導(dǎo)數(shù)教材分析與教學(xué)建議1

導(dǎo)數(shù)教材分析與教學(xué)建議導(dǎo)數(shù)是新課程增加的內(nèi)容，隨著課程改革的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識在高考中的考查要求也逐年加強(qiáng)，導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前兩年只是在高考中的輔助地位上升為分析和解決問題所必不可少的工具。那么如何恰如其分地進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的教學(xué)呢？如何將這一研究函數(shù)及其性質(zhì)的先進(jìn)方法融入學(xué)習(xí)者原有的知識結(jié)構(gòu)呢？如何組織導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)教學(xué)呢？一、教材分析1．本章教材第一節(jié)講的是平均變化率第二節(jié)講的是瞬時(shí)變化率，它們是理解導(dǎo)數(shù)概念的根底，是對導(dǎo)數(shù)概念的重要鋪墊。導(dǎo)數(shù)概念是從許多實(shí)際問題中概括出來的一個非常抽象的概念，也是本章的難點(diǎn)。教材從切線及其斜率出發(fā)引入導(dǎo)數(shù)概念，為了便于學(xué)生掌握，又按導(dǎo)數(shù)定義，對求導(dǎo)數(shù)的一般方法規(guī)定了三個步驟，接著又說明了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其在求切線方程中的應(yīng)用。教師在教學(xué)過程中要充分利用這些材料幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，對理科班的教學(xué)應(yīng)不失時(shí)機(jī)地介紹其相關(guān)的物理意義，而不要停留在形式地記住定義，會套用三個步驟求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2．第四節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)方面的應(yīng)用，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在定性摸索的根底上給出定量的判斷。對結(jié)論的把握要準(zhǔn)確：導(dǎo)函數(shù)為正〔負(fù)〕，函數(shù)為增〔減〕函數(shù)，這顯然是判斷函數(shù)增減性的充分條件而非必要條件；函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)為零，這是函數(shù)在該點(diǎn)處取得極值的必要條件。對解題過程的規(guī)律要求：求導(dǎo)數(shù)——解方程——列表格——寫結(jié)論，待學(xué)生積存了大量感性認(rèn)識后再提出更高的要求。二、教學(xué)建議滲透三次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及相關(guān)推理一二次函數(shù)是重要的且具有廣泛應(yīng)用的根本初等函數(shù)已是不爭的事實(shí)，在初等數(shù)學(xué)范疇內(nèi)利用直觀的初等方法，學(xué)生對此已有較為全面、系統(tǒng)、深刻的認(rèn)識，并在某些方面具備了把握規(guī)律的能力。然而，三次多項(xiàng)式函數(shù)雖然同樣初等，但是諸多問題的研究與探討學(xué)生均顯力不從心。目前，研究函數(shù)性質(zhì)的高等工具—導(dǎo)數(shù)，已進(jìn)入中學(xué)課堂，作為教者理應(yīng)力所能及地借助于這一工具讓學(xué)生對三次多項(xiàng)式函數(shù)能有一些初步的理性認(rèn)識。2．1三次函數(shù)是中心對稱曲線三次函數(shù)關(guān)于點(diǎn)〔m，n〕對稱的充要條件是f(m-x)+f(m+x)=2n,即+，整理得，。據(jù)多項(xiàng)式恒等對應(yīng)系數(shù)相等,可得且，從而三次函數(shù)是中心對稱曲線，且由知其對稱中心仍然在曲線上；同理可探索出三次函數(shù)不是軸對稱曲線。2．2三次曲線有兩種形狀由于三次曲線是中心對稱曲線，因此，將其對稱中心移至坐標(biāo)原點(diǎn)便可將三次曲線的解析式簡化為。不妨設(shè)，據(jù)導(dǎo)函數(shù)知，當(dāng)時(shí)，f〔x〕在實(shí)數(shù)集R是為增函數(shù)，利用《幾何畫板》作其圖像如圖1所示；當(dāng)時(shí)，f〔x〕在實(shí)數(shù)集R上有兩個遞增區(qū)間與一個遞減區(qū)間，其圖像如圖2所示。圖1圖2三次曲線的如上兩類圖形為學(xué)習(xí)三次函數(shù)提供了直觀的背景，指引著我們從定性摸索順利地走向定量證明。2．3三次曲線性質(zhì)及其聯(lián)系借助于導(dǎo)數(shù)及三次函數(shù)的圖象，很容易解決三次函數(shù)的定義域、值域、對稱性、單調(diào)性、極值、切線等根本問題。此外，三次曲線的內(nèi)部尚蘊(yùn)藏著如下深刻的聯(lián)系。性質(zhì)1．在三次曲線上存在惟一一點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)處的切線與該曲線有惟一公共點(diǎn)，并且此點(diǎn)即為三次曲線的對稱中心。證明：設(shè)M〔x0，y0〕是曲線上任一點(diǎn)，那么曲線y=f〔x〕在點(diǎn)M處的切線斜率k=，切線方程為：。由聯(lián)立并消去y，得：，整理得：①切線與曲線有惟一公共點(diǎn)的方程①有三個相等實(shí)根x0=0，故點(diǎn)M惟一確定且恰好為曲線的對稱中心。性質(zhì)2．假設(shè)三次曲線上存在極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，那么極值點(diǎn)連線段的中點(diǎn)也在三次曲線上，并且此點(diǎn)也為三次曲線的對稱中心。