人退休時的財富。將tR代入（7）式可得：WR

1gRC

（9）R2 0 由于CR/TY0

1/2gR，所以）式可以表示為：WRRTCC

（10）（10）式簡化為：

R WRRC （11）維持。由于RC，所以退休時的財富必須等于RC。將（11）式以及STCRtT代入（8）式，得：WtTRCt

CdT

TR TR

C

tR t因此，一旦當前的收入超過了終生的平均收入，此人開始有正的儲蓄。財富在退休時達到最大值，然后逐漸下降以維持消費。在生命終結(jié)的時刻T，財富降為0。如圖7-1所示。圖7-1生命周期中的消費、收入和財富圖7-1（a）描述了收入和消費作為時間的函數(shù)，假定在0時刻收入超過了不變的消費水平。加粗的線條表示消費在退休之前為Y0

gt，而退休之后就一直為0。消費始終為C。圖7-1（b）RC式稱為駝峰型儲蓄。永久性收入假說在預(yù)測農(nóng)民和非農(nóng)民的估計消費函數(shù)時有何不同？答：因為暫時收入的均值為0，可以將平均收入解釋為平均永久收入，因此平均而言，農(nóng)民的永久性收入低于非農(nóng)民的永久性收入，即YPF

YPNF

。農(nóng)民逐年的收入波動更大意味著農(nóng)民的暫時收入的方差大于非農(nóng)民的暫時收入的方差，即var考慮下面的回歸方程：

YTF

YT。NFCabYei i i

（1）其中Ci

是當前消費，根據(jù)永久性收入假說由YCYPYi

是當前收入，是永久性收入和暫時收入之和：YYPYT。最小二乘回歸的關(guān)于b的估計值為：var

YPb （2）varYP varYT 只要varYP在兩組中是相同的，則varYT varYTF NF

意味著估計的斜率系數(shù)對于農(nóng)民影響。對于常數(shù)項的最小二乘估計是：a1bYP

（3）b對農(nóng)民而言更小。這使得估計的常數(shù)項對農(nóng)民來講更大，因此對常數(shù)項的估計是不確定的。對農(nóng)民平均永久性收入，估計的消費函數(shù)低于非農(nóng)民的。如果兩個估計的消費函數(shù)相交，則交點的收入水平低于YP。F時間平均的問題（沃金Working1960長時期內(nèi)的平均數(shù)據(jù)，例如一個季度。本題要求考察這個事實所產(chǎn)生的影響。假設(shè)消費服從隨機游走：Ct

Ct1

eet平均消費，即觀測到的是Ct

Ct

/2，t2

Ct

/2等等。用e表示所觀測到的從一個兩期到下一個兩期的消費變化。為隨機游走？根據(jù)你在（a）期中的任何已知量一定無關(guān)嗎？與第一個兩期前的兩期中的任何已知量一定無關(guān)嗎？假設(shè)觀測到的消費不是兩期的平均值，而是其中第二期的消費值。也就是說，我們觀察到的是C

t

、Ct3

等等。在這種情形下，觀察到的消費是隨機游走嗎？a下面尋找Ct2

Ct

/2t

Ct

/2

t

、Ct

和Ct3

寫成Ct和e關(guān)系式：

aC Ct1

et1

（1）Ct2

Ct

et

Cet t

et

（2）Ct3

Ct

et

Cet t

et

et

（3）從一個兩期的間隔到另一個兩期的間隔中消費的變化為：C C

CC

e e

e

e t2

t3

t

t t

t2

t t

t2

t

t t t

（4）2 2 2 2化簡得：tttttttC C ttttttt

（5）2 2 2通過與部分相同的計算，消費以前的值為：CCt t1

C t

Ct

e t2et

et

（6）2 2 2使用方程5）和，衡量消費的連續(xù)變化的協(xié)方差為：C C

CC CC

C C cov t+2

t3

t 2t+1

t t12

t22

t1 e 2e e e 2ee covt+3

t2

t1

t1 2

t （7）因為擾動項e是序列無關(guān)的，因為et1

在兩個表達式中都出現(xiàn)的項，協(xié)方差下降為：C C

CC CC

C C 2cov

t+22

t3

t2t1

t t12

t22

t1e

（8） 42e的方差。因此消費的變化與它的以前的值相關(guān)。因為協(xié)方差是正的，e，t1兩期之間衡量消費大于在2，t1兩期之間，則衡量消費在2，t3兩期之間將傾向于大于在，t1兩期之間。當一個變量遵循隨機游走，變量的連續(xù)變化是無關(guān)的。例如，在這個模型中真實的消費有Ct

Ct

e和t

Ct1

et

。因為e和e 是無關(guān)的真實消費的連續(xù)變化是無關(guān)的因此如果Ct t1

大于C 這并不意味著Ct1 t1將大于Ct

。因為衡量消費的連續(xù)變化是相關(guān)的，衡量消費并不服從隨機游走。今天衡量消費的變化提供了關(guān)于消費明天將如何變化的信息。5tt到t2t3的變化依賴于et1

