運(yùn)算方法和運(yùn)算器數(shù)據(jù)的表示方法

關(guān)于運(yùn)算方法和運(yùn)算器數(shù)據(jù)的表示方法第1頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第二章運(yùn)算方法和運(yùn)算器2.1數(shù)據(jù)表示2.1.1概述一、什么叫數(shù)據(jù)表示是指能由計(jì)算機(jī)硬件直接識(shí)別的數(shù)據(jù)類(lèi)型，如定點(diǎn)數(shù)、浮點(diǎn)數(shù)等。而所謂“由硬件直接識(shí)別”意味著某種數(shù)據(jù)類(lèi)型可以用計(jì)算機(jī)硬件直接表示出來(lái)，并能由計(jì)算機(jī)指令直接調(diào)用該數(shù)據(jù)類(lèi)型。第2頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、數(shù)據(jù)的表示方法數(shù)值數(shù)據(jù):能進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算能得到明確數(shù)值概念的數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)。非數(shù)值數(shù)據(jù):以數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)形式進(jìn)入計(jì)算機(jī)的聲音、圖像、文字等信息。第3頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.1.2數(shù)值數(shù)據(jù)的表示法一、進(jìn)位計(jì)數(shù)制（簡(jiǎn)稱(chēng)進(jìn)制）及相互轉(zhuǎn)換1、進(jìn)制的概念

r進(jìn)制：有0，…，r-1共r個(gè)單位數(shù)（unit）；逢r進(jìn)一。任何一個(gè)r進(jìn)制數(shù)N可以表示為：第4頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.1.2數(shù)值數(shù)據(jù)的表示法若r=2，二進(jìn)制數(shù)，各位的權(quán)是以2為底的冪；若r=8，八進(jìn)制數(shù)，各位的權(quán)是以8為底的冪，有八個(gè)數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7；若r=10，十進(jìn)制數(shù)，各位的權(quán)是以10為底的冪；若r=16，是十六進(jìn)制數(shù)，其各位的權(quán)是以16為底的冪，有16個(gè)數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。為了明確表示一個(gè)數(shù)所采用的進(jìn)位計(jì)數(shù)制，可以該數(shù)的后面加上下標(biāo)(B)、(Q)、(D)、(H)，分別表示該數(shù)為二進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制和十六進(jìn)制第5頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.1.2數(shù)值數(shù)據(jù)的表示法2、為什么計(jì)算機(jī)中采用二進(jìn)制（1）運(yùn)算簡(jiǎn)單；（2）易于物理實(shí)現(xiàn)（容易找到合適的器件）；（3）易于表示邏輯值的真與假（布爾代數(shù)）。第6頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.1.2數(shù)值數(shù)據(jù)的表示法3、進(jìn)制轉(zhuǎn)換r進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)：各位按權(quán)展開(kāi)求和；例1.分別把二進(jìn)制數(shù)1011.01和十六進(jìn)制數(shù)F0.C用十進(jìn)制表示十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為r進(jìn)制數(shù)：整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換第7頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為r進(jìn)制數(shù)整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換步驟：①把r寫(xiě)成十進(jìn)制數(shù)；②將N除以r，記錄商和余數(shù)，并用r進(jìn)制表示余數(shù)，這余數(shù)便是用r進(jìn)制表示的數(shù)的最低位數(shù)字；③把上次的商進(jìn)行②中所述除以r取余的運(yùn)算，用r進(jìn)制表示余數(shù)；重復(fù)這種運(yùn)算直到商為0，這時(shí)的余數(shù)即為十進(jìn)制數(shù)N用r進(jìn)制表示時(shí)的最高位數(shù)字。例2.把十進(jìn)制數(shù)103用二進(jìn)制表示例3.把十進(jìn)制數(shù)506用十六進(jìn)制表示第8頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為r進(jìn)制數(shù)小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換步驟：①把r寫(xiě)成十進(jìn)制數(shù)；②將N乘以r，記錄積的整數(shù)部分和小數(shù)部分，并用r進(jìn)制表示整數(shù)部分，該整數(shù)即為轉(zhuǎn)換后r進(jìn)制小數(shù)的最高位；③把上次積的小數(shù)部分進(jìn)行②中所述乘以r取整的運(yùn)算，用r進(jìn)制表示積的整數(shù)部分；重復(fù)這種運(yùn)算直到積的小數(shù)部分為0，或者達(dá)到所要求的位數(shù)，這時(shí)的整數(shù)部分即為十進(jìn)制數(shù)N轉(zhuǎn)換成r進(jìn)制小數(shù)的最低位。例4.把十進(jìn)制0.8125用八進(jìn)制表示第9頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二進(jìn)制與八進(jìn)制、

