考研高數(shù)公式

一。函數(shù)，極限，連續(xù)

1.極限的四則運(yùn)算規(guī)則：

limf(x)=A,limg(x)=B(xfxO)

lim[f(x)±g(x)J=limf(x)±limg(x)=A±B

limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB

limf(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/B(BW0)

2.常用的等價(jià)公式

x—0sinxfx,arcsinxfx,tanxfx,arctanxx,ln(l+x)fx

eAx-lTx,l-cosx->(l/2)xA2,(l+x)A(l/n)-lTxtn

3.求極限的兩個(gè)重要公式。

(1)limsinx/x(x-0)=1(2)lim(l+x)A(l/x)[x—>01=e

4.幾個(gè)常用的極限

(n—>oo)lim\[a(^>0)=1(x—>±oo)limarctanx=±7i/2

(x—>0+)limxAx=l(x—>±oo)limarccotx=0或TC

(n—>oo)lim(Q八〃)+(〃八〃)=0(〃-8)limn!/(ln〃)=oo

二.導(dǎo)數(shù)與微分(見(jiàn)精華區(qū)《常見(jiàn)公式一》)

補(bǔ)充高階導(dǎo)數(shù)的公式。

(l)(6fAx)(n)=〃八x(ln〃)八〃(〃>0)

(2)sin(晨)(〃)=k~nsin(依+〃*萬(wàn)/2)

(3)COS(Z:X)(H)=攵八"cos(履+/?*%/2)

(4)(xAm)(n)=m(m-1)….(加一〃+l)xA(m-n)

(5)(lnx)(〃)=(-1)A(〃-l)[(n-l)!/(xA/?)]

(6)萊布尼茲公式：(MV)(〃)=^c(z,/z)M(z)v(n-z)

2.曲線y=/(x)在點(diǎn)(x,y)處的曲率\=ly”l/(l+y'A2)A(3/2)

曲率半徑

三.不定積分(見(jiàn)精華區(qū)《常見(jiàn)公式二》)

四.定積分及廣義積分

1.定積分的性質(zhì)與定理

bbb

J"(x)±g(x)]dx=J/(x)tZr±Jg(x)dx

bb

\kf(x)dx=kJ7(xMx(A為常數(shù))

bcb

J/(x)dx=J/(x)dx+J7(x)dx

定積分比較定理/(x)4g(x),xe[a,切，則J/(x)dxWjg(x)</x

加W/(x)WM,xe[a,切其中見(jiàn)例為常數(shù)，則

b

m(h-a)<|于(x)dx4M(b—a)

積分中值定理:

若/(x)在［a,b］上連續(xù)，則在［a,b］上至少三一個(gè)點(diǎn)8使J/(x)dx=/(￡,)(/>-a)

cosAnxdx=(n-1)*(n-3)....l*/n*(n-2)....2*2(當(dāng)〃為偶數(shù))

2.JsinAn{x}dx-J

=(〃一1)*(〃-3)....2*1/〃*(〃-2)*...3*1(當(dāng)〃為奇數(shù))

五.中值定理。

lo洛爾定理

設(shè)函數(shù)/(x)滿足在[。力]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，且/1(a)=/(〃)，則在(a,。)內(nèi)至少存在

一點(diǎn)&使尸(￡)=0

2o拉格浪日定理

/(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)M吏

3.柯西中值定理

/(%)送(%)滿足在3,6]連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，且g(x)#O,則

在(。⑼內(nèi)至少存在一個(gè)&使"⑸-f(.a)]/[g(b)-g(a)]=/'(￡?)/g'(e)

4.臺(tái)勞公式

/(x)=/(0)+/'(0)x+l/2!/"(0)xA2+....+l/n!/A(n)(0)xA/j+R〃(x)

5.五種常見(jiàn)函數(shù)的臺(tái)勞展開(kāi)

(l)eAx=1+x+l/2!xA2+..…+l/n1.xAn+l/(n+l)!xA(n+I)eAs

(2)sinx=x-l/3!xA3+...+l/n!(xAn)sin(n^/2)+o(xA〃)

