《一元二次方程》教材分析報告

千里之行，始于足下。第2頁/共2頁精品文檔推薦《一元二次方程》教材分析報告第二十二章《一元二次方程》教材分析

北京八中劉穎

一.本章的要緊內(nèi)容:

1.要緊內(nèi)容:一元二次方程及其有關(guān)概念,一元二次方程的解法（配辦法、公式法、因式分解法）,運(yùn)用一元二次方程分析和實際咨詢題.

2.本章重點：一元二次方程的解法,

難點：一元二次方程的應(yīng)用.

二.中考考試要求:（2012年）

三.課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.以分析實際咨詢題中的等量關(guān)系并求解其中的未知數(shù)為背景,認(rèn)識一元二次方程及其有關(guān)概念.

2.依照化歸的思想,抓住“落次”這一基本策略,掌握配辦法、公式法和因

式分解法等一元二次方程的基本解法．有條件時可選學(xué)“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”,拓展對一元二次方程的認(rèn)識.

3.記憶分析和解決實際咨詢題的過程,體味一元二次方程的數(shù)學(xué)模型作用,進(jìn)一步提高在實際咨詢題中運(yùn)用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力.

四.本章知識結(jié)構(gòu)框圖

五.課時安排

本章教學(xué)時刻約需13課時,具體分配如下（僅供參考）:

22.1一元二次方程………………（2課時）

22.2落次——解一元二次方程…（7課時）

22.3實際咨詢題與一元二次方程…（2課時）

數(shù)學(xué)活動與小結(jié)…（2課時）

六.內(nèi)容安排

22.1節(jié)以實際咨詢題為背景,引出一元二次方程的概念,歸納出一元二次方程的普通形式,給出一元二次方程的根的概念,并提出一元二次方程的根會浮現(xiàn)別唯一的事情.這些概念是全章后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ).

22.2節(jié)討論一元二次方程的基本解法,其中包括直截了當(dāng)開平辦法、配辦法、公式法和因式分解法等,這一節(jié)是全章的重點內(nèi)容之一.在本章之前的方程基本上一次方程或可化為一次方程的分式方程,一元二次方程是首次浮現(xiàn)的高于一次的方程.解二次方程的基本策略是將其轉(zhuǎn)化為一次方程,這算是“落次”.本節(jié)首先經(jīng)過解比較簡單的一元二次方程,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識直截了當(dāng)開平辦法解方程;然后討論比較復(fù)雜的一元二次方程,經(jīng)過對照一邊為徹底平方形式的方程,使學(xué)生認(rèn)識配辦法的基本原理并掌握其具體辦法;有了配辦法作基礎(chǔ),再討論怎么用配辦法解一元二次方程的普通形式20

++=(0

axbxc

a≠),就得到一元二次方程的求根公式,于是有了直截了當(dāng)利用公式的公式法,并引出用判不式確定一元二次方程的根的事情.本節(jié)在公式法后討論因式分解法解一元二次方程,這種解法要使方程的一邊為兩個一次因式相乘,另一邊為0,再分不令每個一次因式為0.這幾種解法基本上依落次的思想,將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程,不過具體的落次手段有所別同.本節(jié)最終增加了選學(xué)內(nèi)容“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”.學(xué)習(xí)這一內(nèi)容能夠進(jìn)一步加深對一元二次方程及其根的認(rèn)識,為往后的學(xué)習(xí)做預(yù)備.

22.3節(jié)安排了3個探索內(nèi)容,結(jié)合實際咨詢題,分不討論傳播咨詢題、增長率咨詢題和幾何圖形面積咨詢題.一元二次方程與許多實際咨詢題都有聯(lián)系,本節(jié)別是按照實際咨詢題的類型分類和選材的,而是選取幾個具有一定代表性的實際咨詢題來進(jìn)一步討論怎么建立和利用方程模型,重點在分析實際咨詢題中的數(shù)量關(guān)系并以方程形式舉行表示,這種數(shù)學(xué)建模思想的體現(xiàn)與前面有關(guān)方程的各章是一致的,不過在咨詢題中數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜程度上又有新的進(jìn)展,數(shù)學(xué)模型由一次方程

或能夠化為一次方程的分式方程變?yōu)橐辉畏匠蹋?/p>

本章從引言到小結(jié)始終保持貼近實際、貼近日子.如此安排要緊目的是:

1.反映客觀世界與數(shù)學(xué)的緊密聯(lián)系;

2.加強(qiáng)對應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際咨詢題的意識和能力的培養(yǎng).

