新版【走向高考】2023屆高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)：專題綜合檢測(cè)五(Word有詳解答案)

專題綜合檢測(cè)五時(shí)間：120分鐘總分值：150分一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分；在每題給出四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的)1．(文)(2023·泗縣雙語(yǔ)中學(xué)模擬)假設(shè)直線2tx＋3y＋2＝0與直線x＋6ty－2＝0平行，那么實(shí)數(shù)t等于()A.eq\f(1,2)或－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)[答案]B[解析]由條件知，eq\f(2t,1)＝eq\f(3,6t)≠eq\f(2,－2)，∴t＝eq\f(1,2).(理)(2023·吉大附中二模)假設(shè)曲線y＝2x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，那么切線l的方程為()A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－9＝0C．4x－y＋3＝0 D．4x－y－2＝0[答案]D[解析]y′＝4x，直線x＋4y－8＝0的斜率k＝－eq\f(1,4)，令4x＝4得x＝1，∴切點(diǎn)(1,2)，∴切線l：y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0，應(yīng)選D.2．(2023·眉山二診)拋物線y＝4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(1,0) B．(0,1)C．(0，eq\f(1,16)) D．(0，eq\f(1,8))[答案]C[解析]y＝4x2化為x2＝eq\f(1,4)y，∴2p＝eq\f(1,4)，∴p＝eq\f(1,8)，∴焦點(diǎn)F(0，eq\f(1,16))．3．(文)(2023·北京理，6)假設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率為eq\r(3)，那么其漸近線方程為()A．y＝±2x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±eq\f(\r(2),2)x[答案]B[解析]此題考查雙曲線的離心率及漸近線方程等幾何性質(zhì)．因?yàn)殡x心率e＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)a，∴b2＝c2－a2＝2a2，∴b＝eq\r(2)a，因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以漸近線方程為y＝±eq\r(2)x.選B.(理)(2023·北京文，7)雙曲線x2－eq\f(y2,m)＝1的離心率大于eq\r(2)的充分必要條件是()A．m>eq\f(1,2) B．m≥1C．m>1 D．m>2[答案]C[解析]雙曲線離心率e＝eq\r(1＋m)>eq\r(2)，所以m>1，選C.4．(2023·天津理，5)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．假設(shè)雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為eq\r(3)，那么p＝()A．1 B.eq\f(3,2)C．2 D．3[答案]C[解析]∵e＝eq\f(c,a)＝2，∴b2＝c2－a2＝3a2，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，不妨設(shè)A(－eq\f(p,2)，eq\f(\r(3)p,2))，B(－eq\f(p,2)，－eq\f(\r(3)p,2))，那么AB＝eq\r(3)p，又三角形的高為eq\f(p,2)，那么S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(3)p＝eq\r(3)，∴p2＝4，又p>0，∴p＝2.5．(2023·哈六中二模)過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為A，直線l與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B，點(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為C，假設(shè)eq\o(AF,\s\up15(→))＝eq\o(FB,\s\up15(→))，eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝36，那么拋物線的方程為()A．y2＝6x B．y2＝3xC．y2＝12x D．y2＝2eq\r(3)x[答案]D[解析]∵F(eq\f(p,2)，0)，設(shè)A(x0，y0)，y0>0，那么C(－eq\f(p,2)，y0)，B(p－x0，－y0)，由條件知p－x0＝－eq\f(p,2)，∴x0＝eq\f(3p,2)，∴yeq\o\al(2,0)＝2p·eq\f(3p,2)＝3p2，∴y0＝eq\r(3)p，∴B(－eq\f(p,2)，－eq\r(3)p)，A(eq\f(3p,2)，eq\r(3)p)，C(－eq\f(p,2)，eq\r(3)p)，∴eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝(2p,2eq\r(3)p)·(0,2eq\r(3)p)＝12p2＝36，∴p＝eq\r(3)，∴拋物線方程為y2＝2eq\r(3)x.6．(2023·江西八校聯(lián)考)假設(shè)圓錐曲線C是橢圓或雙曲線，其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)A(－2，2eq\r(3))，B(eq\f(3,2)，－eq\r(5))，那么()A．曲線C可為橢圓，也可為雙曲線B．曲線C一定是雙曲線C．曲線C一定是橢圓D．這樣的曲線C不存在[答案]B[解析]設(shè)曲線為mx2＋ny2＝1，∵A、B在曲線C上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4m＋12n＝1，,\f(9,4)m＋5n＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝－\f(1,4).))∴曲線方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，應(yīng)選B.7．(2023·江西師大附中、鷹潭一中模擬)等邊△ABC中，D、E分別是CA、CB的中點(diǎn)，以A、B為焦點(diǎn)且過(guò)D、E的橢圓和雙曲線的離心率分別為e1、e2，那么以下關(guān)于e1、e2的關(guān)系式不正確的選項(xiàng)是()A．e2＋e1＝2 B．e2－e1＝2C．e2e1＝2 D.eq\f(e2,e1)>2[答案]A[解析]設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為2，橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距長(zhǎng)分別為a、b、c，雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸、半焦距長(zhǎng)分別為a′、b′、c′，那么2c′＝2c＝|AB|＝2，∴c′＝c＝1,2a＝|DB|＋|DA|＝eq\r(3)＋1,2a′＝|DB|－|DA|＝eq\r(3)－1，∴e1＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1，e2＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1，應(yīng)選A.8．(2023·蒼南求知中學(xué)月考)過(guò)雙曲線M：x2－eq\f(y2,b2)＝1的左頂點(diǎn)A作斜率為2的直線l，假設(shè)l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點(diǎn)B、C，且eq\o(BC,\s\up15(→))＝2eq\o(AB,\s\up15(→))，那么雙曲線M的離心率是()A.eq\r(5) B.eq\r(10)C.eq\r(17) D.eq\r(37)[答案]C[解析]由條件知A(－1,0)，∴l(xiāng)：y＝2(x＋1)，雙曲線漸近線方程為y＝±bx，∵eq\o(BC,\s\up15(→))＝2eq\o(AB,\s\up15(→))，∴B在A，C之間，∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,y＝－bx，))得B(－eq\f(2,b＋2)，eq\f(2b,b＋2))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,y＝bx，))得C(eq\f(2,b－2)，eq\f(2b,b－2))，再由eq\o(BC,\s\up15(→))＝2eq\o(AB,\s\up15(→))得b＝4，∴e＝eq\r(17).9．(2023·天津和平區(qū)質(zhì)檢)假設(shè)拋物線y2＝2px上恒有關(guān)于直線x＋y－1＝0對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B，那么p的取值范圍是()A．(－eq\f(2,3)，0) B．(0，eq\f(3,2))C．(0，eq\f(2,3)) D．