(3)cosx=1-l/2!xA2+....+l/n!(xAn)cos(n7r/2)+o(xAn)

(4)ln(l+x)=x-l/2*xA2+1/3*/3+....+(-l)A(n-1)1/〃(/〃)+o(xA〃)

(5)(1+x)Am=1+mx+m*(m-l)/2!(xA2)+...+m(m--n+l)/n!(xAn)+o(xAn)

六。無(wú)窮級(jí)數(shù)

1.常用的函數(shù)展開(kāi)式。

(1)1/(1-H)=1+H+MA2+MA3+....+HA7J

(2)1/(1+M)=1-M+MA2-MA3+....+(-1)An(MAn),(-1,1)

2.傅立葉級(jí)數(shù)

函數(shù)展開(kāi)為三角級(jí)數(shù)為

/(x)=l/2*aO+Z[(a")*cos〃x+(b〃)*sin"x]

其中=M7iTf(x)cosnxdx(n-0,1,2...)

J■刀

加=1/乃「/(x)sinzuz/x(〃=0,l,2...)(/(x)是以2萬(wàn)為周期的函數(shù))

J-7T

當(dāng)/Xx）是以2/為周期的函數(shù)時(shí)，則

/(x)=l/2*a0+*COS(〃TZX//)+(加)*sinnm/l]

其中an-MlJJ(x)cos(〃內(nèi)〃)dx(”=0,1,2...)

bn=\/1(x)sin(〃玄=0,1,2...)

九.矢量代數(shù)與空間解析幾何

I單位矢量和=?/1」1={x/+p2+名人2,y/+y>2+z，2,"Jx，2+y>2+z，2}

空間兩點(diǎn)的距離M1(x1,yl,zl),M2(x2,)，2,z2),則而1M2=

yl(x2-xl)A2+(y2-yl)A2+(z2-zl)A2

2.平面Alx+Bly+C\z+Di=0與平面A2x+Bly+C2Z+D2=0夾角

cose=(A1A2+B1B2+C1C2)/辦1人2+81a2+"2*J-2A2+62人2+。2A2

直線Ll(x-xl)〃l=(y-yl)/ml=(z~zl)/“l(fā)與直線L2(x-x2)//2=(y-y2)/m2

3.=Q-z2)/"2,直線L1,L2的夾角/由下式確定：

cose=(/1/2+mlm2+〃b?2)/7/lA2+mlA2+/?lA2*J/2A2+加2A2+〃2人2

點(diǎn)、M(xO,yO,z0倒平面Ax+By+Cz+D=0的距離為

4o--------------------------

d=1AxO+ByO+CzO+D\/V>1A2+/?A2+CA2

作者：佚名發(fā)表時(shí)間：2003-11-2616:21:40文章出處：考研信息港］

2004年數(shù)學(xué)考試大綱（數(shù)學(xué)一）

目

高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

一、斯、瞬、

考試內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、

分段函數(shù)和隱函數(shù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，

初等函數(shù)藺單應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系的建立

數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)函數(shù)的左極限與右極限無(wú)窮小和無(wú)窮大的概念

及其關(guān)系無(wú)窮小的性質(zhì)及無(wú)窮小的比較極限的四則運(yùn)算極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：

單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限：

lim~1nX—l,lim（1+3,=e,

XTOxiox

函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)間斷點(diǎn)的類型初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1、理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用聞?lì)}中的函數(shù)關(guān)系

式.

2、了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.

3、理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.

4、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形.

5、理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、

右極限之間的關(guān)系。

6、掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則.

7、掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求

極限的方法.

8、理解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念，掌握無(wú)窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極

限.

9、理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

10、了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有

界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì).

二、一元球微分學(xué)

考試內(nèi)容

導(dǎo)致和微分的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的

關(guān)系平面曲線切線和法線基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法

高階導(dǎo)數(shù)的概念某些藺單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)一階微分形式的不變性微分中值定理

洛必達(dá)（L/Hospital）法則函數(shù)的極值函數(shù)單調(diào)性函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線函

數(shù)圖形的描繪函數(shù)最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率半徑

考試要求

1、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)致的幾何意義，會(huì)求平面曲

線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)致的物理意義，會(huì)用導(dǎo)致描述一些物理量，理解函

數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系.