十六進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換從二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制時(shí)，從小數(shù)點(diǎn)位置開(kāi)始，整數(shù)部分向左，小數(shù)部分向右，每四位二進(jìn)制數(shù)為一組用一位十六進(jìn)制的數(shù)字來(lái)表示，不足四位的用0補(bǔ)足，就是相應(yīng)十六進(jìn)制的表示。從二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制時(shí)，從小數(shù)點(diǎn)位置開(kāi)始，整數(shù)部分向左，小數(shù)部分向右，每三位二進(jìn)制數(shù)為一組用一位八進(jìn)制的數(shù)字來(lái)表示，不足三位的用0補(bǔ)足，就是相應(yīng)八進(jìn)制的表示。例5.把二進(jìn)制11011010111.11101用十六進(jìn)制表示例6.把八進(jìn)制數(shù)62.31用二進(jìn)制表示第10頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.1.2數(shù)值數(shù)據(jù)的表示法二、數(shù)的機(jī)器碼表示（一）符號(hào)數(shù)、機(jī)器數(shù)、真值1、真值：帶有正、負(fù)號(hào)的數(shù)據(jù)；2、機(jī)器數(shù)：符號(hào)位數(shù)值化了的數(shù)；（因?yàn)橛?jì)算機(jī)只認(rèn)識(shí)0和1，不認(rèn)識(shí)+和-）例：1101若為原碼機(jī)器數(shù)，則其真值為–5或-101，后者往往也叫符號(hào)數(shù)。第11頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、數(shù)的機(jī)器碼表示（二）定點(diǎn)數(shù)與浮點(diǎn)數(shù)1、定點(diǎn)數(shù)（Fix-PointNumber）（1）含義：定點(diǎn)、浮點(diǎn)的“點(diǎn)”都指二進(jìn)制數(shù)中的小數(shù)點(diǎn)。定點(diǎn)指小數(shù)點(diǎn)位置固定。（2）常見(jiàn)的兩種定點(diǎn)數(shù)：定點(diǎn)整數(shù)（Integer）定點(diǎn)小數(shù)（Fraction）第12頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1、定點(diǎn)數(shù)符號(hào)位

