2019數學新設計北師大選修23精練第一章計數原理習題課1含答案

習題課——二項式定理的應用組1.已知(a+b)n睜開式中只有第5項的二項式系數最大,則n等于( )A.11B.10C.9D.8分析;∵只有第5項的二項式系數最大,+1=5.n=8.答案;D2.的睜開式中2y3的系數是( )A.-20B.-5C.5D.20分析;由已知,得Tr+1=(-2y)r=(-2)r5-ryr(0≤r≤5,r∈),令r=3,得T4=(-2)32y3=-202y3.應選A.答案;A3.使(n∈N+)的睜開式中含有常數項的最小的n為( )分析;由二項式的通項公式得Tr+1=3n-r,若睜開式中含有常數項,則n-r=0,即n=r,所以n最小值為5.答案;B-1-4.設函數f( )=則當>0時,f[f( )]表達式的睜開式中常數項為( )A.-20B.20C.-15D.15分析;當>0時,f( )=-<0,則f[f( )]=.Tr+1=)6-r·=(-1)r=(-1)r3-r.令3-r=0,得r=3,此時T4=(-1)3=-20.答案;A5.已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,則實數a的值為.分析;依據題意,因為2×1010+a=2×(11-1)10+a,因為2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,依據二項式定理睜開式可知,2×(11-1)10被11除的余數為2,進而可知2+a能被11整除,可知a=9.答案;96.若(2-3)5=a0+a1+a22+a33+a44+a55,則a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于.分析;在已知等式兩邊對求導,得5(2-3)4×2=a1+2a2+3a32+4a43+5a54,令=1,得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=5×(2×1-3)4×2=10.答案;107.在(3-2y)20的睜開式中,系數絕對值最大的項為.分析;設系數絕對值最大的項是第r+1項,則所以<r<,所以r=8.所以當r=8時,系數絕對值最大的項為T9=·312·28·12·y8.答案;T9=·312·28·12·y88.導學號43944020已知(+32)n的睜開式中,各項系數和與它的二項式系數和的比為32.(1)求睜開式中二項式系數最大的項;(2)求睜開式中系數最大的項.解令=1,則睜開式中各項系數和為(1+3)n=22n.-2-又睜開式中二項式系數和為2n,=2n=32,n=5.(1)∵n=5,睜開式共6項,∴二項式系數最大的項為第三、四兩項,∴T3=)3(32)2=906,T4=)2(32)3=270.(2)設睜開式中第+1項的系數最大,則由T+1=)5-(32)=3,得∴≤≤,=4,即睜開式中系數最大的項為T5=)(32)4=405.9.求證;3n>(n+2)·(n∈N+,n>2).證明因為n∈N+,且n>2,所以3n=(2+1)n睜開后起碼有4項.(21)n2n·2n-1+·21≥2n+n·2n-1212n+n·2n-1(n+2)·2n-1,+=++++n+>=故3n>(n+2)·2n-1(n∈N+,n>2).10.求證;1+2+22++(n∈N+)能被31整除.證明∵1+2+22++-1=32n-1(31+1)n-1-3-=·31n+·31n-1++·31+-1=31(·31n-1+·31n-2++),明顯·31n-1+·31n-2++為整數,∴原式能被31整除.B組1若(+y)9按的降冪擺列的睜開式中,第二項不大于第三項,且+y=1,0,則的取值范圍是( ).y<A.B.C.D.(1,+∞)分析;二項式(+y)9的睜開式的通項是Tr+1=·9-r·yr.依題意,有由此得解之,得>1,即的取值范圍為(1,+∞).答案;D2.(2016·湖北孝感高中高二上學期期中考試)20152015除以8的余數為( )A.1B.3C.5D.7分析;20152015=(2016-1)2015=20162015+20162014(-1)1++(-1)2015,倒數兩項和為2015×2016-1,其除以8的余數為7,所以20152015除以8的余數是7.答案;D3.8=a0+a1(-1)++a8(-1)8,則a7=.分析;8[1(1)]8=(1)(1)7+(1)8,8=+--++--∴a7==.答案;8-4-4.(2-1)10睜開式中的奇次冪項的系數之和為.分析;因為(2-1)10=a0+a1+a22++a1010,令=1,得a0+a1+a2++a10=1,再令=-1,得310=a0-a1+a2-a3++a10,兩式相減,可得a1+a3++a9=.答案;5.設的睜開式的常數項為a,則直線y=a與曲線y=2圍成圖形的面積為.分析;Tr+1=r-32r=3r-3,令r=1,得a=3,直線y=3與曲線y=2的交點坐標為(0,0)和(3,9),∴直線y=a與曲線y=2圍成圖形的面積S=(3-2)d=.答案;6.導學號43944021設a≠0,n是大于1的自然數,的睜開式為a0+a1+a22++ann.若點Ai(i,ai)(i=0,1,2)的地點如下圖,則a=.分析;由題意得a1==3,3;=4,∴n=aa2=n2-n=8a2.將n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.-5-答案;37.求證;32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除.剖析可將2n+2n+1的形式,而后利用二項式定理睜開,整理可得結果.3寫成(8+1)證明32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=8n+1+8n++82+8+-8n-9=8n+1+8n++82+(n+1)8+1-8n-9=n+1+n288++8=64(8n-1+8n-2++),所以32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除.8.導學號mn12中,a>0,b>0,mn≠0且2m+n=0.43944022已知在二項式(a+b)(1)假如在它的睜開式中,系數最大的項是常數項,則它是第幾項?