(－∞，0)∪(eq\f(2,3)，＋∞)[答案]C[解析]設(shè)直線AB：y＝x＋b，代入y2＝2px中消去x得，y2－2py＋2pb＝0，∴y1＋y2＝2p，x1＋x2＝y(tǒng)1＋y2－2b＝2p－2b，由條件知線段AB的中點(diǎn)(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))，即(p－b，p)在直線x＋y－1＝0上，∴b＝2p－1，Δ＝4p2－8pb＝4p2－8p(2p－1)＝－12p2＋8p>0，∴0<p<eq\f(2,3).10．(文)(2023·海淀區(qū)期中)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(x，y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又點(diǎn)A(－1,0)，那么eq\f(|PF|,|PA|)的最小值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(2\r(2),3)[答案]B[解析]設(shè)P點(diǎn)在準(zhǔn)線上射影為B點(diǎn)，那么|PB|＝|PF|，顯然當(dāng)直線AP與拋物線y2＝4x相切時(shí)，eq\f(|PF|,|PA|)取最小值，設(shè)PA：y＝k(x＋1)(k>0)，代入y2＝4x中消去x得，y2＝eq\f(4y,k)－4，由Δ＝eq\f(16,k2)－16＝0及k>0得k＝1，∴PA：y＝x＋1，P(1,2)，|PA|＝2eq\r(2)，|PB|＝2，∴eq\f(|PF|,|PA|)＝eq\f(|PB|,|PA|)＝eq\f(\r(2),2).[點(diǎn)評(píng)]也可以不用判別式法，用導(dǎo)數(shù)法求解．(理)(2023·北京東城區(qū)模擬)點(diǎn)A(2,1)，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)是F，假設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)P，使得|PA|＋|PF|最小，那么P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(2,1) B．(1,1)C．(eq\f(1,2)，1) D．(eq\f(1,4)，1)[答案]D[解析]過(guò)P作PB與準(zhǔn)線垂直，垂足為B，那么|PF|＝|PB|，∴P點(diǎn)在拋物線弧內(nèi)，∴當(dāng)P、A、B共線時(shí)，|PA|＋|PF|取最小值，此時(shí)yP＝y(tǒng)A＝1，∴xP＝eq\f(1,4)，即P(eq\f(1,4)，1)．11．(文)(2023·保定二模)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>a>0)與圓x2＋y2＝(c－eq\f(b,2))2無(wú)交點(diǎn)，c2＝a2＋b2，那么雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．(1，eq\f(5,3)) B．(eq\r(2)，eq\f(5,3))C．(eq\r(2)，2) D．(eq\r(3)，2)[答案]B[解析]由條件知c－eq\f(b,2)<a，∴2(c－a)<b，兩邊平方得，4(c2－2ac＋a2)<c2－a2，∴3c2－8ac＋5a2<0，∴3e2－8e＋5<0，∵e>1，∴1<e<eq\f(5,3)，∵b>a，∴c2－a2>a2，∴e>eq\r(2)，∴eq\r(2)<e<eq\f(5,3).(理)(2023·紹興市模擬)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于O，A兩點(diǎn)，假設(shè)△AOF的面積為b2，那么雙曲線的離心率等于()A.eq\r(3) B.eq\r(5)C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(5),2)[答案]D[解析]∵A在以O(shè)F為直徑的圓上，∴AO⊥AF，∴AF：y＝－eq\f(a,b)(x－c)與y＝eq\f(b,a)x聯(lián)立解得x＝eq\f(a2c,a2＋b2)，y＝eq\f(abc,a2＋b2)，∵△AOF的面積為b2，∴eq\f(1,2)·c·eq\f(abc,a2＋b2)＝b2，∴e＝eq\f(\r(5),2).12．(2023·大興區(qū)質(zhì)檢)拋物線y＝x2(－2≤x≤2)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)如下圖的旋轉(zhuǎn)體，在此旋轉(zhuǎn)體內(nèi)水平放入一個(gè)正方體，使正方體的一個(gè)面恰好與旋轉(zhuǎn)體的開(kāi)口面平齊，那么此正方體的棱長(zhǎng)是()A．1 B．2C．2eq\r(2) D．4[答案]B[解析]當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，由題意知(eq\f(\r(2),2)a,4－a)在拋物線y＝x2上，∴4－a＝eq\f(1,2)a2，∴a＝2.二、填空題(本大題共4小題，每題4分，共16分，將答案填寫(xiě)在題中橫線上．)13．(2023·天津六校聯(lián)考)直線eq\r(2)ax＋by＝1(其中a，b為非零實(shí)數(shù))與圓x2＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB為直角三角形，那么eq\f(1,a2)＋eq\f(2,b2)的最小值為_(kāi)_______．[答案]4[解析]∵△AOB為等腰直角三角形，⊙O的半徑為1，∴O到直線eq\r(2)ax＋by－1＝0的距離為eq\f(\r(2),2)，即eq\f(1,\r(2a2＋b2))＝eq\f(\r(2),2)，∴2a2＋b2＝2，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(2,b2)＝(eq\f(1,a2)＋eq\f(2,b2))(eq\f(2a2＋b2,2))＝2＋eq\f(2a2,b2)＋eq\f(b2,2a2)≥4，等號(hào)在eq\f(2a2,b2)＝eq\f(b2,2a2)，即b2＝2a2＝1時(shí)成立，∴所求最小值為4.14．(文)(2023·黃埔區(qū)模擬)點(diǎn)P(2，－3)是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離等于2，那么該雙曲線方程是________．[答案]x2－eq\f(y2,3)＝1[解析]由條件知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，,a2＋b2＝4.))解之得，a2＝1，b2＝3，∴雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.(理)(2023·天津十二區(qū)縣聯(lián)考)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率e＝eq\r(10)，它的一條漸近線與拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，那么正數(shù)p的值為_(kāi)_______．[答案]4[解析]由條件知eq\f(c,a)＝eq\r(10)，eq\f(b,a)·eq\f(p,2)＝6，由eq\f(c,a)＝eq\r(10)得eq\f(a2＋b2,a2)＝10，∴eq\f(b,a)＝3，∴p＝4.15．(文)(2023·西城區(qū)模擬)拋物線y2＝2x的準(zhǔn)線方程是________；該拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(x0，y0)在此拋物線上，且|MF|＝eq\f(5,2)，那么x0＝________.[答案]x＝－eq\f(1,2)2[解析]由2p＝2得p＝1，∴準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(1,2)；∵|MF|＝x0－(－eq\f(1,2))＝eq\f(5,2)，∴x0＝2.(理)(2023·蒼南求知中學(xué)月考)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為α，長(zhǎng)度不超過(guò)8的弦，弦所在的直線與圓x2＋y2＝eq\f(3,4)有公共點(diǎn)，那么α的取值范圍是________．[答案][eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]∪[eq\f(2π,3)，eq\f(3π,4)][解析]F(1,0)，直線AB：y＝tanα(x－1)，由條件知，圓心(0,0)到直線AB的距離d＝eq\f(|tanα|,\r(1＋tan2α))≤eq\f(\r(3),2)，∴－eq\r(3)≤tanα≤eq\r(3).(1)將y＝k(x－1)代入y2＝4x中消去y得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝eq\f(4,k)，∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為P(eq\f(k2＋2,k2)，eq\f(2,k))，∵|AB|≤8，∴P到準(zhǔn)線的距離eq\f(k2＋2,k2)＋1≤4，∴|k|≥1，∴|tanα|≥1，(2)由(1)(2)得eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)≤α≤eq\f(3π,4).16．