，消費在t1期的變化。t1期是第一個兩期的一部分。因此消費從第一個兩期到下一個兩期的變化與第一期的任何一期并不是無關(guān)不過與，t1之后的兩期間隔無關(guān)由方程知、t3et

和et1

都與t2，t1無關(guān)?？梢詫?/p>

t

寫為C

t

和e的函數(shù)：Ct3

Ct

et

Ct

et

et

（9）因此衡量消費從一個兩期到下一個兩期的變化為：同理可以得到：

Ct3

Ct

Ct

et

et

Ct

et

et3

（10）Ct1

C et1

et

（11）因此衡量消費的連續(xù)變化的協(xié)方差為：covCt3

Ct

，Ct1

Ct

cove t

et

t

et

（12）因為e是無關(guān)的，協(xié)方差為0。在這個例子中衡量的消費服從隨機游走。C

t

不同于C

t1的數(shù)量并不能提供關(guān)于C 和C 差異的任何信息。t1 t3在第7.2確定性并不會影響預(yù)期的終生效用？答：未來收入的不確定性盡管不會影響消費，但是卻會影響預(yù)期的終生效用。由教材中方程（7.10）式可知，預(yù)期的終生效用為： T a E U E CC2 （1）1a0（1）式可以表示為：

1T

t 2t1

tEU E C

2EC2 （）E

，所以：

1 1 t1

1 t 1 t 1

CCet 1 t

（3）Borntowin經(jīng)濟學考研交流群<<<點擊加入Borntowin經(jīng)濟學考研交流群<<<點擊加入985/211歷年真題解析,985/211歷年真題解析,答案,核心考點講義,你想要的都在這→經(jīng)濟學歷年考研真題及詳解

0，vare

2。1 t t 方程（3）式對任何時期都成立，將（3）代入（2）式可得：EUTECeaE

Ce2 （）1 1 1 t1

2 1 1 t E

E0，從而式變?yōu)椋? 1

1 tEUT

Ca aCC2 2 2

e2

（5）1 1 1t1

1 t 又因為Ee2vare2，所以）式可以表示為：1 t t

T a a EU C C2 2 1 1 2 1t1

2 如果在確定性情況下，Ct

C，則e1

0，varet

20，終生效用為：etUT

aCC2 （7）C1t1

2 1由于C1

在是否存在不確定性情況下都是相同的，所以比較（6（7）兩式可知：在不確定性情況下，預(yù)期的終生效用降低了。uCt

（本題依據(jù)漢森和辛格爾頓1983）假設(shè)瞬時效用函數(shù)是不變相對風險厭惡形式C1/10，假設(shè)利率r。t求將Ct

和Ct1

的期望聯(lián)系起來的歐拉方程。假設(shè)對數(shù)收入是正態(tài)分布且因此C 的對數(shù)是正態(tài)分布的令2表示其基于t時t1可得信息的條件方差。將部分所得表達式用lnC、Et t

lnCt1

、2r、和重寫（提示：若變量x服從均值為，方差為V的正態(tài)分布，則EexeuV/2。r和2不隨時間變化，則（b）的結(jié)果表明對數(shù)收入服從帶漂移的隨機游走：lnCt1

alnCt

ut1為白噪聲。（d）r和2的變化對期望的收入增長Et

lnCt1

lnCt

各有何影響？根據(jù)第7.6節(jié)中對預(yù)防性儲蓄的討論，解釋2對期望的收入增長的影響。（a）設(shè)在時刻t消費下降dC，對于相對風險不變的效用函數(shù)：UCt

C1/1 （1）t在時刻t消費的邊際效用為C，這種變化的效用成本為：tCdC （2）t在時刻t1消費的邊際效用為C，實際利率為r，個人在t1期的消費增加rdC。t1貼現(xiàn)的預(yù)期效用收益為：

11

EC1rd t t

（3）必須等于效用成本：方程（4）為歐拉方程。

1rCt 1

EC t t

（4）xelnxx，有： EC t t1 t

e

（5）t如果x NV，則EexeuV/2tECE

eEln

e22/2eElnC

e22/2 （6）t t1

t tt

t t在第一步中用了消費對數(shù)的方差是2，除此以外，在時刻t1消費的對數(shù)均值在t期信Et

ln

t

。最后，eElnC 22/2是常數(shù)。t tt tlnCt

lnrlnEt

lnCt1

2/2 （7）在（7）式兩邊除以得到：lnCt

ElnCt t

lnlnr/2/2 （8）在中求ElnC 得到：t t1ElnCt t1

lnCt

lnrlnr/qqs2/2 （9）rln/2/2。消費的變化量是不可預(yù)測的。根據(jù)預(yù)期的定義有：ElnCt t1

lnCt

lnrln/2/2ut1

（10）其中有零均值，是序列無關(guān)的。消費的對數(shù)函數(shù)遵循隨機游走，并且?guī)в衅祈棧簂n1rln1/2/2由方程，預(yù)期消費增長率為：ElnCt t1

