銳角三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

關(guān)于銳角三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用第1頁，共13頁，2023年，2月20日，星期六鉛直線水平線視線視線仰角俯角◆運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，首先要求能夠建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型．例如，將硬幣看成圓；將水塔看成線段，將引水槽看成等腰梯形等等．仰角和俯角30°45°BOA西東北南第2頁，共13頁，2023年，2月20日，星期六◆坡度＝，一般地，我們將坡度i寫成1∶m

的形式．坡度i與坡角α之間的關(guān)系為i＝tanα．第3頁，共13頁，2023年，2月20日，星期六例題講解

例1、“五一”節(jié)，小明和同學(xué)一起去游樂場(chǎng)游玩，游樂場(chǎng)的大型摩天輪的半徑為20m,旋轉(zhuǎn)1周需要10min.小明乘坐最底部的車廂(離地面約0.5m)開始1周的觀光，

(1)經(jīng)過2min后，小明離地面的高度是多少(精確到0.1m)？

(2)摩天輪啟動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間后，小明離地面的高度達(dá)到10.5m？

(3)小明將有多長(zhǎng)時(shí)間保持在離地面10.5m以上的空中？ACODB分析：(1)先算出2分鐘時(shí)摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，然后構(gòu)造直角三角形；

(2)利用高度仍然構(gòu)造(1)中的直角三角形求出摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，再利用摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的速度求出時(shí)間；

(3)第二次距離地面10.5米的時(shí)間減去第一次距離地面10.5米的時(shí)間，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)稱的。第4頁，共13頁，2023年，2月20日，星期六

例2、為測(cè)量松樹AB的高度，一個(gè)人站在距松樹15米的E處，測(cè)得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求樹高(精確到0.01米)．解：在Rt△ACD中，

tanC=∴AD=CD·tanC=BE·tanC

=15×tan52°=15×1.2799≈19.20(米)．∴AB=AD+BD=19.20+1.72=20.92(米)．答：樹高20.92米．第5頁，共13頁，2023年，2月20日，星期六例3、如圖，在小明家的住宅樓(AB)與相鄰工廠的煙囪(DC)間有一條河，現(xiàn)工廠改造，準(zhǔn)備用爆破的方法拆除煙囪。設(shè)在地面上以D為圓心以CD的長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域?yàn)槲ｋU(xiǎn)區(qū)。小明從自家的窗中(點(diǎn)B表示小明眼睛的位置)眺望煙囪,并測(cè)得煙囪頂部的仰角是25°、煙囪底部的俯角是30°。若身高為1.4米的小明家住在8樓，底層樓高3米，其余每層樓高為2.6米。問：小明家的住宅樓是否在危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)？(以下數(shù)據(jù)供選用：sin250≈0.42,cos250≈0.91,tan250≈0.47,≈1.73).ADCB分析：這道題實(shí)際上是要比較線段CD與線段AD的大小關(guān)系，首先求AB的長(zhǎng)=3+2.6×6+1.4=20，根據(jù)解直角三角形求出AD的長(zhǎng)；過點(diǎn)B作CD的垂線BE，ED=AB，BE=AD，解直角三角形求線段CE的長(zhǎng)。若線段CD大于線段AD，則說明小明家的住宅樓需要拆遷；若線段CD小于線段AD，則說明小明家的住宅樓不需要拆遷。第6頁，共13頁，2023年，2月20日，星期六例4、如圖，某風(fēng)景區(qū)的湖心島有一涼亭A，其正東方向有一棵大樹B，小明想測(cè)量A、B之間的距離，他從湖邊的C處測(cè)得A在北偏西45°方向上，測(cè)得B在北偏東32°方向上，且量得B、C之間的距離為100米，根據(jù)上述測(cè)量結(jié)果，請(qǐng)你幫小明計(jì)算A、B之間的距離是多少？(結(jié)果精確到1米)分析：過點(diǎn)C作AB的垂線，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，根據(jù)已知條件來解直角三角形。第7頁，共13頁，2023年，2月20日，星期六例5、如圖，海島A四周20海里范圍內(nèi)是暗礁區(qū)，一艘貨輪由東向西航行，在B處見島A在北偏西，航行24海里后到C處，見島A在北偏西，貨輪繼續(xù)向西航行，有無觸礁危險(xiǎn)？分析：過點(diǎn)A作BC的垂線AD，比較線段AD的長(zhǎng)與20的大小關(guān)系，求線段AD的長(zhǎng)是利用兩個(gè)直角三角形來解決。第8頁，共13頁，2023年，2月20日，星期六

例6、氣象局發(fā)出預(yù)報(bào)：沙塵暴在A市正東方向400km的B處，正在以40km/h的速度向西偏北300的方向轉(zhuǎn)移(如圖1)，距沙塵暴中心300km的范圍內(nèi)將受到影響，問A市是否受到這次沙塵暴的影響？如果受到影響，將持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間？(精確到1h)分析：判斷A市是否受到影響，只要求出A市到沙塵暴的行進(jìn)路線的最短距離，看其是否大于400km即可．如果要判斷影響時(shí)間，則可以以A為圓心，畫出一個(gè)半徑為300km的圓，設(shè)該圓與行進(jìn)路線交于兩點(diǎn)D、E，求出DE的長(zhǎng)度，即可以算出影響時(shí)間．第9頁，共13頁，2023年，2月20日，星期六解：過點(diǎn)A作BC的垂線(如圖2)，在Rt△ABC中，∵∠B＝300，AB＝400km，∴AC＝200km＜300km，因此，A市將受到沙塵暴的影響．以A為圓心，300km為半徑畫圓，交BC于點(diǎn)D、E，在Rt△ACD中，∵AD＝300km，AC＝200km∴CD＝100

km，∴DE＝200km,這樣，A市受到沙塵暴的影響時(shí)間為11(h)評(píng)析：本題需要綜合運(yùn)用三角函數(shù)及圓的相關(guān)知識(shí)解題．第10頁，共13頁，2023年，2月20日，星期六

例7、如圖，水庫大壩的橫截面是梯形，壩頂CD寬是5m，壩高DE為20m，斜坡的坡度為1：,斜坡的坡度為5：6，建造這樣的大壩1000需要多少m3的土？(結(jié)果保留根號(hào))分析：求這