(文)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A(2,0)為長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦BC過(guò)橢圓的中心O，且eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝0，|eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\o(BA,\s\up15(→))|，那么橢圓的方程為_(kāi)_______．[答案]eq\f(x2,4)＋eq\f(3,4)y2＝1[解析]∵|eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\o(BA,\s\up15(→))|，∴|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up15(→))|，又eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up15(→))⊥eq\o(BC,\s\up15(→)).∴△AOC為等腰直角三角形．∵|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1)或(1，－1)，∵點(diǎn)C在橢圓上，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，又a2＝4，∴b2＝eq\f(4,3)，故所求橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(3,4)y2＝1.(理)(2023·湖南理，14)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，假設(shè)|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，那么C的離心率為_(kāi)_______．[答案]eq\r(3)[解析]設(shè)點(diǎn)P在C的右支上，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，那么|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又在雙曲線中c>a，∴|F1F2|>|PF2|，故在△PF1F2中，最小內(nèi)角為∠PF1F2＝30°，在△PF1F2中，由余弦定理得，|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos30°，即4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×eq\f(\r(3),2)，∴3a2＋c2－2eq\r(3)ac＝0，兩邊同除以a2得，e2－2eq\r(3)e＋3＝0，∴e＝eq\r(3).三、解答題(本大題共6小題，共74分，解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題總分值12分)(2023·重慶一中月考)(1)直線l1：mx＋2y＋1＝0與直線l2：2x－4m2y－3＝0垂直，求直線l1的方程；(結(jié)果要求用一般式)(2)假設(shè)直線l1：mx＋2y＋1＝0被圓C：x2＋y2－2x＋2y－2＝0所截得的線段長(zhǎng)為2eq\r(3)，求直線l1的方程．(結(jié)果要求用一般式)[解析](1)∵l1⊥l2?m·2＋2·(－4m2)＝0?m＝0或m＝eq\f(1,4)，所以直線l1的方程為：2y＋1＝0或x＋8y＋4＝0.(2)由圓的方程得：(x－1)2＋(y＋1)2＝4，所以圓心為C(1，－1)，半徑r＝2，由題意知，(eq\f(|m－2＋1|,\r(m2＋4)))2＋3＝4?(m－1)2＝m2＋4?m＝－eq\f(3,2)，∴l(xiāng)1的方程為：－eq\f(3,2)x＋2y＋1＝0，即l1：3x－4y－2＝0.18．(本小題總分值12分)(文)如圖，直角三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－2，0)，直角頂點(diǎn)B(0，－2eq\r(2))，頂點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)P為線段OA的中點(diǎn)．(1)求BC邊所在直線方程；(2)M為直角三角形ABC外接圓的圓心，求圓M的方程；(3)假設(shè)動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)P且與圓M相切，求動(dòng)圓N的圓心N的軌跡方程．[解析](1)∵kAB＝－eq\r(2)，AB⊥BC，∴kCB＝eq\f(\r(2),2)，∴BC邊所在直線方程為y＝eq\f(\r(2),2)x－2eq\r(2).(2)在BC邊所在直線方程中，令y＝0，得C(4,0)，∴圓心M(1,0)．又∵|AM|＝3，∴外接圓的方程為(x－1)2＋y2＝9.(3)∵P(－1,0)，M(1,0)，圓N過(guò)點(diǎn)P(－1,0)，∴PN是該圓的半徑．又∵動(dòng)圓N與圓M內(nèi)切，∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3，∴點(diǎn)N的軌跡是以M、P為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3的橢圓．∴a＝eq\f(3,2)，c＝1，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(\f(5,4))，∴軌跡方程為eq\f(x2,\f(9,4))＋eq\f(y2,\f(5,4))＝1.(理)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)定點(diǎn)C(2,0)作直線與拋物線y2＝4x相交于A、B兩點(diǎn)，如圖，設(shè)動(dòng)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)．(1)求證：y1y2為定值；(2)假設(shè)點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求△ADB面積的最小值．(3)求證：直線l：x＝1被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值．[解析](1)當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，y1＝2eq\r(2)，y2＝－2eq\r(2)，因此y1y2＝－8.當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2,y2＝4x))，得ky2－4y－8k＝0，∴y1y2＝－8.因此有y1y2＝－8為定值．(2)∵C(2,0)，∴C點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)D(－2,0)，∴DC＝4，S△ADB＝eq\f(1,2)DC·|y1－y2|.當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，S△ADB＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)＝8eq\r(2)；當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，由(1)知y1＋y2＝eq\f(4,k)，因此|y1－y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(\f(16,k2)＋32)>4eq\r(2)，∴S△ADB＝eq\f(1,2)×4×|y1－y2|>8eq\r(2).綜上，△ADB面積的最小值為8eq\r(2).(3)AC中點(diǎn)E(eq\f(x1＋2,2)，eq\f(y1,2))，AC＝eq\r(x1－22＋y\o\al(2,1))，因此以AC為直徑的圓的半徑r＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)eq\r(x1－22＋y\o\al(2,1))＝eq\f(1,2)eq\r(x\o\al(2,1)＋4)，AC中點(diǎn)E到直線x＝1的距離d＝|eq\f(x1＋2,2)－1|＝eq\f(|x1|,2)，∴所截弦長(zhǎng)為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(\f(x\o\al(2,1)＋4,4)－\f(|x1|,2)2)＝2(定值)．19．(本小題總分值12分)(文)(2023·江西八校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy上取兩點(diǎn)A1(－2,0)、A2(2,0)，再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N1(0，m)、N2(0，n)，且mn＝3.(1)求直線A1N1與A2N2交點(diǎn)的軌跡M的方程；(2)過(guò)點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與曲線M分別交于A、B兩點(diǎn)．證明點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長(zhǎng)度的最小值．[解析](1)依題意知直線A1N1的方程為：y＝eq\f(m,2)(x＋2)，①直線A2N2的方程為：y＝－eq\f(n,2)(x－2)，②設(shè)Q(x，y)是直線A1N1與A2N2的交點(diǎn)，①×②得y2＝－eq\f(mn,4)(x2－4)．③將mn＝3代入③整理得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，∵N1、N2不與原點(diǎn)重合，∴點(diǎn)A1(－2,0)、A2(2,0)不在軌跡M上，∴軌跡M的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0)．