數(shù)值部分小數(shù)點(diǎn)位置小數(shù)點(diǎn)位置符號(hào)位

數(shù)值部分注意小數(shù)點(diǎn)均為隱含表示。定點(diǎn)整數(shù)（Integer）：小數(shù)點(diǎn)固定于最低位右邊

Dn-1Dn-2………D0●定點(diǎn)小數(shù)（Fraction）：小數(shù)點(diǎn)固定于最高有效位左邊

Dn-1●Dn-2………D0第13頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（3）定點(diǎn)數(shù)常見(jiàn)的機(jī)器碼編碼形式定點(diǎn)、浮點(diǎn)表示解決的是小數(shù)點(diǎn)的表示方法；而編碼解決的是符號(hào)位如何數(shù)值化的問(wèn)題。但編碼后會(huì)對(duì)運(yùn)算帶來(lái)什么樣的影響？于是先后使用了符號(hào)位編碼時(shí)數(shù)值位不變、符號(hào)位編碼時(shí)數(shù)值位按一定規(guī)律變化的幾種不同的編碼方法。這就是應(yīng)該了解的原碼、反碼、補(bǔ)碼、移碼等編碼方案。數(shù)X的原碼記作[X]原，反碼記作[X]反，補(bǔ)碼記作[X]補(bǔ)。第14頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定點(diǎn)整數(shù)-原碼定義：對(duì)于一個(gè)二進(jìn)制數(shù)而言，若用最高位表示數(shù)的符號(hào)（常以0表示正數(shù)，以1表示負(fù)數(shù)），其余各位表示數(shù)值的本身，則稱(chēng)為該二進(jìn)制數(shù)的原碼表示法。(1)設(shè)某二進(jìn)制數(shù)為X=+Xn-2Xn-3...X1X0B，即為正數(shù)則：[X]原=0Xn-2Xn-3...X1X0B=X注意：[+0]原=00...00B（共n位）=0(2)設(shè)某二進(jìn)制數(shù)為X=-Xn-2Xn-3...X1X0B，即為負(fù)數(shù)則：[X]原=1Xn-2Xn-3...X1X0B=100...00B+Xn-2Xn-3...X1X0B=2n-1-X注意：[-0]原=10...00B（共n位）數(shù)的表示范圍：-2n-1+1≤X≤2n-1-1第15頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六則原碼表示的定義是：

x2n-1–x=2n-1+|x|-2n-1+1≤x≤00≤x≤2n-1-1[x]原

=第16頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定點(diǎn)整數(shù)-反碼定義：正數(shù)反碼與原碼相同。負(fù)數(shù)反碼等于其原碼符號(hào)位不變其余位取反。(1)設(shè)某二進(jìn)制數(shù)為X=+Xn-2Xn-3...X1X0B，即為正數(shù)則：[X]反

=[X]原

=0Xn-2Xn-3...X1X0B=X注意：[+0]反=[+0]原=00...00B（共n位）=0(2)設(shè)某二進(jìn)制數(shù)為X=-Xn-2Xn-3...X1X0B，即為負(fù)數(shù)則：[X]反+|X|=2n-1所以[X]反

=2n-1+X注意：[-0]反

=11...11B（共n位）反碼數(shù)的表示范圍:-2n-1+1≤X≤2n-1-1第17頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

x(2n–1)+x-2n-1+1≤x≤00≤x≤2n-1-1[x]反

=反碼表示的定義是：第18頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六概念

對(duì)時(shí):（假設(shè)對(duì)為1時(shí)）

?一是將時(shí)針退10-9=1；

?一是將時(shí)針向前撥

10+3=1

這兩種方法都能對(duì)準(zhǔn)到1時(shí)。結(jié)論：負(fù)數(shù)用補(bǔ)碼表示時(shí),可以把減法轉(zhuǎn)化為加法。定點(diǎn)整數(shù)-補(bǔ)碼

由此可以看出，減9和加3是等價(jià)的，就是說(shuō)3是(-9)對(duì)12的補(bǔ)碼，可以用數(shù)學(xué)公式表示：

-9＝+3（mod12）第19頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六模的概念計(jì)算機(jī)中運(yùn)算器、寄存器、計(jì)數(shù)器都有一定的位數(shù)，不可能容納無(wú)限大的任意數(shù)。當(dāng)運(yùn)算結(jié)果超出實(shí)際的最大表示范圍，就會(huì)發(fā)生溢出，此時(shí)所產(chǎn)生的溢出量就是模（module）。

?定點(diǎn)小數(shù)的溢出量為2，即以2為模；

?一個(gè)字長(zhǎng)為n位的定點(diǎn)整數(shù)的溢出量為2n，即以2n為模。第20頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定點(diǎn)整數(shù)-補(bǔ)碼定義：假定某機(jī)器的字長(zhǎng)為n位，那么它的模就是2n，它是一個(gè)n+1位數(shù)100...0B,由于計(jì)算機(jī)只能表示n位數(shù)，因此數(shù)2n在計(jì)算機(jī)中只能以n個(gè)零表示，而該數(shù)最左邊的1自動(dòng)丟失。由以上例子及討論所得：[X]補(bǔ)＝2n