2、掌握導(dǎo)致的四則運(yùn)售法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)致公式，了

解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分.

,、J搟后加,守縱加做宓，完,灼印早必縱陽(yáng)燈竹「守縱.

4、會(huì)求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù).

5、會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

6、理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗目中值定理和泰勒定理，了解并會(huì)用柯西中值定理。

7、理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)

最大值和最小值的求法及其藺單應(yīng)用.

8、會(huì)用導(dǎo)致判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，

會(huì)描繪函數(shù)的圖形.

9、掌握用洛必、達(dá)法則求未定式極限的方法.

10、了解曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑.

三、一元藤的積分學(xué)

考試內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念不定積分的基本性質(zhì)基本積分公式定積分的概念和基本性

質(zhì)定積分中值定理變上限定積分定義的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)牛頓一萊布尼茨(Newton-

Leibniz)公式不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函數(shù)、三角函數(shù)的有

理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分廣義積分定積分的應(yīng)用

考試要求

1、理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念.

2、掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換

元積分法與分部積分法.

3、會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分.

4、理解變上限定積分定義的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓―萊布尼茨公式.

5、了解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分.

6、掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、

旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力)及函數(shù)

的平均值.

四、向量代數(shù)和空間解析幾何

考試內(nèi)容

向量的概念向量的線性運(yùn)售向量的數(shù)量積和向量積向量的混合積兩向量垂直、

平行的條件兩向壁的夾角向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算單位向量方向數(shù)與方向余

弦曲面方程和空間曲線方程的概念平面方程、直線方程平面與平面、平面與直線、

直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離球面母線平行于

坐標(biāo)軸的柱面旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程常用的二次曲面方程及其圖形空間

曲線的參數(shù)方程和一般方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程

考試要求

1、理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示.

2、掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個(gè)向量垂直、平行的

條件.

3、理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量

運(yùn)算的方法.

4、掌握平面方程和直線方程及其求法.

5、會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互

關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題.

6、會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離.

7、了解曲面方程和空間曲線方程的概念

8、了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于

坐標(biāo)軸的柱面方程.

9、了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其

方程.

五、多元球微分學(xué)

芍成固谷

多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上多

元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分全微分存在的必要條件和充分條件多元

復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法二階偏導(dǎo)數(shù)方向?qū)?shù)和梯度空間曲線的切線和法平面曲

面的切平面和法線二元函數(shù)的二階泰勒公式多元函敷極值和條件極值拉格朗目乘數(shù)

法多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用

考試要求

1、理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義.

2、了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

3、理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充

分條件，了解全微分形式的不變性.

4、理解方向?qū)е屡c梯度的概念并掌握其計(jì)算方法.

5、掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法.

6、會(huì)用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則.

7、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程.

8、了解二元函數(shù)的二階泰勒公式

9、理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元

函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗目乘數(shù)法求條件極值，

會(huì)求藺單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用題.

六、多元球積分學(xué)

考試內(nèi)容

二重積分、三重積分的概念及性質(zhì)二重積分與三重積分的計(jì)算和應(yīng)用兩類曲線積分的

概念、性質(zhì)及計(jì)算兩類曲線積分的關(guān)系格林（Green）公式平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的

條件已知全微分求原函數(shù)兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算兩類曲面積分的關(guān)系

高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stok3）公式散度、旋度的概念及計(jì)算曲線積分和曲面

積分的應(yīng)用

考試要求

1、理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理.

2、掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐

七二玷本人I人七二X

忖、力uu工'14、/o

3、理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系.

4、掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法.

5、掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù).

6、了解兩類曲積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，

會(huì)用高斯公式、斯托克斯公式計(jì)輯曲面、曲線積分.

7、了解散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)售.

8、會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理型（平面圖形的面積、體積、

曲面面積、取長(zhǎng)、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、弓I力、功及流量等）.