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，假設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1＋x2＝－eq\f(8km,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4m2－12,3＋4k2).∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0.即：(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，∴(k2＋1)eq\f(4m2－12,3＋4k2)－eq\f(8k2m2,3＋4k2)＋m2＝0，整理得7m2＝12(k2＋1)，所以O(shè)到直線AB的距離：d＝eq\f(|m|,\r(k2＋1))＝eq\r(\f(12,7))＝eq\f(2\r(21),7).假設(shè)直線AB的方程為x＝t，易得O到直線AB的距離也為eq\f(2\r(21),7).故點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．∵OA⊥OB，∴OA2＋OB2＝AB2≥2OA·OB，當(dāng)且僅當(dāng)OA＝OB時(shí)取“＝〞號(hào)．由直角三角形面積公式得：d·AB＝OA·OB，∵OA·OB≤eq\f(AB2,2)，∴d·AB≤eq\f(AB2,2)，∴AB≥2d＝eq\f(4\r(21),7)，即當(dāng)OA＝OB時(shí)，弦AB的長(zhǎng)度的最小值是eq\f(4\r(21),7).(理)(2023·蒼南求知中學(xué)月考)點(diǎn)M是圓C：x2＋y2＝2上的一點(diǎn)，且MH⊥x軸，H為垂足，點(diǎn)N滿足eq\o(NH,\s\up15(→))＝eq\f(\r(2),2)eq\o(MH,\s\up15(→))，記動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)假設(shè)AB是曲線E的長(zhǎng)為2的動(dòng)弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積S的最大值．[解析](1)設(shè)N(x，y)，M(x′，y′)，那么由得，x′＝x，y′＝eq\r(2)y，代入x2＋y2＝2得，x2＋2y2＝2.所以曲線E的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)因?yàn)榫€段AB的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)A、O、B能構(gòu)成三角形，那么弦AB不能與x軸垂直，故可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,2)＋y2＝1，))消去y并整理得，(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，又Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，所以x1＋x2＝－eq\f(4km,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2m2－1,1＋2k2)，因?yàn)閨AB|＝2，所以eq\r(1＋k2x2－x12)＝2，即(1＋k2)[(x2＋x1)2－4x1x2]＝4，所以(1＋k2)[(－eq\f(4km,1＋2k2))2－eq\f(8m2－1,1＋2k2)]＝4，即m2＝eq\f(1＋2k2,2＋2k2)，因?yàn)閗2≥0，所以eq\f(1,2)≤m2<1.又點(diǎn)O到直線AB的距離h＝eq\f(|m|,\r(1＋k2))，因?yàn)镾＝eq\f(1,2)|AB|·h＝h，所以S2＝h2＝eq\f(m2,1＋k2)＝eq\f(1＋2k2,21＋k22).令S2＝u,1＋k2＝t，那么t≥1，∴1＋2k2＝2t－1，∴S2＝eq\f(2t－1,2t2)，即u＝eq\f(2t－1,2t2)，u′＝eq\f(1－t,t3)≤0，∴u＝eq\f(2t－1,2t2)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴t＝1時(shí)，umax＝eq\f(1,2)，即S2≤eq\f(1,2)，∴0<S≤eq\f(\r(2),2)，即S的最大值為eq\f(\r(2),2).20．(本小題總分值12分)(文)雙曲線方程x2－eq\f(y2,2)＝1.(1)求證：對(duì)一切實(shí)數(shù)k，直線kx－y－eq\r(2)k＋eq\r(2)＝0與雙曲線均相交；(2)求以點(diǎn)A(2,1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程．[解析](1)解法1：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,2)＝1，,kx－y－\r(2)k＋\r(2)＝0，))得(2－k2)x2＋2eq\r(2)k(k－1)x－2(k2－2k＋2)＝0(*)當(dāng)k＝±eq\r(2)時(shí)，方程(*)有根；當(dāng)k≠±eq\r(2)時(shí)，Δ＝8(k－2)2≥0，故方程(*)總有實(shí)根，即直線與雙曲線均相交．解法2：kx－y－eq\r(2)k＋eq\r(2)＝0可化為y－eq\r(2)＝k(x－eq\r(2))，即直線過(guò)定點(diǎn)M(eq\r(2)，eq\r(2))，顯然點(diǎn)M在雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1上，∴對(duì)一切實(shí)數(shù)k，直線kx－y－eq\r(2)k＋eq\r(2)＝0與雙曲線均相交．(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A(2,1)的弦的端點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－\f(y\o\al(2,1),2)＝1，,x\o\al(2,2)－\f(y\o\al(2,2),2)＝1.))兩式相減得，(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))－(eq\f(y\o\al(2,1),2)－eq\f(y\o\al(2,2),2))＝0，∴kP1P2＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2×2,1×1)＝4，故直線方程為4x－y－7＝0.(理)(2023·內(nèi)江市一模)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率e＝eq\f(2\r(3),3)，過(guò)點(diǎn)A(0，－b)和點(diǎn)B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為eq\f(\r(3),2).(1)求雙曲線方程；(2)直線y＝kx＋m(k≠0)與該雙曲線交于不同兩點(diǎn)C、D，且C、D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一個(gè)圓上，求m的取值范圍．[解析](1)∵e＝eq\f(2\r(3),3)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(3),3)，直線AB方程為：eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝1，即bx－ay－ab＝0，∴eq\f(|－ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),2)，∴ab＝eq\f(\r(3)c,2)，又c2＝a2＋b2，∴a＝eq\r(3)，b＝1，∴雙曲線方程為：eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－y2＝1，,y＝kx＋m))消去y可得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，由1－3k2≠0及Δ＝36k2m2－4(1－3k2)(－3m2－3)>0，得m2＋1>3k2，且3k2≠1，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD中點(diǎn)E(x0，y0)，∴x1＋x2＝eq\f(6km,1－3k2)，∴x0＝eq\f(3km,1－3k2)，y0＝eq\f(m,1－3k2)，由題意知AE垂直平分CD，∴kAE·k＝－1，即eq\f(\f(m,1－3k2)＋1,\f(3km,1－3k2))·k＝－1，∴3k2＝4m＋1，代入m2＋1>3k2得m2＋1>4m＋1，∴m<0或m>4，這時(shí)3k2≠1，又∵4m＋1＝k2>0，∴m>－eq\f(1,4)，∴m的取值范圍是(－eq\f(1,4)，0)∪(4，＋∞)．21．(本小題總分值12分)(文)(2023·全國(guó)大綱理，21)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為3，直線y＝2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為eq\r(6)(1)求a、b；(2)設(shè)過(guò)F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，且|AF1|＝|BF1|，證明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數(shù)列．