lnCt

lnrln/2/2 （11）明顯，r提高可以提高預(yù)期消費增長率：EC lnC 1 tt t1t2

0 （12）越小，消費的替代彈性1/越大，消費增長率越高（由于實際利率的提高。2的上升也會增加消費增長率：ElnCt t12

lnC t 2

0 （13）可以證明相對風險厭惡不變的效用函數(shù)的三階導數(shù)為正，由uCt

C和tuCt

C1可以推出：tu''CC22C20 （1）t t t因此一個具有相對風險厭惡不變的效用函數(shù)的個人會有預(yù)防性儲蓄行為。不確定性的提高（即消費的對數(shù)的方差2的上升）增加了儲蓄和預(yù)期消費增長率?？疾爝^度平滑性的一個分析框架。假設(shè)C等于 r/1rA t

x Es0

Yt

/1r

且At1

trAt

YCt t（a）證明該假設(shè)意味著Et

Ct

Ct

（因而消費服從隨機游走，以及x EC

/1rsAx E

/1rss0 t ts

t s0

ts假設(shè)Yt

Y ut1

uYEt1

1（即假設(shè)ut

1。那么消費將增加多少？在0ut

Ct

Et

相比，哪一個的方差t（a）將t期的消費表達式C r

A

Et t

（1）代入t1期的財富表達式：

t 1r

s

1rs得到：

At1

rYt t

C （2）t

r r EY EY A 1rA

A Y tt1 tt2... （3）t1

t

1r

1r

1

1r2 整理得：

EY EY A AYr tt1 tt2... （4） t1 t t 1r 1r2 因為（1）式在各期都成立，將t1期的消費寫為：Borntowin經(jīng)濟學考研交流群<<<點擊加入Borntowin經(jīng)濟學考研交流群<<<點擊加入985/211985/211,,,你想要的都在這→經(jīng)濟學歷年考研真題及詳解r xE Y C A

t

ts t1將（4）代入（5）得：r C AY

1rtEYr tt1

s0EYtt2

1rs ...

