重難點(diǎn)突破：不等式中最值問(wèn)題全梳理-8.22

重難點(diǎn)突破：不等式中最值問(wèn)題全梳理模塊一、題型梳理基本不等式與函數(shù)相結(jié)合的最值問(wèn)題若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根和，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】由方程可得兩個(gè)實(shí)數(shù)根的關(guān)系，再利用不等式求解范圍.【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)不等的實(shí)根是和，不妨令，故可得，解得，則=，故選：C.【小結(jié)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，涉及均值不等式的使用，屬基礎(chǔ)題.的最小值為（）A．2 B．16 C．8 D．12【分析】利用將變?yōu)榉e為定值的形式后，根據(jù)基本不等式可求得最小值.【解析】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)“=”成立，故的最小值為16.【小結(jié)】本題考查了利用基本不等式求和的最小值，解題關(guān)鍵是變形為積為定值，才能用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.已知函數(shù)y＝logax＋1(a>0且a≠1)圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)－4＝0(m>0，n>0)上，則m＋n的最小值為_(kāi)_______．【解析】由題意可知函數(shù)y＝logax＋1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A(1,1)，∵點(diǎn)A在直線eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)－4＝0上，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝4，∵m>0，n>0，∴m＋n＝eq\f(1,4)(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(n,m)·\f(m,n))))＝1，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立，∴m＋n的最小值為1.基本不等式與線性規(guī)劃相結(jié)合的最值問(wèn)題已知滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為1（其中），則的最小值為（）A．3 B．1 C．2 D．【分析】畫(huà)出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)最大值求關(guān)系式，再利用不等式求得最小值.【解析】畫(huà)出可行域如下圖所示，由于，所以基準(zhǔn)直線的斜率為負(fù)數(shù)，故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，即，所以.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D【小結(jié)】本小題主要考查根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)，考查基本不等式求最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.基本不等式與數(shù)列相結(jié)合的最值問(wèn)題已知遞增等差數(shù)列中，，則的（）A．最大值為 B．最小值為4 C．最小值為 D．最大值為4或【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可用表示出.由數(shù)列單調(diào)遞增可得.用表示出,結(jié)合基本不等式即可求得最值.【解析】因?yàn)?，由等差?shù)列通項(xiàng)公式,設(shè)公差為,可得，變形可得因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列,所以，即，而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知，由,結(jié)合基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以的最小值為4。【小結(jié)】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式與單調(diào)性的應(yīng)用,基本不等式在求最值中的用法,屬于中檔題.已知a，b均為正數(shù)，且2是2a，b的等差中項(xiàng)，則eq\f(1,ab)的最小值為_(kāi)_______．【解析】由于2是2a，b的等差中項(xiàng)，故2a＋b＝4，又a，b均為正數(shù)，故2ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋b,2)))2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b＝2，即a＝1，b＝2時(shí)取等號(hào)，所以eq\f(1,ab)的最小值為eq\f(1,2).基本不等式與向量相結(jié)合的最值問(wèn)題如圖所示,已知點(diǎn)是的重心,過(guò)點(diǎn)作直線分別交，兩邊于，兩點(diǎn)，且，，則的最小值為_(kāi)_____.【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)有,再表達(dá)成的關(guān)系式,再根據(jù),,三點(diǎn)共線可得系數(shù)和為1,再利用基本不等式求解即可.【解析】根據(jù)條件：,,又,.又,,三點(diǎn)共線,.,,.的最小值為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立.故答案為：.【小結(jié)】本題主要考查了基底向量與向量的共線定理性質(zhì)運(yùn)用,同時(shí)也考查了基本不等式應(yīng)用,屬于中等題型.

基本不等式與圓錐曲線相結(jié)合的最值問(wèn)題在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)滿足，，點(diǎn)的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）為C上動(dòng)點(diǎn)，為C在點(diǎn)處的切線，求點(diǎn)到距離的最小值．【解析】（Ⅰ）設(shè)，由已知得，．所以=，=(0，)，=(，-2).再由題意可知（+）?

=0，即（，）?

(，－2)=0．所以曲線C的方程式為．（Ⅱ）設(shè)為曲線C：上一點(diǎn)，因?yàn)?，所以的斜率為，因此直線的方程為，即．則點(diǎn)到的距離．又，所以當(dāng)=0時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)到距離的最小值為2．