[解析](1)由題設(shè)知eq\f(c,a)＝3，即eq\f(a2＋b2,a2)＝9，故b2＝8a2.所以C的方程為8x2－y2＝8a2.將y＝2代入上式，求得x＝±eq\r(a2＋\f(1,2)).由題設(shè)知，2eq\r(a2＋\f(1,2))＝eq\r(6)，解得a2＝1.所以a＝1，b＝2eq\r(2).(2)由(1)知，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，C的方程為8x2－y2＝8①由題意可設(shè)l的方程為y＝k(x－3)，|k|<2eq\r(2)，代入①并化簡(jiǎn)得，(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝eq\f(6k2,k2－8)，x1·x2＝eq\f(9k2＋8,k2－8).于是|AF1|＝eq\r(x1＋32＋y\o\al(2,1))＝eq\r(x1＋32＋8x\o\al(2,1)－8)＝－(3x1＋1)，|BF1|＝eq\r(x2＋32＋y\o\al(2,2))＝eq\r(x2＋32＋8x\o\al(2,2)－8)＝3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得，－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝－eq\f(2,3)，故eq\f(6k2,k2－8)＝－eq\f(2,3)，解得k2＝eq\f(4,5)，從而x1·x2＝－eq\f(19,9).由于|AF2|＝eq\r(x1－32＋y\o\al(2,1))＝eq\r(x1－32＋8x\o\al(2,1)－8)＝1－3x1，|BF2|＝eq\r(x2－32＋y\o\al(2,2))＝eq\r(x2－32＋8x\o\al(2,2)－8)＝3x2－1.故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數(shù)列．(理)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1、l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A、B，l2與軌跡C相交于點(diǎn)D、E，求eq\o(AD,\s\up15(→))·eq\o(EB,\s\up15(→))的最小值．[解析](1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意有eq\r(x－12＋y2)－|x|＝1.化簡(jiǎn)得y2＝2x＋2|x|.當(dāng)x≥0時(shí)，y2＝4x；當(dāng)x<0時(shí)，y＝0.所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．(2)由題意知，直線l1的斜率存在且不為0，設(shè)為k，那么l1的方程為y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1、x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2)，x1x2＝1.因?yàn)閘1⊥l2，所以l2的斜率為－eq\f(1,k).設(shè)D(x3，y3)，E(x4，y4)，那么同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.故eq\o(AD,\s\up15(→))·eq\o(EB,\s\up15(→))＝(eq\o(AF,\s\up15(→))＋eq\o(FD,\s\up15(→)))·(eq\o(EF,\s\up15(→))＋eq\o(FB,\s\up15(→)))＝eq\o(AF,\s\up15(→))·eq\o(EF,\s\up15(→))＋eq\o(AF,\s\up15(→))·eq\o(FB,\s\up15(→))＋eq\o(FD,\s\up15(→))·eq\o(EF,\s\up15(→))＋eq\o(FD,\s\up15(→))·eq\o(FB,\s\up15(→))＝|eq\o(AF,\s\up15(→))|·|eq\o(FB,\s\up15(→))|＋|eq\o(FD,\s\up15(→))|·|eq\o(EF,\s\up15(→))|＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1＝1＋(2＋eq\f(4,k2))＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4(k2＋eq\f(1,k2))≥8＋4×2eq\r(k2·\f(1,k2))＝16.當(dāng)且僅當(dāng)k2＝eq\f(1,k2)，即k＝±1時(shí)，eq\o(AD,\s\up15(→))·eq\o(EB,\s\up15(→))取最小值16.22．(本小題總分值14分)(文)(2023·德陽(yáng)市二診)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，e)，其中e為橢圓的離心率．F1、F2是橢圓的兩焦點(diǎn)，M為橢圓短軸端點(diǎn)且△MF1F2為等腰直角三角形．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(1，m)在橢圓上，直線OP平分線段AB，求：當(dāng)△PAB的面積取得最大值時(shí)直線l的方程．[解析](1)∵橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1經(jīng)過(guò)(1，e)，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(e2,b2)＝1，又e＝eq\f(c,a)，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(c2,a2b2)＝1，解之得b2＝1，∴橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋y2＝1.又△MF1F2為等腰直角三角形，∴b＝c＝1，a＝eq\r(2)，故橢圓方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)由(1)可知橢圓的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1，故P(1，eq\f(\r(2),2))，由題意，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)顯然不合題意．設(shè)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l的方程y＝kx＋t(t≠0)交橢圓C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝kx＋t.))消去y得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)·(2t2－2)＝16k2－8t2＋8>0，∴x1＋x2＝－eq\f(4kt,1＋2k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝eq\f(2t,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2t2－2,1＋2k2)，直線OP方程為y＝eq\f(\r(2),2)x且OP平分線段AB，∴eq\f(2t,1＋2k2)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(－4kt,1＋2k2)，解得k＝－eq\f(\r(2),2).∴|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k24－2t2)，又∵點(diǎn)P到直線l的距離d＝eq\f(|\r(2)－t|,\r(1＋k2))＝h，∴S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|h＝eq\f(1,2)eq\r(\r(2)－t24－2t2).設(shè)f(t)＝(eq\r(2)－t)2(4－2t2)＝－2t4＋4eq\r(2)t3－8eq\r(2)t＋8，由直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)可得－eq\r(2)<t<eq\r(2).求導(dǎo)可得t＝－eq\f(\r(2),2)時(shí)f(t)在(－eq\r(2)，eq\r(2))上有最大值eq\f(27,2)，此時(shí)S△PAB取得最大值，此時(shí)直線l的方程y＝－eq\f(\r(2),2)x－eq\f(\r(2),2).(理)(2023·保定市一模)設(shè)F1、F2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M，N分別為其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且四邊形MF1NF2的周長(zhǎng)為4，設(shè)過(guò)F1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝eq\f(4,3).(1)求|AF2|·|BF2|的最大值；(2)假設(shè)直線l的傾斜角為45°，求△ABF2的面積．[解析](1)因?yàn)樗倪呅蜯F1NF2為菱形，又其周長(zhǎng)為4，故a＝1.由橢圓定義知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4a＝4，又因?yàn)閨AB|＝eq\f(4,3)，所以|AF2|＋|BF2|＝eq\f(8,3)，所以|AF2|·|BF2|≤(eq\f(|AF2|＋|BF2|,2))2＝eq\f(16,9)，當(dāng)且僅當(dāng)|AF2|＝|BF2|＝eq\f(4,3)時(shí)，等號(hào)成立．