E Y ... （6）t1

1rt

1r 1r2

t

t

1r tt1t2 r

EY EY

EY EC A

r tt1 tt2...E

tt2... （7）t t1

1rt

1r 1r2

tt1

1r 上步用了迭代期望法則，因此對于任意一變量x，EE xt t1t2

Extt2

。如果這一法則不成立，個人將向上或向下修改他們的估計，那么他們原先的預(yù)期便不是理性的。對（7）整理得：r r

1 r EC A

1 EY E

... （8）t t1

1r

t 1r

tt1

1r 1r2

tt2 化簡得：

r EY EY EC AY tt1 tt2... （9）t t1

1r

t 1

1r2 利用加總的概念，并且EYY：tt tEC

r Ax EY

（10） ttst（1）和（10）是相等的：

t

1r

s

1rsEC C

（11）t t1 t消費遵循隨機游走，消費的變化是不可預(yù)期的，因此最好的對未來消費的估計是本期的消費。即對于任意的s0，有：EC C

（12）t ts t由（12）可以寫出預(yù)期消費路徑的現(xiàn)值：xx Ext ts t

Cx 1

（13）s0

1r

s

1r

ts0

1rs因為1/1r1，x 1 收斂于1/11/1r1rs0

E x 1 t ts

（14）將（1）代入（14）的右邊：

s

1rs r tE

E

Ext ts1 1rA

t t

A

t ts

（15）s0

1r

1r

tts

1rs

ts0

1rs（15）式表明預(yù)期消費路徑的貼現(xiàn)值等于初始財富加上預(yù)期收入路徑的貼現(xiàn)值。在式兩邊取期望值：E C1 A

xEt

Yt

（16）t1t

1r

s

1rs At

rAt1

Yt

Ct

在t1期是確定的。除此以外，還用了期望迭代法則：E Et-1

Yt

Et1

Yt

。從（1）中減去（16）可以得到：E

1 xE

x

1xE

C t ts

t

ts

t ts t

ts （17）t t

1r

s

1r

s

1rs

1r

s

1rs 消費的變化是預(yù)期終生收入的現(xiàn)值的r/r部分。下面求預(yù)期終生收入的現(xiàn)值。xE

EY E Y EY E Y t ts

t1

ts Y

Y tt1 tt1 tt2 tt2... （18）s0由于ut

1rs1，因此：

t tt

1

1r2 YE Y1 （19）t tt在t1時期，因為Yt1

Yt

ut

，Yt1

的變化預(yù)期將為Yt

。因此，Yt1

的水平預(yù)期將提高1，即：

tttttttt

1 （20）1r 1r在t2時期，因為Yt2高12，因此有下式：

Yt1

ut

，Yt

的變化預(yù)期將提高Yt1

2。Yt2

預(yù)期將提EY E Y 12tt2 tt2

（21）1r2 1r2簡化為：

EY E

12tt2 tt2

（22）1r2 1r2EY

1 1 t ts

t1

t

1 …s0

1r

1

1r2

2 2

… （23） 1r 1r

1r

1r

1r3 令：1/1r，則（23）的第一項收斂于1/1；第二項收斂于/1；第三項收斂于22/（23）可以寫為：EY

1 1 1t ts t1 ts 122

（24）s0

1r

1

1

1將1/1r代入2，可以得：xEY

1 1 r r

（25）t ts

t1

t

s0

1r

11

1/1r

r 1r將（25）代入（24）可得：

r 1rr rCE C

（26）t tt消費變化的方差為：

1r

r1r 1r r r2 var

CE

var

r ur

varu var

（27）t tt

1

t

t t因為1r/1r1，消費變化的方差大于收入變化的方差。收入的變化意味著消費者將在未來同一個方向上經(jīng)歷進一步的收入變化平滑消費。收入是不平穩(wěn)的，所以不明確是否會平滑消費。7.4CC1 2

/11r

Y/11r，其中為稅率。政府的第120，第二期收入為rC0，其中C012

?，F(xiàn)在假設(shè)1 1 1 1政府取消利息稅，而改為在兩期內(nèi)分別征收數(shù)量為T和T1 2

的一次性稅；因而個人現(xiàn)在的預(yù)算約束為CC/rTT/r。假設(shè)Y、Y

r為外生。1 2 1 1 2 2 1 2新稅收必須滿足什么條件才能使稅收變化不影響政府收入的現(xiàn)值？如果新稅收滿足（a）

C0，C0

是支付不起、剛夠支1 2付，還是支付有余？如果新稅收滿足（a）中的條件，那么第一期的消費是增加、減少，還是不變？a）一次總量稅的現(xiàn)值為TT1 2

/r。稅收對于利息收入的現(xiàn)值為Borntowin經(jīng)濟學考研交流群<<<點擊加入Borntowin經(jīng)濟學考研交流群<<<點擊加入985/211985/211,,,你想要的都在這→經(jīng)濟學歷年考研真題及詳解r/1rYC0 ，其中是利息收入的現(xiàn)值。政府必須選擇T和

來保證兩式相等：1 1TT 2

r T

1 2C0

（1）1 1r 1r 1 1假定新稅率滿足1。這意味著在個人消費C0時，他支付的利息稅等于原先的一1次性總量稅。即在C0右邊，個人稅后終生收入在兩種稅制下是相同的。因此在C0，個人在1兩種稅制下，在第二期有足夠的收入消費C0。這意味著新的預(yù)算線通過

C0，C0

1，如同舊2 1 2 稅制的情況一樣。因為

C0，C0 位于新預(yù)算線的右邊，因此是可以支付的。1 27-2E代表稟賦。在面對利息稅1 21的情況下，預(yù)算線的斜率為11r，1

Y；對于C1

Y，沒有正的儲蓄，因此沒有1利息稅，斜率為1r。如同在（b）部分解釋的，收益中性、一次總量稅的預(yù)算線經(jīng)過初始的最優(yōu)消費束C0C0，斜率為1r。對于CY，儲蓄不再被征稅，一期放棄一單1 2 1 1r而不是11r圖7-2第一期消費的變化增加，個人在第一期選擇儲蓄更多，消費更少。耐用品的消費（曼昆1982。同第7.2節(jié)一樣，假設(shè)即期效用函數(shù)是二次型的，且利率和貼現(xiàn)率等于0。假設(shè)商品是耐用品，具體而言，Ct