＋X對(duì)于正數(shù)X，[X]補(bǔ)＝[X]原＝[X]反

=X對(duì)于負(fù)數(shù)X，[X]補(bǔ)＝2n＋X＝0－|X|對(duì)于＋0：[＋0]補(bǔ)＝2n＋0＝0+0＝0

對(duì)于－0：[－0]補(bǔ)＝2n＋（－0）＝0－0＝0總結(jié)：已經(jīng)解決了正負(fù)零問(wèn)題（歸一化）。數(shù)的表示范圍：-2n-1≤X≤2n-1-1第21頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

x2n+x=2n–|x|

-2n-1

≤

x

≤00≤

x

≤

2n-1-1[x]補(bǔ)

=（mod2n）補(bǔ)碼表示的定義是：第22頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六[例]以定點(diǎn)整數(shù)為例,說(shuō)明各種編碼表示的范圍。真值真值原碼反碼補(bǔ)碼移碼+127+1+00-1-127-128+0111,1111+0000,00010000,00000000,0000-0000,0001-0111,1111-1000,00000111,11110000,00010000,00001000,00001000,00011111,1111不能表示0111,11110000,00010000,00001111,11111111,11101000,0000不能表示0111,11110000,00010000,00000000,00001111,11111000,00011000,00001111,11111000,00011000,00001000,00000111,11110000,00010000,0000第23頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定點(diǎn)小數(shù)-原碼NsN1N2…Nn定義：[X]

原

=例：X=0.10110;-0.10110;0.0000[X]原

=010110;110110;0000010000

結(jié)論：原碼為符號(hào)位加數(shù)的絕對(duì)值，0正1負(fù)

原碼零有兩個(gè)編碼，+0和-0編碼不同

原碼難以用于加減運(yùn)算，但乘除方便X1-X-1<X≤0

0≤X<1第24頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定點(diǎn)小數(shù)-反碼NsN1N2…Nn定義：[X]反=

例：X=0.10110；-0.10110；0.0000[X]反=010110；101001；0000011111

結(jié)論：反碼為符號(hào)位跟數(shù)每一位的反，0正1負(fù)

反碼零有二個(gè)編碼，分+0和-0

反碼難以用于加減運(yùn)算X

(2-2-n)+X

-1<X≤00≤X<1第25頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定點(diǎn)小數(shù)-補(bǔ)碼NsN1N2…Nn

定義：[X]補(bǔ)

=例：X=0.10110；-0.10110；0.0000[X]補(bǔ)

=010110；101010；00000結(jié)論：補(bǔ)碼最高一位是符號(hào)位，0正1負(fù)

補(bǔ)碼表示為2*符號(hào)位+數(shù)的真值

補(bǔ)碼零只有一個(gè)編碼，故能表示-1

補(bǔ)碼能很好地用于加減（乘除）運(yùn)算X2+X

-1≤X≤0MOD20≤X<1第26頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（3）定點(diǎn)數(shù)常見(jiàn)的機(jī)器碼編碼形式例：X=-0.101101，Y=+101101[X]原=1.101101，[Y]原=0101101[X]反=1.010010，[Y]反=0101101[X]補(bǔ)=1.010011，[Y]補(bǔ)=0101101三種編碼方案簡(jiǎn)要比較：正數(shù)相同，負(fù)數(shù)有別。補(bǔ)碼中“0”有唯一的機(jī)器表示；補(bǔ)碼的最大優(yōu)點(diǎn)在于其符號(hào)位可以與數(shù)值位共同參與運(yùn)算而易于得到正確的補(bǔ)碼結(jié)果。移碼我們放在浮點(diǎn)數(shù)的內(nèi)容中去了解。（4）定點(diǎn)數(shù)的表示范圍表示數(shù)的范圍非常有限-引入浮點(diǎn)數(shù)第27頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2、浮點(diǎn)數(shù)（1）浮點(diǎn)數(shù)的一般形式N=（R的E次冪）xM其中，N：要表示的浮點(diǎn)數(shù)；