(此時(shí)AB⊥x軸，故可得A點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\f(\r(3),3)，eq\f(2,3))，代入橢圓E的方程x2＋eq\f(y2,b2)＝1，得b＝eq\f(\r(6),3)<1，即當(dāng)且僅當(dāng)b＝eq\f(\r(6),3)時(shí)|AF2|＝|BF2|＝eq\f(4,3))，所以|AF2|·|BF2|的最大值為eq\f(16,9).(2)因?yàn)橹本€l的傾斜角為45°，所以可設(shè)l的方程為y＝x＋c，其中c＝eq\r(1－b2)，由(1)知橢圓E的方程為x2＋eq\f(y2,b2)＝1.所以，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋c，,x2＋\f(y2,b2)＝1.))化簡(jiǎn)得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，那么x1＋x2＝eq\f(－2c,1＋b2)，x1x2＝eq\f(1－2b2,1＋b2)，因?yàn)橹本€l的斜率為1，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，即eq\f(4,3)＝eq\r(2)|x1－x2|，所以eq\f(8,9)＝(x1＋x2)2－4x1x2，eq\f(8,9)＝eq\f(41－b2,1＋b22)－eq\f(41－2b2,1＋b2)，得b2＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(\r(2),2)，所以c＝eq\f(\r(2),2)，l的方程為：y＝x＋eq\f(\r(2),2)，F(xiàn)2到l的距離d＝1，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|×1＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×1＝eq\f(2,3).一、選擇題1．(文)(2023·浙江臺(tái)州調(diào)研)“a＝2〞是“直線ax＋2y＝0平行于直線x＋y＝1〞的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]假設(shè)a＝2，那么直線ax＋2y＝0平行于直線x＋y＝1，反之也成立，即“a＝2〞是“直線ax＋2y＝0平行于直線x＋y＝1〞的充要條件，故應(yīng)選C.(理)假設(shè)直線l1：x－ay＋1＝0與直線l2：(a＋4)x＋(2a－1)y－5＝0互相垂直，那么直線l1的傾斜角為()A．45° B．135°C．60° D．45°或135°[答案]D[解析]∵l1⊥l2，∴1×(a＋4)－a(2a－1)＝0，∴a＝－1或2，∴l(xiāng)1的方程為x＋y＋1＝0或3x－3y＋5＝0，∴l(xiāng)1的傾斜角為135°或45°.2．(文)圓O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，那么過(guò)點(diǎn)M(3,0)的最短弦所在的直線方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0[答案]A[解析]圓O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，即(x－4)2＋(y－1)2＝7，圓心O(4,1)，設(shè)過(guò)點(diǎn)M(3,0)的最短弦所在的直線為l，∵kOM＝1，∴kl＝－1，∴l(xiāng)的方程為：y＝－1·(x－3)，即x＋y－3＝0.(理)(2023·北京海淀期末)動(dòng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(0,1)并且與直線y＝－1相切，假設(shè)直線3x－4y＋20＝0與圓C有公共點(diǎn)，那么圓C的面積()A．有最大值為π B．有最小值為πC．有最大值為4π D．有最小值為4π[答案]D[解析]如下圖，由圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(0,1)，并且與直線y＝－1相切，可得點(diǎn)C的軌跡為拋物線x2＝4y，顯然以拋物線x2＝4y上任一點(diǎn)為圓心可作出任意大的圓與直線3x－4y＋20＝0相交，且此圓可無(wú)限大，即圓C的面積不存在最大值，設(shè)圓C與3x－4y＋20＝0相切于點(diǎn)A，其圓心為(x0，y0)，那么由AC＝PC可得d＝eq\f(3x0－4y0＋20,5)＝y(tǒng)0＋1(點(diǎn)C在直線3x－4y＋20＝0的右方)，即eq\f(3x0－x\o\al(2,0)＋20,5)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)＋1，解得x0＝－2或x0＝eq\f(10,3)(舍去)，當(dāng)x0＝－2時(shí)，圓心C面積為(－2,1)，此時(shí)圓C的半徑為2，即可得圓C的面積的最小值為4π，故應(yīng)選D.3．(2023·山東文，11)拋物線C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，那么p＝()A.eq\f(\r(3),16) B.eq\f(\r(3),8)C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\f(4\r(3),3)[答案]D[解析]拋物線焦點(diǎn)A(0，eq\f(p,2))，雙曲線右焦點(diǎn)為B(2,0)，雙曲線漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，直線AB方程為px＋4y－2p＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2p)x2，,px＋4y－2p＝0.))得M點(diǎn)橫坐標(biāo)為xM＝eq\f(－p2＋\r(p4＋16p2),4)，又y′＝eq\f(1,p)x，∴eq\f(1,p)xM＝eq\f(\r(3),3)，即eq\f(－p＋\r(p2＋16),4)＝eq\f(\r(3),3)，即eq\r(p2＋16)＝eq\f(4\r(3),3)＋p，又p>0，平方可解得p＝eq\f(4\r(3),3).4．(文)以雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,m)＝1的離心率為半徑，右焦點(diǎn)為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切，那么m的值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C．1 D.eq\f(4,3)[答案]D[解析]以雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,m)＝1的離心率為半徑，右焦點(diǎn)為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切，∴eq\r(m)＝eq\f(\r(m＋4),2)，解得m＝eq\f(4,3)，應(yīng)選D.(理)(2023·山東文，11)雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2.假設(shè)拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，那么拋物線C2的方程為()A．x2＝eq\f(8\r(3),3)y B．x2＝eq\f(16\r(3),3)yC．x2＝8y D．x2＝16y[答案]D[解析]此題考查雙曲線離心率、拋物線方程等．由雙曲線離心率為2知eq\f(a2＋b2,a2)＝4，即b2＝3a2，∴b＝eq\r(3)a，∴雙曲線的漸近線方程y＝±eq\r(3)x，由拋物線焦點(diǎn)F(0，eq\f(P,2))到雙曲線漸近距離為2知，eq\f(|\r(3)×0－\f(p,2)|,2)＝2，∴p＝8，∴拋物線方程為x2＝16y.5．“－3<m<5〞是“方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示橢圓〞的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]B[解析]要使方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示橢圓，應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m>0,m＋3>0,5－m≠m＋3))，解得－3<m<5且m≠1，因此“－3<m<5〞是“方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示橢圓〞的必要不充分條件．6．橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)與y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，那么△ABF面積的最大值為()A．1B．2C．4D．8[答案]B[解析]S△ABF＝eq\f(1,2)×2b×c＝eq\f(1,2)×2b×eq\r(4－b2)＝eq\r(b24－b2)≤eq\f(b2＋4－b2,2)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)b2＝2時(shí)，△ABF面積的最大值取2，故應(yīng)選B.7．