目前的課程標(biāo)準(zhǔn)沒有將一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）列為

必學(xué)內(nèi)容,思考到部分學(xué)有余力的學(xué)生能夠進(jìn)一步擴(kuò)大對一元二次方程的認(rèn)識,以及那個內(nèi)容是比較重要的數(shù)學(xué)知識,教科書在22.2.4中安排了有關(guān)內(nèi)容供選學(xué),希翼能提供一些咨詢題給部分學(xué)生去探索.

在本章小結(jié)中,教科書再次強(qiáng)調(diào)一元二次方程與實際咨詢題之間的聯(lián)系,突

出解一元二次方程的基本思路以及具體辦法,這是本章的重點內(nèi)容.

一元二次方程是本套初中數(shù)學(xué)教科書中所學(xué)習(xí)的最終一種方程,從某種意義上講,學(xué)習(xí)本章也具有對方程的學(xué)習(xí)舉行總結(jié)的作用．

七.教學(xué)中應(yīng)注意一些的咨詢題

（一）一元二次方程的有關(guān)概念

1.了解一元二次方程的概念

（1）一元二次方程是整式方程;

（2）它含有一具未知數(shù)（“一元”）,未知項的最高次次數(shù)是2（“二次”）;

（3）它的普通形式是:)0(02≠=++acbxax.

2.能由一元二次方程的概念確定二次項系數(shù)中所含字母的取值范圍

惟獨當(dāng)二次項系數(shù)0a≠時,整式方程20axbxc++=才是一元二次方程.

例1.①對于x的方程()04412=-++mxxm是一具一元二次方程,則m的取值范圍是_________,一次項系數(shù)是_____________,常數(shù)項是______________

②對于x的一元二次方程()()()axaxx51233=+-+-,化成普通形式是

_____________

3.一元二次方程的解(根)的定義與檢驗一元二次方程的解(根)

（1）一元二次方程作為整式方程,在有解的事情下,一定有兩個實數(shù)解;

（2）區(qū)分“無解”與“無實數(shù)解”.

例2.已知:a>b,且有01532=-+aa,01532=-+bb

①a,b是否方程01532=-+xx的根;②求a,b的值

例3.對于x的方程(1–a)x2+2x+2=0有實根,求a的取值范圍.

（二）能挑選適當(dāng)?shù)霓k法解一元二次方程

在學(xué)習(xí)本章之前,學(xué)生差不多學(xué)習(xí)過一元一次方程、二元一次方程組的解法,同時學(xué)習(xí)了能夠化為一元一次方程的分式方程的解法.一元二次方程的解法與前面的方程的解法相比,特點在于未知數(shù)的次數(shù)是2（二次）,于是重點和難點在于怎么將一元二次方程轉(zhuǎn)化為差不多會解的一次方程.

1.明確解一元二次方程是以落次為目的,應(yīng)以直截了當(dāng)開平辦法、配辦法、公式法、因式分解法等辦法為手段,從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解,其中配辦法更是尤為重要;

2.明白配辦法,能熟練地選用包括直截了當(dāng)開平辦法、配辦法、公式法、因式分解法等辦法在內(nèi)的適當(dāng)?shù)霓k法解一元二次方程;

3.明白各種解法的依據(jù);

4.各種解法應(yīng)強(qiáng)調(diào)的咨詢題

（1）直截了當(dāng)開平方

關(guān)于形如nx=2或)0()(2≠=+anbax的一元二次方程（即一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方,而另一邊是一具非負(fù)數(shù)）,可用直截了當(dāng)開平辦法求解.

形如nx=2的方程的解法:當(dāng)0>n時,nx±=;

當(dāng)0=n時,021==xx;

當(dāng)0-acb時,方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根別相等;

當(dāng)042=-acb時,方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根相等,寫為a

bxx221-==;當(dāng)042?≠時

00a?方程有兩個別相等的實數(shù)根;當(dāng)?

??=?≠時00a?方程有兩個相等的實數(shù)根;②當(dāng)???<?≠時

00a?方程無實數(shù)根．2.常見的題型

（1）別解方程,利用一元二次方程根的判不式,判不一元二次方程根的事情;例7.別解方程,推斷下列對于x的方程的根的事情:

①()()7315=+-xx②02352=-+xx

（2）已知一元二次方程的根的事情,由根的判不式確定字母的取值范圍;

例8.若對于x的方程0962=+-xkx有兩個別相等的實數(shù)根,求k的取值范圍

（3）應(yīng)用判不式,證明一元二次方程根的事情

①先計算出判不式（關(guān)鍵步驟）;②用配辦法將判不式恒等變形;

③推斷判不式的符號;④總結(jié)出結(jié)論.