t1

EEt

是t期01。（a）考慮t期的購買有一邊際減少dEt

。求dEt1

和dEt2

的值以使dEt

、dEt1

和dE 的t2聯(lián)合變化不改變支出的現(xiàn)值（因而dEt

dEt1

dEt2

0

t

（因而12Et

1dEt1dEt2

0（b（a）中的變化對Ct

和Ct1

有何影響？對期望效用有何影響？（c）CEt t隨機游走？

Ct

必須滿足什么條件以使（a）中的變化不影響期望效用？C是否服從（d）E是否服從隨機游走？（提示：用Ct上進行解釋。若0E的行為如何？

Ct

和Ct1

Ct

Et

Et

）請從直觀（a）t期購買的變化dEt

必須保證支出的現(xiàn)值不變：dEdEt t1

dEt2

0 （1）除此以外，必須保證在t2期的消費不變：12Et

1dEt1

dEt2

0 （2）可以將Ct

的變化寫為dCt

dEt

Ct

的變化是dCt1

dCtdEt1

dCt

dEt

代入，有dC

dEdE ；C

dC

1 CE，可以推出t1

t t

t2

t2

t1

t2dCt2

12Et

1dEt1dEt2

。因此C

t

不變，方程（2）成立。由方程（1）求解dEt2

得到：

dEt

dEt

dEt1

（3）將（3）代入（2）得：

12Et

1dEt1

dEt

dEt1

0 （4）將式（4）展開并整理得：dEt

121 t

0 （5）即：將式（6）代入（3）得：

dEt1

2dEt

（6）dEt2即：

dEt

2dEt

（7）（b）因為

dEt2

1dEt

（8）CEt tt所以可以得到： dCdE （9）t t又因為

Ct1

t

Et1所以可以得到：

dCt1

1dCtdEt1

（10）將式（9）和式（6）代入（10）得：dCt1

dEt

2dEt

dEt

（11）Ct

和Ct1

t

t期和t1期的預(yù)期效用。因為瞬時效用是二次項，所以在t期消費的邊際效用為1aCt

，因此在t期的效用變化為1aCt

dEt

，在t1期消費的邊際效用為1

t

。因為dC

t

dEt

，在t1期預(yù)期效用的變化是1aCt1

dEt

的期望值。（c）如果個人是最優(yōu)化的，有：1aCt

dEt

1aCt1

dEt

的期望值0 （12）兩邊抵消dE，兩邊減去1，然后除以a，得到：tCt1

的期望值Ct

（13）因為消費的變化是不可預(yù)測的，因此消費服從隨機游走。在t1期的預(yù)期消費就是本期的消費。求解式Ct

t1

E可以得到：tECt t

1Ct1

（14）因為式（14）對任意時期都適用，所以可以得到：Et1

Ct

1Ct2

（15）從（14）式減去（15）式得到：EE Ct tt即：

1Ct1

Ct

1Ct2

（16）EEt t

Ct

Ct

1Ct1

Ct

（17）因為消費服從隨機游走，得到：

CCt

ut1 t

（18）其中ut

在t1期的期望值為0。運用（18）式及（18）（1）式可以寫為：

EE ut t

1ut1

（19）（1式表明購買從t1期到tt1期已經(jīng)知道的

，t1消費在t1期的變化，因此永久性物品的購買不服從隨機游走。任何預(yù)期終生資源的變化都會在一生的剩余期限里平分到各期的消費中。盡管本模型假定貼現(xiàn)率為0，這一結(jié)論依然成立。假定在t1期，個人終生資源變化的估計遵循下面路徑：C

t

比Ct2

多一單位，即ut1

1。這意味著預(yù)期的消費在未來所有時期都會比前一期高一個單位。為使C 向上增加一個單t1位，在t1期的購買必須增加一單位。下面觀察從t1期到t期購買的變化，由（19）式可以知道，從t1期到t期購買的變化為1，因為ut1被假設(shè)等于1。在t1tt期保持預(yù)期消費在更高的路徑上。個人僅需購買在t1期折舊的部分。因此在t期的購買小于在t1期的購買，且降低的數(shù)量為未折舊的數(shù)量t1t1期到t期購買的變化有一部分是可以預(yù)期的，購買不遵循隨機游走。0。由方程19，從t1期到t-1現(xiàn)在所有的在t1期購買的物品在t期仍然存在，因此，為了維持預(yù)期消費在更高的路徑上（即比以前高1單位，無須期待在t時期購買的變化?？紤]一只股票，其在tDt

，股價為P。假設(shè)消費者是風險中立的，其t貼現(xiàn)率為r；因而他們最大化E

x Cs0

/1rt。證明均衡要求t

EDt t

Pt

/1r（付。假設(shè)limEP

/1rs（（a）s

tts 中的表達式，推出一個用期望的未來股息表示的P的表達式。t（）在t期，個人降低消費dC，用于購買股票。因為一單位股票的價格為P，dCt可以購買dC/P單位的股票。這一變化的效用成本為dC，因為效用是消費的線性函數(shù)。在tt1期，收到的紅利為D /P。他可以賣掉股票，收到P /P。折現(xiàn)預(yù)期效用收益tt t1 t E1/1r t t

Pt

/Pt化。因此效用成本必須等于效用收益：dCE1 D

dC

（1）t1r

t1 t1 P抵消掉dC，兩邊乘以P，得到：t

tD +P PE t+1 t1 （2）t t 1r （b）由于（2）在各期都成立，因此：

D +P P E t+2 t2 （3）將式（3）代入式（2）可得：

t1 t1 1r PE

D t+1E

D +P t+2 t2

（4）t t1r

t t+11r2 使用期望的迭代法則，對于變量x，EE

Ex

，方程（4）變?yōu)椋簍 t+1D

tD

tt2 P PE t+1+ t+2 E

t2 （5）t t1r 1r2

t1r2類似地，替代Pt2

，Pt3

…可得：D D

D

P

（6）PE t+1+

t

+...+

t+s E

ts t t1r

1r

1rs

t1rs加上無泡沫條件limEP

/1rs0，得到：s

tts

P

D E

（7） t+s ts1

t1rs方程（7）說明股票的價格是預(yù)期未來股息支付的折現(xiàn)值。泡沫?？紤]在無limEP

/1rs0的假設(shè)下的上一題的構(gòu)架。s

tts P（rb，b0。t①習題7.9（a）中推出的消費者一階條件是否仍然得到滿足？b是否可為負？（揭示：考慮不出售股票的策略）爆裂的泡沫（布蘭查德1979。假設(shè)P等于習題7.（）中推出的表達式再加上tqqt