七、無(wú)笳曝

考試內(nèi)容

常效項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念收斂級(jí)數(shù)的概念和的概念級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必

要條件幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)及其收斂性正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨

定理任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念函數(shù)及

其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開(kāi)區(qū)間）和收斂域察級(jí)數(shù)的和函數(shù)寨級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)

的基本性質(zhì)藺單黑級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法初等函數(shù)的嘉級(jí)數(shù)展開(kāi)式函數(shù)的博里葉

（Fourier）系數(shù)與博里葉級(jí)數(shù)狄利克雷（Dinchlet）定理函數(shù)在［-1,1］上的博里葉級(jí)致函

數(shù)在［0,1］上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).

考試要求

1、理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必

要條件.

2、掌握幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件.

3、掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法.

4、掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法.

5、了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系.

6、了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念.

7、理解察級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握幕級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法.

8、了解嘉級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)積分）,

會(huì)小一也貓吸荻仕杈狼區(qū)Iaji々削和幽奴，開(kāi)會(huì)田此小出呆也被取救奴削和.

9、了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件.

10^掌握exsinx、cosx、In(l+r)和(1+x)”的麥克勞林展開(kāi)式.會(huì)用它們

將一些著單函數(shù)間接展開(kāi)成幕級(jí)數(shù).

11、了解博里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會(huì)將定義在口，1］上的函數(shù)展開(kāi)為

傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在［0,1］上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出博里葉級(jí)

數(shù)的和的表達(dá)式.

八、常微分方程

考試內(nèi)容

常微分方程的基本概念變量可分離的微分方程齊次微分方程一階線性微分方程伯努

利(Bernoulli)方程全微分方程可用簡(jiǎn)單的變量代換求解的某些微分方程可降價(jià)的高

價(jià)微分方程線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理二階常系數(shù)齊次線性微分方程高

于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程藺單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程歐拉

(Euler)方程微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

考試要求

1、了解微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念.

2、掌握變更可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法.

3、會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程.

4、會(huì)用降階法解下列微分方程：y(x)=J(x),y"=f(x.y)和y=J&y)

5、理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

6、掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微

分方程。

7、會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、以及它們的和與積的二階常

系數(shù)非齊次線性微分方程.

8、會(huì)解歐拉方程.

9、會(huì)用微分方程解決一些藺單的應(yīng)用問(wèn)題.

線性代數(shù)

一、行列式

考試內(nèi)容

行列式的概念和基本性質(zhì)行列式按行（列）展開(kāi)定理

考試要求

1、了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì).

2、會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開(kāi)定理計(jì)算行列式.

二、螭

考試內(nèi)容

矩陣的概念矩陣的線性運(yùn)算矩陣的乘法方陣的累方陣乘積的行列式矩陣的

轉(zhuǎn)置逆矩陣的概念和性質(zhì)矩陣可逆的充分必要條件伴隨矩陣矩陣的初等變換

初等矩陣矩陣的秩矩陣的等價(jià)分塊矩陣及其運(yùn)算

考試要求

1、理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱矩陣和

反對(duì)稱矩陣，以及它們的性質(zhì).

2、掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置，以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的幕與方陣

乘積的行列式.

3、理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴

隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣.

4、掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的概念，理解矩陣的秩的

概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法.

5、了解分塊矩陣及其運(yùn)算.

三、向堂

考試內(nèi)容

向量的概念向量的線性組合和線性表示向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)向量組的

極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)向量組向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系向量

空間以及相關(guān)概念n維向量空間的基變換和坐標(biāo)變換過(guò)渡矩陣向量的內(nèi)積線

性子?向量幺日的壬本領(lǐng)劉仆行注領(lǐng)茄壬本其壬專步勝玄苴性帝一

考試要求

1、了解n維向量、向量的線性組合與線性表示的概念.

2、了解向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義，了解并會(huì)用向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)

的有關(guān)性質(zhì)及判別法.

3、了解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大線性無(wú)關(guān)

組及秩.

4、了解向量組等價(jià)的概念，以及向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系.