例9.已知a,b,c為實數(shù).求證:對于x的方程(x–a)(x–b)+(x–b)(x–c)+(x–c)(x–a)=0恒有實數(shù)根.

（4）分類討論思想的應(yīng)用:假如方程給出時未指明是二次方程,后面也未指明方程有兩個根時,需要對方程舉行分類討論,假如二次項系數(shù)為0,方程也許是一元一次方程;假如二次項系數(shù)別為0,方程是一元二次方程,也許會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根.

例10.已知對于x的方程:()()011222=++mxmxm,在下列事情下,分不求m的取值范圍:

①方程惟獨一具實數(shù)根;②方程有兩個相等的實數(shù)根;③方程有兩個別相等的實數(shù)根

（5）一元二次方程根的判不式常結(jié)合三角形、四邊形、別等式（組）等知識綜合命題,解答時要在全面分析的前提下,注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧.

例11.已知:對于x的方程(a+c)x2+2bx–a+c=0有兩個相等的實數(shù)根.咨詢正數(shù)a,b,c是否能夠作為一具三角形的三邊的長?假如能夠,是啥形狀的三角形?

（6）一元二次方程根的判不式與整數(shù)解的綜合.

例12.當(dāng)k是啥整數(shù)時,方程(k2–1)x2–6(3k–1)x+72=0有兩個別相等的正整數(shù)根

（7）判不一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點咨詢題.另外,一元二次方程根的判

不式關(guān)于日后學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖象與橫軸交點的個數(shù)也有非常好的鋪墊作用.

（四）會運(yùn)用一元二次方程解決簡單的實際咨詢題

1.數(shù)字咨詢題:解答這類咨詢題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù),奇偶數(shù),延續(xù)整數(shù)等形式.

2.幾何咨詢題:這類咨詢題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來尋覓等量關(guān)系,構(gòu)建方程,對結(jié)果要結(jié)合幾何知識檢驗.

3.增長率咨詢題:在此類咨詢題中,普通有變化前的基數(shù)（a）,增長（下落）率（x）,變化的次數(shù)（n）,變化后的結(jié)果（b）,這四者之間的關(guān)系能夠用公式bxan=±)1(表示.普通采納直截了當(dāng)開平辦法求根,結(jié)果普通要符合01x<<的要求.

4.“握手咨詢題”是一種常見的題型,建議歸納這種方程的模型,幫助學(xué)生識不.

5.面積咨詢題要合理設(shè)未知數(shù),方程模型為()()abxcdxm--=,普通采取因式分解法或公式法求解,結(jié)果要并且符合0bxa<<、0dxc<<兩個要求.

6.其它實際咨詢題（都要注意檢驗解的實際意義,若別符合實際意義,則舍去）.

八.適當(dāng)補(bǔ)充一些咨詢題

（一）目前的課程標(biāo)準(zhǔn)沒有將一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）列何必學(xué)內(nèi)容,思考到部分學(xué)有余力的學(xué)生能夠適當(dāng)擴(kuò)充.

定理的前提條件是:二次項系數(shù)00a≠?≥，.

例13.根與系數(shù)關(guān)系補(bǔ)充內(nèi)容

①已知x1、x2是方程05322=-+xx的兩個實數(shù)根,則_________2

121=+xxxx②已知對于x的方程04532=-+kxx的一具根是-2,求它的另一具根α和k的值

③已知x1、x2是方程0522=--xx的兩個根,求下列代數(shù)式的值:2111xx+;2221xx+;??????-??????-122111xxxx;21xx-

④已知對于x的方程0221222=-+??

???--axax有兩個別相等的實數(shù)根α和β,且有

α2-αβ+β2=12,求a的值

⑤在等腰△ABC中,三邊分不為a、b、c,已知a=3,且b和c是對于x的方程02122=-++mmxx的兩個實數(shù)根,求△ABC的周長

（二）可化為一元二次方程的簡單的分式方程

例14.解下列方程:

①

12221--=+xxx②1

1314121+-+=+-+xxxx

九.幾個值得關(guān)注的咨詢題

本章的要緊內(nèi)容包括一元二次方程的基本概念、基本解法、應(yīng)用舉例等,這

些基本上重要的基礎(chǔ)知識,打好基礎(chǔ)非常重要,所