以概率等于1rqt1

/，以概率10。①習題7.9（a）中推導出的消費者一階條件是否仍然得到滿足？t0時有一個泡沫（qt

0，那么該泡沫在ts之前爆裂的概率是多少（即qts

0）？若s趨近于無窮，這個概率的極限是多少？內(nèi)在的泡沫（弗魯特和奧伯斯特費爾德FrootandObstfeld1991。假設(shè)股息服從隨機游走：Dt

D et

，其中e為白噪聲。①無泡沫時，t期的股票價格是多少？Pb

r

，c0。那么習題t t

tt7.9（a）中推出的消費者一階條件是否仍然得到滿足？在何種意義上股票價格對股息反應(yīng)過大？（a）①加上泡沫項，在t期股票的價格為： D PE ts 1rtb 1）ts1價格路徑滿足價格的一階條件：

t1rsD P PE t1 t1 （2）t t 1r 下面證明（1）和（2）的右邊相等。因為（1）在各期都成立， D P E ts1rt1b （3）t1

s

t11rs在（3）兩邊除以1r，再在兩邊取期望：P

D E t1E

ts 1rtb ）t1r

s

t1rs1在上步中用了迭代期望法則。在式（4）兩邊同時加上Et

Dt

/1r可以得到：D P

D

D

D E t

t1E

t1E

t

1rtbE

t

1rtb （）t 1r

t1r

s

t1rs1

s1

t1rs因此和②如果b是負的，隨著t，泡沫項1rtb將趨于負無窮。因此股票的價格最終變?yōu)樨摂?shù)，并且趨于負無窮。不過這是不可能的。股票永遠不可能以負的價格出售僅僅扔掉自己的股票而不是以一個負的價格賣掉。因此b不可能為負。①加上泡沫項，在t期股票的價格是：P

ED

（6） ts ts1

t1rs tqt

以概率等于rqt1

/，以概率為10。下面檢驗式的右邊是否等于式的右邊，一階條件。因為在每一期都成立，可以將t1為：P E

D

（7） tst1

s

t11rs

t1在（7）式兩邊取期望，運用期望迭代法則：

D r

D ssss

t1s

t0 1 E

t1

1r

（8）t t1

t1rs

t1rs t在（8）式兩邊除以1r再加Et

Dt

/1r上，得到：D P

D

D

D E t1 t1E

t1

E t1s q

E ts q

（9）t 1r

t1r

s

t1rs1

ts1

t1rs t（6）式的右邊等于（2）式的右邊，因此價格路徑滿足價格的一階條件。（泡沫在ts期破裂的概率等于在t1期破裂的概率加上給定第t1期沒有破裂而第t2期破裂的概率，加上給定第t1、t2期沒有破裂而第t3期破裂的概率，等等。泡沫在t1期破裂的概率為1t1期沒有破裂而第t2期破裂的概率為1t1、t2期沒有破裂而第t3期破裂的概率為2ts期泡沫破裂給定在以前各期沒有破裂的概率為s1。因此，泡沫破裂的概率為：Probburstbyts2s （10）①在t時刻不存在泡沫的情況下，股票的價格為：P

D E

（11） ts ts1

t1rs如果紅利服從隨機游走，則對于s0，有ED D。因為紅利變化是不可預(yù)測的，對t tt未來時期紅利的最好的預(yù)測是今天紅利的數(shù)量。因此，P可以寫為：t D

1 1

（12）P t

…ts1

1r

ts1

1r

t1

1r2 因為1/r1，所以可以得到：1 1

1/r 1/r 1 1rr…1r 將（13）代入（12）得到在t時刻股票的價格為：

r/rr

（13）PDt t

/r （14）②加上泡沫后，在t時刻股票的價格為：PDt t

/rbt

Dt

/r1rbt1

cet

（15）下面證明（15）式與（2）式的右邊相等。因為（15）式在各期都成立，因此可以將t1時刻股票的價格寫為：Pt1

Dt1

/rrt

cet1

Dt

et

/rrt

cet1

（16）上步用了D Dt1 t

et

。在（16）式兩邊同時除以1r，并且在兩邊取期望：EP D

（17）t1t1

t ttr r

1r在式（17）兩邊同時加上Et

Dt

/1r可以得到：D P

D

rDD

1rDE t1

rt1E t1rtrb

rt

tb t

（18）t 1

t1r 1

t 1

t r1r t即：D P DE t1 t1tb

（19）t 1r r t因此（15）與（2）e進入了泡e因此，股票的價格存在對紅利變化的一個過度反應(yīng)。（盧卡斯1978出等于這些樹的果實，產(chǎn)出是外生的且果實不能儲存；因而Ct