5、了解n維向量空間、子空間、基底、維數(shù)、坐標(biāo)等概念.

6、了解基變換和坐標(biāo)變換公式，會(huì)求過(guò)渡矩陣.

7、了解內(nèi)積的概念，掌握線性無(wú)關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法.

8、了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念，以及它們的性質(zhì).

四、線性方磔

考試內(nèi)容

線性方程組的克萊母（又譯：克拉默）（Cramer）法則齊次線性方程組有非零解的

充分必要條件非齊次線性方程組有解的充分必要條件線性方程組解的性質(zhì)和解的

結(jié)構(gòu)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解解空間非齊次線性方程組的通解。

考試要求

1、會(huì)用克萊母法則.

2、理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必

要條件.

3、理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的

基礎(chǔ)解系和通解的求法.

4、理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念.

5、掌握用初等行變換求解線性方程組的方法.

五、矩陣的特征新特征向量

考試內(nèi)容

矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì)矩陣可

相似對(duì)角化的充分必要條件及相似對(duì)角矩陣實(shí)時(shí)稱矩陣的特征值、特征向量及相似

對(duì)角矩陣.

考試要求

1、理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量。

2、理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件，掌握將矩陣化

為相似對(duì)象矩陣的方法.

3、了解實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì).

六、二次型

考試內(nèi)容

二次型及其矩陣表示合同變換與合同矩陣二次型的秩慣性定理二次型的標(biāo)準(zhǔn)

形和規(guī)范形用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二次型及其矩陣的正定性.

考試要求

1、掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型秩的概念，了解合同變換和合同矩陣的概

念，了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念以及憒性定理.

2、掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.

3、了解二次型和對(duì)應(yīng)矩陣的正定性及其判別法.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

一、隨即事件和概率

考試內(nèi)容

隨機(jī)事件與樣本空間事件的關(guān)系與運(yùn)算完全事件組概率的概念概率的基本性

質(zhì)古典型概率幾何型概率條件概率概率的基本公式條件的獨(dú)立性獨(dú)立重復(fù)

試驗(yàn)

考試要求

1.了解樣本空間(基本事件空間)的概念，理解隨機(jī)事件的概念，掌握事件的關(guān)系

與運(yùn)算.

2、理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，會(huì)計(jì)算古典型概率和幾何型概

率，掌握概率的加法公式、乘法公式、誠(chéng)法公式、全概率公式，以及貝葉斯公式.

3、理解事件的獨(dú)立性的概念，掌握用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算；理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

的概念，掌握計(jì)算有關(guān)事件概率的方法.

二、隨機(jī)變量及其概率分布

考試內(nèi)容

隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的概

率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度常見(jiàn)隨機(jī)變量的概率分布隨機(jī)變量函數(shù)的概

率分布

考試要求

1.理解隨機(jī)變量及其概率分布的概念；理解分布函數(shù)

F(x)=P{X^}(-°°<x<+8)

的概念及性質(zhì)；會(huì)計(jì)售與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率.

2^理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、

泊松(Poisson)分布及其應(yīng)用。

3、了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會(huì)用泊松分布近似表示二項(xiàng)分布.

4、理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態(tài)分布M”，。今、

指數(shù)分布及其應(yīng)用，其中參數(shù)為的指數(shù)分布的密度函數(shù)為

0,x<0

放=,

初一“，x>0

5.會(huì)根據(jù)目殳堂的欷率分布豕具詢里兇蜒的概率分布.

三、二維隨機(jī)變量及其概率分布

考試內(nèi)容

二維隨機(jī)變量及其概率分布二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布

二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣密度和條件密度隨機(jī)變量的獨(dú)立性和相關(guān)性

常用二維隨機(jī)變量的概率分布兩個(gè)隨機(jī)變量筒單函數(shù)的概率分布

考試要求

1、理解二維隨機(jī)變量的概念，理解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的概念、性質(zhì)及兩種基

本形式；離散型聯(lián)合概率分布，邊緣分布和條件分布；連續(xù)型聯(lián)合概率密度、邊緣密

度和條件密度，會(huì)利用二維概率分布求有關(guān)事件的概率.