R（Radix）：基數(shù)，常取2則N=2E*M；

M（Mantissa）：尾數(shù)，一般為定點(diǎn)小數(shù)；

E（Exponent）：階碼，一般為定點(diǎn)整數(shù)?？梢?jiàn)，一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)在機(jī)器中是用兩個(gè)定點(diǎn)數(shù)表示第28頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化:為充分利用尾數(shù)的有效位數(shù),提高數(shù)據(jù)的表示精度,修改階碼同時(shí)左右移小數(shù)點(diǎn),使尾數(shù):1/2≤|M|<1浮點(diǎn)數(shù)與定點(diǎn)數(shù)的比較定點(diǎn)數(shù):表示方法簡(jiǎn)單直觀(guān),但表示數(shù)的范圍小.浮點(diǎn)數(shù):表示的范圍遠(yuǎn)比定點(diǎn)數(shù)大;運(yùn)算過(guò)程中隨時(shí)對(duì)中間結(jié)果的浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化,所以不易丟失有效數(shù)據(jù),提高了運(yùn)算的精度,但浮點(diǎn)運(yùn)算教復(fù)雜.EsE1E2….EmMsM1M2….Mn階符階碼數(shù)符尾數(shù)第29頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例1:寫(xiě)出二進(jìn)制-110.0011在計(jì)算機(jī)中的浮點(diǎn)數(shù)形式.設(shè)階碼取4位補(bǔ)碼,尾數(shù)是8位原碼

解:-110.0011=-0.1100011*2+3

浮點(diǎn)數(shù)形式為001111100011階符尾符浮點(diǎn)數(shù)舉例第30頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六浮點(diǎn)數(shù)舉例

例2:計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)格式如下,

寫(xiě)出x=0.0001101B的規(guī)格化形式,

階碼為4位補(bǔ)碼,尾數(shù)是8位原碼

x=0.0001101=0.1101*2-3[-3]補(bǔ)=[-011]補(bǔ)=[1011]補(bǔ)=1101B

規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)形式是１１０１０１１０１０００第31頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（2）移碼的說(shuō)明移碼，又名增碼、余碼，是原碼、反碼、補(bǔ)碼后的又一種編碼形式，通常用于表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼。若定點(diǎn)整數(shù)移碼形式為x0x1x2…xn時(shí)，移碼的定義為：

[x]移=2n+X,

-2n≤X<2n

其中，X--真值，n--X數(shù)值位的位數(shù)。移碼(增碼)0-128+127負(fù)數(shù)正數(shù)機(jī)器數(shù)第32頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例：X=+10101，Y=-10101。n=5（數(shù)值位的位數(shù)）

[X]移=100000+10101=110101[Y]移=100000-10101=001011第33頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、BCD碼1、BCD編碼：BinaryCodedDecimal，即二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制數(shù)，種類(lèi)有很多，如Gray碼、余3碼、8421BCD碼等。8421BCD碼：用四位二進(jìn)制數(shù)表示一位十進(jìn)制數(shù)0-9。

0000-0，0001-1，…，1001-92、編碼目的：以機(jī)器能表示與識(shí)別的二進(jìn)制形式存在，又比純二進(jìn)制數(shù)（purebinary）更接近日常所習(xí)慣的十進(jìn)制數(shù)。第34頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.1.3非數(shù)值數(shù)據(jù)的表示-除數(shù)值數(shù)據(jù)以外的如文字、符號(hào)、圖象、語(yǔ)言等。一、字符數(shù)據(jù)字符指字母、符號(hào)、控制字符等。按什么樣的規(guī)則把字符表示成0、1形式是人為確定的。具體方案有多種，其中流行的是ASCII碼，即AmericanStandardCodeforInformationInterchange，含四類(lèi)128種字符。二、邏輯數(shù)據(jù)不帶符號(hào)的一位二進(jìn)制數(shù)。只有0，1兩個(gè)值，代表兩種成對(duì)的邏輯概念。不同于數(shù)學(xué)中0和1的數(shù)值概念。對(duì)邏輯數(shù)據(jù)可以