Y，其中Y是外生決定的人t tCt

是人均消費。假設(shè)一開始每個消費者擁有的樹一樣多。由于所有的消費者被假定為相同，這意味著在均衡時，樹木的價格必須使得代表性消費者在每一期既不想增加也不想減少其擁有的樹量。P表示在t期樹的價格（假設(shè)樹在被賣掉前，其擁有者已經(jīng)收獲了果實。最后，假tE

t

lnCt

/1t。（a）t期將其消費減少一無窮小量，并把由此而得的儲蓄用于增t1則C以及Y 、Pt t1 t

和C 的期望必須滿足什么條件？從這一條件中求解Yt1

，把它用Y以及tY 、P 和Ct1 t1 t

的期望值來表示。假設(shè)limEP /

/1s0。根據(jù)這個假設(shè)，向前迭代在a）部分的結(jié)果s t

t

ts P（sCt t

Y 都成立這一事實。ts從直觀上解釋為什么未來紅利預(yù)期值的增加不影響該資產(chǎn)的價格。本模型的消費是否服從隨機游走？（）t時刻降低自己的消費數(shù)量dCt時刻的消費的邊際效用1/Ct

，乘以dC，因此有：效用成本dC/Ct

（1）t時刻購買dC/P棵樹。在t1時刻，個人通過持有額外的樹t而收獲額外的產(chǎn)出。他得到額外的消費/P。他接著賣掉額外的樹得到/PP ，t t1 t t1然后消費掉這部分財富因此他在t1時刻的額外的消費為/P/PP

。在t1t t1 t t1時刻消費的邊際效用為1/C

t

。因此，這一行動的折現(xiàn)預(yù)期效用收益為：預(yù)期效用收益=E

1 1 dCY dCP

（2）PPt1

t

P t1t1 t t用成本等于預(yù)期效用收益：dCE1 1 dCP

（3）C t 1C t t1

t

t1兩邊抵消dC（這樣做并不太正規(guī)，可以推出：1E

1 1

P

（4）C t 1C t t1

t1 t1下面求解（4）P。注意可以用Y替代C，并且在tP（4）式可以寫為：

t11E

t t t 1 1 Y P

（5）Y P t 1Ct t t

t

t1求解（5）得到在t時刻樹的價格為：YP t E

Y P t1 t1

（6）t 1

t Ct1因為對于s0Cts

YYtYtPY YE1tYt 11tY1

總是成立的，所以由（6）式可得：

（7）P E t 1

t1 1

t tt（7）式在所有各期都成立，因此可以將t1時刻樹的價格寫為：YP t1

Yt1

P t2

（8）將（8）式代入（7）式得：

t

1 1

t1 Yt2 Y Y E 1 1

P

（9）P t t

t2t 1 1

t1 1

t1 Yt2

使用期望的迭代法則，即對于任意變量x，有E，E

Ex

，可以得到：tY Y

t1Y

t2 EP

t

（10）P t t t t2在重復(fù)替代后，得到：

t 1 12 1

t Yt2Y Y ···

Y EP

（11）P t t t t tst 1 1

1

1

t Yts加上無泡沫條件limEP /

/1rs0，在t時刻樹的價格可以寫為：s0 t

t

t＋s

1 1 PY … （12）t t1 12 因為1/1t時刻樹的價格可以寫為： 1/ 1/PY Y

（13）因此最終樹的價格為：

t t11/1

t/1PYt t

/ （14）未來紅利的預(yù)期值的增加有兩個效應(yīng)，第一個是給定消費的邊際效用，預(yù)期紅利恰好相互抵消，在未來紅利的預(yù)期值增加的情況下，樹的當前價格不變。如果產(chǎn)出不遵循隨機游走，則消費也不遵循隨機游走。股票升水和總量沖擊的集中（曼昆1986兩種狀況發(fā)生的概率都為1/21。在差狀況下，占人口比例為的人消費為1/，其中011平均消費的減少，表示對該減少的分擔程度?？紤]兩種資產(chǎn)，一種在好狀況下的收益為1單位，另一種在差狀況下的收益為1單位。令p表示差狀況資產(chǎn)與好的狀況資產(chǎn)的相對價格。0少（即賣空）其好狀況資產(chǎn)的持有量，并將所得收益用于購買更多的差狀況資產(chǎn)。推導出使得這種變化不影響個人期望效用的條件。p必須調(diào)整至這樣的一個點，即此時個人對兩種資產(chǎn)的持有量均為0，并且這是一個均衡。根據(jù)導出的條件，求出p的這一均衡值，把它用、、U和U/來表示。求p/。證明：若效用是二次型的，則p/0。證明：若u·處處為正，則p/0。（a）假設(shè)個人減少擁有好的狀況的資產(chǎn)的數(shù)量為dAG