證明：假設(shè)三次曲線上存在極值點(diǎn)，那么方程=0必有相異兩實(shí)根，從而且實(shí)根，此時(shí)，三次曲線上的兩個極值點(diǎn)為A〔x1，f(x1)〕,B〔x2，f(x2)〕,它們的中點(diǎn)恰是坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)然在曲線上且為曲線的中心。三、值得重視的幾個問題1．重視初高等方法的交融函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，在新教材高三數(shù)學(xué)選修本中雖然利用了導(dǎo)數(shù)方法重新研究了函數(shù)的假設(shè)干性質(zhì)，但是在離開導(dǎo)數(shù)背景的函數(shù)問題的學(xué)習(xí)與研究中，學(xué)生仍習(xí)慣于選擇并不高明的初等方法進(jìn)行問題解決。究其原因，在于未能將這些用于研究初等函數(shù)的先進(jìn)的高等方法納入原有的知識結(jié)構(gòu)之中。為克服高中函數(shù)學(xué)習(xí)二年多的思維定向，筆者曾選用高中數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的用初等方法較難解決且流傳甚廣的典型問題作為范例，在闡述原有的初等方法繁冗且難以摸索的同時(shí)，給出其簡捷明快的導(dǎo)數(shù)解法，旨在使學(xué)生真正學(xué)會用導(dǎo)數(shù)作為工具研究函數(shù)的性質(zhì)、并能將該思想方法早日納入到原有的知識結(jié)構(gòu)之中，形成自覺的應(yīng)用意識。為節(jié)省篇幅又不影響問題的闡述，文中所選例題僅限于選修Ⅰ中多項(xiàng)式函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題。例1函數(shù)，且〔1〕求m的值；〔2〕設(shè)，求g〔x〕的解析式；〔3〕是否存在實(shí)數(shù)，使在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。分析：易得m=1，且，這樣便是x的雙二次函數(shù)。假設(shè)將其轉(zhuǎn)化為函與函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，并用關(guān)于復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減〞法那么進(jìn)行判斷，一方面其思維的靈活性令學(xué)生較難把握；另一方面，該法那么屬于“非知識性〞的結(jié)論，其解題的邏輯依據(jù)又令人難以信服。假設(shè)利用函數(shù)單調(diào)性的定義逆向作差進(jìn)行探索，那么解題過程較繁且其中的恒不等式又較為抽象。而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，那么有如下簡明扼要的解法。解，首先由題意知x=-1是的根，求得；其次易驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，在上恒負(fù)、在上恒正。綜上知，存在適合題意。例2設(shè)f〔x〕是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間[2，3]上?！?〕求時(shí)，f〔x〕的解析式；〔2〕假設(shè)矩形ABCD的兩個頂點(diǎn)A、B在x軸上，C、D在函數(shù)的圖象上，求這個矩形面積的最大值。分析：〔1〕首先由周期性和奇偶性知，在區(qū)間[1，2]上，；〔2〕因在區(qū)間[0，1]上，也有，故在時(shí)，。由二次函數(shù)圖象的對稱性知，可設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔1-t，0〕和〔1+t，0〕〔。，矩形ABCD的面積。以往只能運(yùn)用三元和積不等式求函數(shù)的最大值，殊不知直接由原式湊合出“和定〞后，等號又不成立，尚需將原解析式平方后進(jìn)行配湊，技巧性極強(qiáng)，稍有不甚便誤入歧途。如今有導(dǎo)數(shù)作為工具，求上述函數(shù)的最值便是程序性的知識。，令，得區(qū)間[0，2]上的惟一極大值點(diǎn)，故它也是最大值點(diǎn)，所求面積的最大值為。2．重視導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用2．1涉及切線的推理題〔與解幾綜合〕例1函數(shù)，設(shè)，設(shè)曲線y=在點(diǎn)處的切線為m.〔1〕求m的方程；〔2〕設(shè)m與x軸的交點(diǎn)為〔x2，0〕，證明：1〕；2〕假設(shè)，那么.分析與解:首先應(yīng)完成我們能做也是此題應(yīng)該做的工作:m的方程x2的表達(dá)式?！?〕.(2)令y=0,得:.(3),便無所作為.(4).結(jié)論暗示我們,x1=2時(shí),x2=2,故,一切便迎刃而解.例2拋物線C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a,如果直線L同時(shí)是C1和C2的切線,稱L是C1和C2的公切線,公切線上兩個切點(diǎn)間的線段,稱為公切線段.(1)a取什么值時(shí),C1和C2有且僅有一條公切線?寫出此公切線的方程；〔2〕假設(shè)C1和C2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分.2．2涉及函數(shù)性質(zhì)的推理題例3函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b(a、b是實(shí)數(shù)).〔1〕是否存在a，使函數(shù)f〔x〕的圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率小于零？假設(shè)存在，求出a的取值范圍；假設(shè)不存在，說明理由。(2)假設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)的連線的斜率小于1,求證:；〔3〕假設(shè)，設(shè)函數(shù)y=f〔x〕的圖象上的任意一點(diǎn)的切線斜率為k，試討論|k|1的充要條件.例4函數(shù)在x=c處取得極大值，且c>0?！并瘛吃嚤葦M與c的大小；〔Ⅱ〕證明：；〔證明