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓上的點(diǎn)到的距離的最大值為3．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）在橢圓上，是否存在點(diǎn)使得直線：與圓O：相交于不同的兩點(diǎn)，且面積最大？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（Ⅰ）由，所以，設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則，∴，所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，可得，所以故橢圓的方程為：（Ⅱ）存在點(diǎn)滿足要求，使得面積最大．假設(shè)直線與圓相交于不同兩點(diǎn),則圓心到的距離，∴①因?yàn)樵跈E圓上，所以②，由①②得：∵所以，由②得代入上式得，當(dāng)且僅當(dāng)，∴，此時(shí)滿足要求的點(diǎn)有四個(gè)．此時(shí)對(duì)應(yīng)的的面積為．基本不等式與圓相結(jié)合的最值問(wèn)題設(shè)，，若直線與圓相切，則取值范圍是（）A．B．C．D．【解析】∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離，所以，設(shè)，則，解得.基本不等式與不等式恒成立結(jié)合的最值問(wèn)題當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A．B． C． D．【分析】將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，利用均值不等式求解即可.【解析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于在時(shí)恒成立即等價(jià)于；而因?yàn)?，?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.故：?！拘〗Y(jié)】本題考查二次函數(shù)在區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，是一般思路；本題中還涉及利用均值不等式求最值.屬綜合題.已知，若不等式恒成立，則的最大值為（）A．9 B．12 C．16 D．20【分析】可左右同乘，再結(jié)合基本不等式求解即可【解析】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故。【小結(jié)】本題考查基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題基本不等式與立體幾何相結(jié)合的最值問(wèn)題如圖，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)恰是長(zhǎng)、寬、高分別是m，2，n的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，此三棱錐的體積為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為（）A．B．C． D．【分析】根據(jù)三棱錐的體積關(guān)系可得,根據(jù)三棱錐與長(zhǎng)方體共外接球,長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是外接球的直徑可得,根據(jù)基本不等式可得半徑的最小值,進(jìn)一步可得體積的最小值.【解析】根據(jù)長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知三棱錐的高為,所以,所以,又該三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球,該外接球的直徑是長(zhǎng)方體的對(duì)角線,設(shè)外接球的半徑為,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,，所以,所以該三棱錐外接球體積為.故選:C【小結(jié)】本題考查了三棱錐的體積公式,球的體積公式,長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)定理,基本不等式,屬于中檔題.基本不等式與解三角形相結(jié)合的最值問(wèn)題在中，內(nèi)角的對(duì)邊另別是，已知，則的最大值為（）A． B． C． D．【分析】由已知可得，結(jié)合余弦定理，求出用表示，用基本不等式求出的最小值，即可求解.【解析】,由正弦定理得，由余弦定理得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，所以的最大值為.【小結(jié)】本題考查三角函數(shù)的最值，考查正、余弦定理解三角形，應(yīng)用基本不等式求最值，屬于中檔題.的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．（=1\*ROMANI）若成等差數(shù)列，證明：；（=2\*ROMANII）若成等比數(shù)列，求的最小值．【解析】（1）成等差數(shù)列，，由正弦定理得，（2）成等比數(shù)列，，由余弦定理得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），即，所以的最小值為

模塊二、真題賞析【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)，則的最小值為_(kāi)_________.【解析】.因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)成立.又因?yàn)樗缘淖钚≈禐?【小結(jié)】使用基本不等式求最值時(shí)一定要驗(yàn)證等號(hào)是否能夠成立.【2019年高考天津理數(shù)】已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A． B．C． D．【解析】當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴，則.當(dāng)時(shí)，，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，則時(shí)，取得最小值，∴，綜上可知，的取值范圍是.【小結(jié)】本題考查分段函數(shù)的最值問(wèn)題，分別利用基本不等式和求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的最值，然后解決恒成立問(wèn)題.(2018全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)，則的最小值是_____．【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以的最小值為．(2018天津)已知，且，則的最小值為．【解析】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．（2017新課標(biāo)Ⅰ）已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過(guò)作兩條互相垂直的直線，，直線與交于、兩點(diǎn)，直線與交于、兩點(diǎn)，則的最小值為A．16B．14C．12D．10【解析】由已知垂直于軸是不符合題意，所以的斜率存在設(shè)為，的斜率為，由題意有設(shè)，，，，此時(shí)直線方程為，取方程，得，∴同理得，由拋物線定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，取得等號(hào)．（2017天津）若，，則的最小值為_(kāi)__________．【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)取等號(hào)．（2017江蘇）某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和最小，則的值是．【解析】總費(fèi)用為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．（2017浙江）已知，函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值是5，則的取值范圍是．【解析】∵，∴①當(dāng)時(shí)，，所以的最大值，即（舍去）②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)命題成立．③當(dāng)時(shí)，，則或，解得或，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

模塊三、模擬題匯編1．（2020·武漢市第一中學(xué)高三）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．【解析】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，即的最小值是．2.（2020陜西高三）設(shè)，，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是A．B．C．D．【解析】∵，∴，又在上單調(diào)遞增，故，即，∵，∴．3．（2020·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，若對(duì)任意的正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A．6 B．8 C．12 D．24【分析】先確定奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性化簡(jiǎn)方程得，最后基本不等式求最值.【解析】因?yàn)樗远x域?yàn)椋驗(yàn)?，所以為減函數(shù)因?yàn)椋?所以為奇函數(shù)，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立），選C.【小結(jié)】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題.4.已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)恒為正值，則k的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－∞，2eq\r(2)－1)C．(－1,2eq\r(2)－1) D．(－2eq\r(2)－1,2eq\r(2)－1)【解析】由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋eq\f(2,3x)，而3x＋eq\f(2,3x)≥2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)3x＝\f(2,3x)，即x＝log3\r(2)時(shí)，等號(hào)成立))，所以k＋1<2eq\r(2)，即k<2eq\r(2)－1。故選B。5．若直線ax＋by－1＝0(a>0，b>0)過(guò)曲線y＝1＋sinπx(0<x<2)的對(duì)稱中心，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為()A.eq\r(2)＋1 B．4eq\r(2)C．3＋2eq\r(2) D．6【解析】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式．注意到曲線y＝1＋sinπx(0<x<2)的對(duì)稱中心是點(diǎn)(1,1)，于是有a＋b＝1，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))·(a＋b)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)，即b＝eq\r(2)a＝eq\r(2)(eq\r(2)－1)時(shí)取等號(hào)，因此eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是3＋2eq\r(2)，故選C.6.設(shè)＝1，－2，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()A．4 B.eq\f(9,2)C．8 D．9【解析】∵＝－＝a－1，1，＝－＝(－b－1,2)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則有∥，∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a>0，b>0，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))·(2a＋b)＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥5＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＝\f(2a,b)，,2a＋b＝1，))