。這意味著如果好狀態(tài)發(fā)生，發(fā)生的概率為1/2，個人將損失dAG

乘以好狀態(tài)下消費的邊際效用，即U1。因此：預(yù)期的效用損失U1dAG

/2 （1）因為p代表在壞的狀態(tài)下資產(chǎn)與好狀態(tài)下資產(chǎn)的相對價格，賣掉好的狀態(tài)下資產(chǎn)的dAG允許消費者購買壞的狀態(tài)下資產(chǎn)的dA/p1/2，G個人將得到dA/p乘以在壞的狀態(tài)下消費的預(yù)期的邊際效用部分的G1/部分消費為1/U1，可以得到：G

/pU1/1U/2 （2）失必須等于預(yù)期效用收益：U1dAG

/2G

/pU1/1U/2 （）由方程，兩邊抵消1/2和dA，得到：GU1/pU1/1U 解方程可以得到：/p U（5）由于的變化，在均衡時在壞的狀態(tài)下資產(chǎn)與好狀態(tài)下資產(chǎn)的相對價格之比為：U///2U（6）化簡可得：U/UU// （7）如果效用函數(shù)是二次型的，則UC是C的線性函數(shù)，因為UC是不變的。如7-3可以計算UC

圖7-3二次型效用函數(shù)U1/U11/1 （8）或者簡化為：

U1/U1/ （9）可以知道圖中線的斜率在任何的C處均為UC并且等于U1/。將兩個表達式聯(lián)立得到：

U1/U/

1/ （10）因此得到：

U1/U1//0 （11）（11）式的左邊為p/等于0。對于二次型效用函數(shù)，總沖擊集中度的邊際變化對于在壞狀態(tài)下資產(chǎn)與好狀態(tài)下資產(chǎn)的相對價格沒有影響。如果U·0，則UC是C的凸函數(shù)，隨著C的增加，UC上升，或者負數(shù)變小。如同d）所言，可以畫出一條經(jīng)過1/，U1/和U的直線。Borntowin經(jīng)濟學考研交流群<<<點擊加入Borntowin經(jīng)濟學考研交流群<<<點擊加入985/211,985/211,,,你想要的都在這→經(jīng)濟學歷年考研真題及詳解而且這條直線的斜率等于：

U1/U1/7-41/處的UC較低，即：U1/U1/

/

（12）簡化為：

U1/U1//0 （13）圖7-4總沖擊的集中度的邊際變化（13）式的左邊為p/，因此p/0。如果U·處處為正，的下降將引起p上價格的上升。與絕對風險厭惡不變的效用函數(shù)有關(guān)的預(yù)防性儲蓄。考慮一個只生活兩個時期eeC2其中，0。利率為零且個人沒有初始財富，故其終生預(yù)算約束為CC

YY

。其中，Y是確知的，Y是正態(tài)分布的，其均值為Y2

，方差為2。

1 2 1 2 1 2在瞬時效用函數(shù)UCeC0的情形下，UC的符號是什么？作為C以及外生參數(shù)Y

，2和的函數(shù)的個人預(yù)期終生效用是什么？[提示：1 1 2見習題7.5（b）部分的提示]找到用YY1 2

2和C1

C1

是多少？不確定性的增加如何影響C。1（a）效用函數(shù)UCeC的一階導數(shù)為：Borntowin經(jīng)濟學考研交流群<<<點擊加入Borntowin經(jīng)濟學考研交流群<<<點擊加入985/211985/211,,,你想要的都在這→經(jīng)濟學歷年考研真題及詳解UCeCeC二階導數(shù)為：

UCeC2eC三階導數(shù)為：

UC2eC3eC02將其代入效用函數(shù)可得：

C YYC2 1 2 1

（1）UeC

eYYCeC

eYeYe

（2）1 1 2 1 1 1 2 1由于僅有Y1122112

是不確定的，所以（2）式兩端取數(shù)學期望可得：1EUeC1

eYeCEe

又因為Y2

NY2

，2 ，所以Y2

NY2

，2 ，從而有：2EeY2

eY

e22/2 （4）2將（4）式代入（3）式可得：2EUeC

eYeCeYe22/2 （5）1 1 1 2消費者選擇C1

來最大化其終生效用的期望值，從而由（5）可得一階條件為：EUeCeYeCeYe22/20 （6）C 11上式化簡為：

1 1 2eC eYeCe

e22/2 （7）從而有：

1 1 1 CYCY

22/2 （8）式整理可得：

1 1 1 2YY

2 （9）C 1 21 2 4如果不存在不確定性，則有20Y2

Y。第1期的消費為：2CYY

（10）1 21 2上式表明，在確定的情況下，消費者第一期將消費掉其終生收入的一半。由（9）式可得：1C1

4

0 （11）時會積累預(yù)防性儲蓄。時間不一致性偏好?？紤]一個存活三個時期的人。他在第一期的目標函數(shù)為lnc1

lnc2

lnc3

01lnc2

lnc3

（由于個人在第三W，真實利率為0。根據(jù)以下關(guān)于消費決策的假定，求c、c和c1 2 3

的值。①承諾：個