(2023·山東煙臺(tái)模擬)拋物線y2＝mx(m<0)與雙曲線eq\f(x2,8)－eq\f(y2,n)＝1有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，那么動(dòng)點(diǎn)(m，n)的軌跡是()A．橢圓的一局部 B．雙曲線的一局部C．拋物線的一局部 D．直線的一局部[答案]C[解析]據(jù)題意得8＋n＝(eq\f(m,4))2，∴m2＝16(n＋8)(m<0，n>0)，方程表示的曲線為拋物線的一局部．8．拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線x－y＝0與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)P(1,1)為線段AB的中點(diǎn)，那么拋物線C的方程為()A．y＝2x2 B．y2＝2xC．x2＝2y D．y2＝－2x[答案]B[解析]設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程為y2＝2px，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2px1,y\o\al(2,2)＝2px2))，兩式相減可得2p＝eq\f(y1－y2,x1－x2)×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，∴拋物線C的方程為y2＝2x，故應(yīng)選B.9．(2023·河南桐柏實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)半徑不等的兩定圓O1、O2沒(méi)有公共點(diǎn)，且圓心不重合，動(dòng)圓O與定圓O1和定圓O2都內(nèi)切，那么圓心O的軌跡是()A．雙曲線的一支 B．橢圓C．雙曲線的一支或橢圓 D．雙曲線或橢圓[答案]C[解析]設(shè)⊙O1，⊙O2，⊙O的半徑分別為r1，r2，R，且r1>r2>0，當(dāng)⊙O1與⊙O2外離時(shí)，由條件知⊙O1與⊙O2都內(nèi)切于⊙O，∴|OO1|＝R－r1，|OO2|＝R－r2，∴|OO2|－|OO1|＝r1－r2,0<r1－r2<|O1O2|，∴點(diǎn)O的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的雙曲線靠近O1點(diǎn)的一支；當(dāng)⊙O2內(nèi)含于⊙O1時(shí)，應(yīng)有⊙O內(nèi)切于⊙O1，⊙O2內(nèi)切于⊙O，∴|OO1|＝r1－R，|OO2|＝R－r2，∴|OO1|＋|OO2|＝r1－r2，∵O1與O2不重合，且r1>r2，∴r1－r2>|O1O2|，∴點(diǎn)O的軌跡為以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓，應(yīng)選C.10．(文)(2023·吉大附中二模)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)A在雙曲線上，且AF2⊥x軸，假設(shè)eq\f(|AF1|,|AF2|)＝eq\f(5,3)，那么雙曲線的離心率等于()A．2B．3C.eq\r(2)D.eq\r(3)[答案]A[解析]設(shè)|AF2|＝3x，那么|AF1|＝5x，∴|F1F2|＝4x，∴c＝2x，由雙曲線的定義知，2a＝|AF1|－|AF2|＝2x，∴a＝x，∴e＝eq\f(c,a)＝2.(理)(2023·德陽(yáng)市二診)P點(diǎn)是x2＋y2＝a2＋b2與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)在第一角限內(nèi)的交點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是C的左、右焦點(diǎn)，且滿足|PF1|＝3|PF2|，那么雙曲線的離心率e為()A．2 B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(10),2) D.eq\f(\r(5),2)[答案]C[解析]設(shè)|PF2|＝x，那么|PF1|＝3x，∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝10x2＝4c2，∴c＝eq\f(\r(10),2)x，由雙曲線的定義知，2a＝|PF1|－|PF2|＝2x，∴a＝x，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2)，應(yīng)選C.11．(文)過(guò)原點(diǎn)O作直線l交橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)于點(diǎn)A、B，橢圓的右焦點(diǎn)為F2，離心率為e.假設(shè)以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)F2，且sin∠ABF2＝e，那么e＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(3),2)[答案]B[解析]記橢圓的左焦點(diǎn)為F1，依題意得|AB|＝2c，四邊形AF1BF2為矩形，sin∠ABF2＝eq\f(|AF2|,|AB|)＝eq\f(|AF2|,2c)＝e，|AF2|＝2ce，|AF1|2＝(2a－|AF2|)2＝(2a－2ce)2，|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，(2a－2ce)2＋(2ce)2＝(2c)2，由此解得e＝eq\f(\r(2),2)，選B.(理)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率是eq\f(\r(6),3)，過(guò)橢圓上一點(diǎn)M作直線MA、MB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1、k2，假設(shè)點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么k1·k2的值為()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)[答案]D[解析]設(shè)點(diǎn)M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，那么y2＝b2－eq\f(b2x2,a2)，yeq\o\al(2,1)＝b2－eq\f(b2x\o\al(2,1),a2)，所以k1·k2＝eq\f(y－y1,x－x1)·eq\f(y＋y1,x＋x1)＝eq\f(y2－y\o\al(2,1),x2－x\o\al(2,1))＝－eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2,a2)－1＝e2－1＝－eq\f(1,3)，即k1·k2的值為－eq\f(1,3).12．(文)(2023·遼寧文，11)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A、B兩點(diǎn)，連接AF，BF.假設(shè)|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝eq\f(4,5)，那么C的離心率為()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,7)C.eq\f(4,5)D.eq\f(6,7)[答案]B[解析]如圖，由余弦定理|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|BF|·|AB|cos∠ABF＝64＋100－160×eq\f(4,5)＝36，即|AF|＝6，又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB||BF|cos∠ABF＝64＋25－80×eq\f(4,5)＝25，即|OF|＝5，由橢圓的對(duì)稱性知：|AF|＋|BF|＝2a＝14，∴a＝7，|OF|＝5＝c，所以e＝eq\f(5,7)，應(yīng)選B.(理)(2023·北京理，7)直線l過(guò)拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直，那么l與C所圍成的圖形的面積等于()A.eq\f(4,3) B．2C.eq\f(8,3) D.eq\f(16\r(2),3)[答案]C[解析]依題意，l的方程為y＝1，它與拋物線相交弦的長(zhǎng)為4，所求的面積S＝4－2eq\i\in(0,2,)eq\f(x2,4)dx＝4－2(eq\f(x3,12)|eq\o\al(2,0))＝eq\f(8,3).選C.二、填空題13．(2023·天津六校聯(lián)考)如以下圖，ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧APB上，那么eq\o(PC,\s\up15(→))·eq\o(PD,\s\up15(→))的取值范圍是________．