2、理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)概念，掌握離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的條件.

3、掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義.

4、會(huì)求兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的簡(jiǎn)單函數(shù)的分布.

四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征

考試內(nèi)容

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望矩、

協(xié)方差相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì).

考試要求

1、理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的

概念，并會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)特征的基本性質(zhì)計(jì)算具體分布的數(shù)字特征，掌握常用分布的數(shù)字

特征.

2、會(huì)根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；會(huì)根據(jù)二維隨機(jī)變壁的概率分

布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

五、大數(shù)定律和中心極限定理

考試內(nèi)容

切比雪去（ChehvshEr）不等式切比雪去大教宗律伯舜利大額審律辛被

(Khinchine)大數(shù)定律隸莫弗一拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)

定理列維―林德伯格(Levy-Lindberg)定理.

考試要求

1、了解切比雪夫不等式

2、了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律(獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的

大數(shù)定律)

3、了解隸莫弗一拉普拉斯定理(二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布)和列維―林德伯格

定理(獨(dú)立同分布的中心極限定理)

六、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

考試內(nèi)容

總體個(gè)體簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本方差和樣本矩X2分布

t分布F分布分位數(shù)正態(tài)總體的常用抽樣分布

考試要求

1、理解總體、藺單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念，

其中樣本方差定義為：

i-1

2、了解”分布、t分布和9分布的概念和性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念并會(huì)查表計(jì)算.

3、了解正態(tài)總體的某些常用抽樣分布.

七、費(fèi)估計(jì)

考試內(nèi)容

點(diǎn)估計(jì)的概念估計(jì)量與估計(jì)值矩估計(jì)法最大似然估計(jì)法估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)

區(qū)間估計(jì)的概念單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和

方差比的區(qū)間估計(jì).

考試要求

1、理解參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、估計(jì)量與估計(jì)值的概念.

2、掌握矩估計(jì)法（一階、二階矩）和最大似然估計(jì)法

3、了解估計(jì)量的無(wú)偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會(huì)

峻證估計(jì)量的無(wú)偏性.

4、了解區(qū)間估計(jì)的概念，會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間，會(huì)求兩個(gè)正

態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間.

八假設(shè)檢驗(yàn)

考試內(nèi)容

顯著性檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤單個(gè)及兩個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)

考試要求

1、理解顯著性檢嗑的基本思想，掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟，了解假設(shè)檢嗡可能產(chǎn)生

的兩類錯(cuò)誤。

2、了解單個(gè)及兩個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn).

試槌構(gòu)

（-）題分及考試時(shí)間

試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘.

內(nèi)容比例

高等數(shù)學(xué)約60%

線性代數(shù)約20%

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)約20%

（三）題型比例

填空題與選擇題約40%

解答題（包括證明）約60%

2005年考研數(shù)學(xué)一考試大綱（一）

考試科目：

高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

高等數(shù)學(xué)

一、函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函

數(shù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形初等函數(shù)簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系的建立

數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)函數(shù)的左極限與右極限無(wú)窮小和無(wú)窮大的概念及其關(guān)系無(wú)

窮小的性質(zhì)及無(wú)窮小的比較極限的四則運(yùn)算極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則兩個(gè)重要極

限：

函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)間斷點(diǎn)的類型初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

考試要求

1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式。

2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.

3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.

4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.

5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則

7.掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法.

8.理解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念，掌握無(wú)窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限.

9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.

10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定

理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì).

二、一元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)和微分的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系平面曲線的切

線和法線基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的

函數(shù)的微分法高階導(dǎo)數(shù)?階微分形式的不變性微分中值定理洛必達(dá)（LHospital）法則函數(shù)單調(diào)性的

判別函數(shù)的極值函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線函數(shù)圖形的描繪函數(shù)最大值和最小值弧微分曲率

的概念曲率半徑

考試要求

1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法

線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系.

2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.了解微分的四則運(yùn)算

法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分.

3.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).

4.會(huì)求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù).