[答案][16,32][解析]設(shè)AB的中點(diǎn)為O，那么由條件知eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))，eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＝2eq\o(PO,\s\up15(→))，0≤eq\o(PO,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))≤8，eq\o(PA,\s\up15(→))·eq\o(PB,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(PC,\s\up15(→))·eq\o(PD,\s\up15(→))＝(eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))·(eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→)))＝eq\o(PA,\s\up15(→))·eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))·eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))·(eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→)))＋|eq\o(AD,\s\up15(→))|2＝eq\o(AD,\s\up15(→))·2eq\o(PO,\s\up15(→))＋16∈[16,32]．14．(文)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與拋物線y2＝8x有公共焦點(diǎn)，且雙曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最短距離為1，那么該雙曲線的離心率為_(kāi)_______．[答案]2[解析]∵拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，∴雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中c＝2，又a＝1，∴e＝eq\f(c,a)＝2.(理)過(guò)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足恰好落在曲線eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1上，那么雙曲線的離心率為_(kāi)_______．[答案]eq\r(2)[解析]不妨設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(c,0)，(c>0)，一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－0＝－\f(a,b)x－c,y＝\f(b,a)x))得垂足的坐標(biāo)為(eq\f(a2,c)，eq\f(ab,c))，把此點(diǎn)坐標(biāo)代入方程eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1，得eq\f(a4,b2c2)＋eq\f(a2b2,a2c2)＝1，化簡(jiǎn)，并由c2＝a2＋b2得a＝b，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).15．(2023·福建理，14)橢圓Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為2c，假設(shè)直線y＝eq\r(3)(x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，那么該橢圓的離心率等于________．[答案]eq\r(3)－1[解析]此題考查了橢圓離心率的求解．如圖，由題意易知F1M⊥F2M且|MF1|＝c，|MF2|＝eq\r(3)c，∴2a＝(eq\r(3)＋1)c，∴eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.16．設(shè)拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,4)的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，那么|eq\o(AF,\s\up15(→))|＋|eq\o(BF,\s\up15(→))|＝________.[答案]10[解析]設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知x1＋x2＝2，且xeq\o\al(2,1)＝4y1，xeq\o\al(2,2)＝4y2，兩式相減整理得，eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝eq\f(1,2)，所以直線AB的方程為x－2y＋7＝0，將x＝2y－7代入x2＝4y整理得4y2－32y＋49＝0，所以y1＋y2＝8，又由拋物線定義得|eq\o(AF,\s\up15(→))|＋|eq\o(BF,\s\up15(→))|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝10.三、解答題17．(文)(2023·河北鄭口中學(xué)模擬)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P(eq\r(3)，1)，且離心率為eq\f(\r(6),3)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)在橢圓C上，且eq\o(MF,\s\up15(→))＝eq\o(FN,\s\up15(→))，定點(diǎn)A(－4，0)．(1)求橢圓C的方程；(2)求證：eq\o(MN,\s\up15(→))⊥eq\o(AF,\s\up15(→)).[解析](1)由橢圓離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，即eq\r(1－\f(b,a)2)＝eq\f(\r(6),3)，可得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3).又橢圓C過(guò)點(diǎn)P(eq\r(3)，1)，∴eq\f(3,a2)＋eq\f(1,b2)＝1.解得a2＝6，b2＝2，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，又F(2,0)，∴eq\o(MF,\s\up15(→))＝(2－x1，－y1)，eq\o(FN,\s\up15(→))＝(x2－2，y2)，∵eq\o(MF,\s\up15(→))＝eq\o(FN,\s\up15(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x1＝x2－2,－y1＝y(tǒng)2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝4,y1＋y2＝0))，由M、N在橢圓上得，eq\f(x\o\al(2,1),6)＋eq\f(y\o\al(2,1),2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),6)＋eq\f(y\o\al(2,2),2)＝1，兩式相減得：eq\f(1,6)(x1＋x2)(x1－x2)＋eq\f(1,2)(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴x1＝x2，∴eq\o(MN,\s\up15(→))＝(x2－x1，y2－y1)＝(0，－2y1)，eq\o(AF,\s\up15(→))＝(6,0)，∴eq\o(MN,\s\up15(→))·eq\o(AF,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(MN,\s\up15(→))⊥eq\o(AF,\s\up15(→)).(理)F1、F2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)B也在橢圓上，且滿足eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，eq\o(AF2,\s\up15(→))·eq\o(F1F2,\s\up15(→))＝0.假設(shè)橢圓的離心率等于eq\f(\r(2),2).(1)求直線AB的方程；(2)假設(shè)△ABF2面積等于4eq\r(2)，求橢圓的方程．[解析](1)由eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝0知，直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，又由eq\o(AF2,\s\up15(→))·eq\o(F1F2,\s\up15(→))＝0，知AF2⊥F1F2.因?yàn)闄E圓的離心率等于eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，b2＝eq\f(1,2)a2，故橢圓方程可以寫(xiě)為x2＋2y2＝a2.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(c，y)，代入方程x2＋2y2＝a2，得y＝eq\f(1,2)a，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(eq\f(\r(2),2)a，eq\f(1,2)a)，故直線AB的斜率k＝eq\f(\r(2),2)，因此直線AB的方程為y＝eq\f(\r(2),2)x.(2)連接AF1、BF1，由橢圓的對(duì)稱性可知S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2，所以eq\f(1,2)·2c·eq\f(1,2)a＝4eq\r(2)，解得a2＝16，b2＝16－8＝8，故橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.18．(2023·泗縣雙語(yǔ)中學(xué)模擬)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)假設(shè)此方程表示圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)假設(shè)(1)中的圓與直線