5.會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

6.理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并會(huì)用柯西中值定理.

7.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值

的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.

8.會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形.

9.掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法.

10.了解曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑.

三、一元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念不定積分的基本性質(zhì)基本積分公式定積分的概念和基本性質(zhì)定積分

中值定理積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)牛頓一萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定積分和定積分的換元積

分法與分部積分法有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分廣義積分概定積分的應(yīng)用

考試要求

1.理解原函數(shù)概念，理解不定積分和定積分的概念.

2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積

分法.

3.會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分.

4.理解積分上限的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓萊布尼茨公式.

5.了解廣義積分的概念，會(huì)計(jì)算廣義積分.

6.掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)

面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、弓I力、壓力)及函數(shù)的平均值等.

四、向量代數(shù)和空間解析幾何

考試內(nèi)容

向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的數(shù)量積和向量積向量的混合積兩向量垂直、平行的條件

兩向量的夾角向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算單位向量方向數(shù)與方向余弦曲面方程和空間曲線方程的概念

平面方程、直線方程平面與平面、平面與直線、直線與直線的以及平行、垂直的條件點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線

的距離球面母線平行于坐標(biāo)軸的柱面旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程常用的二次曲面方程及其圖形

空間曲線的參數(shù)方程和一般方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程

考試要求

1.理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。

2.掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件。

3.理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。

4.掌握平面方程和直線方程及其求法。

5.會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互豢（平行、垂直、

相交等）解決有關(guān)問(wèn)題。

6.會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。

7.了解曲面方程和空間曲線方程的概念。

8.了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。

9.了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程.了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。

五、多元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容

多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的

性質(zhì)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分全微分存在的必要條件和充分條件多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法二階偏

導(dǎo)數(shù)方向?qū)?shù)和梯度空間曲線的切線和法平面曲面的切平面和法線二元函數(shù)的二階泰勒公式多元函

數(shù)的極值和條件極值多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用

考試要求

1.理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。

2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3.理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微

分形式的不變性。

4.理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。

5.掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。

6.了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

7.了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程。

8.了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。

9.理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充

分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)

解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

六、多元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容

二重積分、三重積分的概念及性質(zhì)二重積分與三重積分的計(jì)算和應(yīng)用兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及

計(jì)算兩類曲線積分的關(guān)系格林（Green）公式平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件已知全微分求原函數(shù)兩

類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算兩類曲面積分的關(guān)系高斯（Gauss）公式斯托克斯（STOKES）公式散度、

旋度的概念及計(jì)算曲線積分和曲面積分的應(yīng)用

考試要求

1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。

2.掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。

3.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。

4.掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法。

5.掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑元關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)。

6.了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，會(huì)用高斯公式、

斯托克斯公式計(jì)算曲面、曲線積分。

7.了解散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算。

8.會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長(zhǎng)、

質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）。

七、無(wú)窮級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念收斂級(jí)數(shù)的和的概念級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件幾何級(jí)

數(shù)與p級(jí)數(shù)以及它們的收斂性正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收

斂與條件收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念幕級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開(kāi)區(qū)間）和收斂域

幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)簡(jiǎn)單塞級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法初等基級(jí)數(shù)展開(kāi)式函函

數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)狄利克雷（Dlrichlei）定理函數(shù)在［-1,1］上的傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)

在［0,1］上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)

考試要求

1.理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

2.掌握幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。

3.掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法。

4.掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。

5.了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。

6.了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

7.理解幕級(jí)數(shù)的收斂半徑的概念、并掌握幕級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。

8.了解塞級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些事級(jí)數(shù)

在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。

9.了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。

10.掌握

的麥克勞林展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)成事級(jí)數(shù)。

11,了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會(huì)將定義在［-L,L］上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)

將定義在［0,L］上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出傅里葉級(jí)數(shù)的和的表達(dá)式。

八、常微分方程

考試內(nèi)容

常微分方程的基本概念變量可分離的方程齊次微分方程一階線性微分方程伯努利

（Bernoulli）方程全微分方程可用簡(jiǎn)單的變量代換求解的某些微分方程可降階的高階微分方程線性微分

方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理二階常系數(shù)齊次線性微分方程高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程簡(jiǎn)

單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程歐拉（Euler）方程微分方程簡(jiǎn)單應(yīng)用

考試要求

1,了解微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念.

2.掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法.

3.會(huì)解齊次方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程

4.會(huì)用降階法解下列方程：

5.理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理.

6.掌握二隊(duì)常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

7.會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微

分方程.

8.會(huì)解歐拉方程.

9.會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.

2005年考研數(shù)學(xué)一考試大綱（二）

線性代數(shù)

一、行列式

考試內(nèi)容

行列式的概念和基本性質(zhì)行列式按行（列）展開(kāi)定理

考試要求

1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì).

2.會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開(kāi)定理計(jì)算行列式.

二、矩陣

考試內(nèi)容

矩陣的概念矩陣的線性運(yùn)算矩陣的乘法方陣的鼎方陣乘積的行列式矩陣的轉(zhuǎn)置逆矩陣的

概念和性質(zhì)矩陣可逆的充分必要條件伴隨矩陣矩陣的初等變換初等矩陣矩陣的秩矩陣等價(jià)分

塊矩陣及其運(yùn)算

考試要求

1.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣，以及它

們的性質(zhì).

2.掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置，以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的事與方陣乘積的行列式的性質(zhì)

3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴

隨矩陣求逆矩陣.

4.掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換

求矩陣的秩和逆矩陣的方法.

5.了解分塊矩陣及其運(yùn)算.

三、向量

考試內(nèi)容

向量的概念向量的線性組合和線性表示向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組等

價(jià)向量組向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系向量空間以及相關(guān)概念n維向量空間的基變換和坐

標(biāo)變換過(guò)渡矩陣向量的內(nèi)積線性無(wú)關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法規(guī)范正交基正交矩陣及其性質(zhì)

考試要求

1.理解n維向量的概念、向量的線性組合與線性表示的概念.

2.理解向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法.

3.了解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及秩.

4.了解向量組等價(jià)的概念，了解向量組的秩與與其行（列）向量組的關(guān)系.

5.了解n維向星空間、子空間、基底、維數(shù)、坐標(biāo)等概念.

6.了解基變換和坐標(biāo)變換公式，會(huì)求過(guò)渡矩陣.

7.了解內(nèi)積的概念，掌握線性無(wú)關(guān)向量組標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范化的施密特（SChnddt）方法.

8.了解標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交矩陣的概念，以及它們的性質(zhì).

四、線性方程組

考試內(nèi)容

線性方程組的克萊姆（又譯：克拉默）（Cramer）法則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件非齊

次線性方程組有解的充分必要條件線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解解空

間非齊次線性方程組的通解

考試要求

1.會(huì)用克萊姆法則.

2.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件.

3.理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系利通解的求法。

4.理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念.

5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法.

五、矩陣的特征值和特征向量

考試內(nèi)容

矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì)矩陣可相似對(duì)角化的充分必

要條件及相似對(duì)角矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量及相似對(duì)角矩陣

考試要求

1.理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量

2.了解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方

法。

3.掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì).

六、二次型考試內(nèi)容

二次型及其矩陣表示合同變換與合同矩陣二次型的秩慣性定理二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形用正交變

換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二次型及其矩陣的正定性

考試要求

1.掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型秩的概念，了解合同變化和合同矩陣的概念了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)

形、規(guī)范形的概念以及慣性定理.

2.掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.

3.了解二次型和對(duì)應(yīng)矩陣的正定性及其判別法.

2005年考研數(shù)學(xué)一考試大綱（三）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步

一、隨機(jī)事件和概率

考試內(nèi)容

隨機(jī)事件與樣本空間事件的關(guān)系與運(yùn)算完全事件組概率的概念概率的基本性質(zhì)古典型概率幾何

型概率條件概率概率的基本公式事件的獨(dú)立性獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

考試要求

1.了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機(jī)事件的概念，掌握事件的關(guān)系與運(yùn)算.