高中數(shù)學(xué)柯西不等式

關(guān)于高中數(shù)學(xué)柯西不等式第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日說教材說學(xué)情

說目標(biāo)說教法說學(xué)法

說教學(xué)過程柯西不等式（一）第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日

柯西不等式是人教A版選修4－5不等式選講中第三講的內(nèi)容，是學(xué)生繼平均值不等式后學(xué)習(xí)的又一個(gè)經(jīng)典不等式，它在教材中起著承前啟后的作用：一方面可以鞏固學(xué)生對不等式的基本證明方法的掌握，另一方面又為后面學(xué)習(xí)三角不等式、排序不等式打下了基礎(chǔ)。運(yùn)用柯西不等式可以解決中學(xué)數(shù)學(xué)中一些比較典型的數(shù)學(xué)問題，例如：證明不等式、求最值等。本節(jié)課是柯西不等式的第一課時(shí)，主要內(nèi)容是柯西不等式的二維形式的推導(dǎo)和應(yīng)用。（一）、教材的地位和作用：一、說教材第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：1、柯西不等式的二維形式的推導(dǎo)和應(yīng)用；2、通過運(yùn)用柯西不等式的二維形式來解決一些簡單問題，體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般方法——發(fā)現(xiàn)具體問題與經(jīng)典不等式之間的聯(lián)系，經(jīng)過適當(dāng)變形，以經(jīng)典不等式為依據(jù)得出具體問題的不等關(guān)系?？挛鞑坏仁降亩S形式的應(yīng)用關(guān)鍵點(diǎn)：理解柯西不等式的二維形式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)一、說教材

（二）、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（三）、教材處理

一、說教材

向量的數(shù)量積的性質(zhì)正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識(shí)生長點(diǎn)”。根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”的教學(xué)理論，我將課本中通過讓學(xué)生類比不等式猜想關(guān)于的不等關(guān)系得出柯西不等式的二維形式的處理方法改為先讓學(xué)生證明不等式，通過對該不等式作進(jìn)一步探究,發(fā)現(xiàn)了柯西不等式的二維形式，并由此順著學(xué)生思路層層深入地設(shè)計(jì)問題來展開教學(xué)，使學(xué)生在探究活動(dòng)中掌握了柯西不等式二維形式的推導(dǎo)和應(yīng)用。第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日二、說學(xué)情

該班學(xué)生基礎(chǔ)比較扎實(shí)，求知欲較強(qiáng)，具備一定的觀察、分析、邏輯推理能力。在學(xué)習(xí)本課前已掌握證明不等式的基本方法，以及向量的數(shù)量積的性質(zhì)。這個(gè)性質(zhì)正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識(shí)生長點(diǎn)”。第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日三、說目標(biāo)通過創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，然后探索解決問題的辦法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣和邏輯推理能力。

1、知識(shí)目標(biāo)：（1）理解柯西不等式的二維形式和向量形式；（2）能運(yùn)用柯西不等式的二維形式解決一些簡單問題；（3）讓學(xué)生了解柯西的主要貢獻(xiàn)，貫穿數(shù)學(xué)史教育。2、能力目標(biāo)：第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日四、說教法

因?yàn)閷W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程實(shí)際上是學(xué)生完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，教師的職責(zé)就是引導(dǎo)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，“教是為了不教”就是這一思想的反映，而探究式學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是學(xué)生的自主建構(gòu)，所以我在柯西不等式的發(fā)現(xiàn)、證明以及例題的講解中均采用問題探究式教學(xué)法：通過精心設(shè)置問題鏈，使教學(xué)過程活動(dòng)化，促使學(xué)生積極主動(dòng)地參與教學(xué)活動(dòng)。在整個(gè)教學(xué)過程中我鼓勵(lì)學(xué)生互相討論，合作交流。另外我采用了多媒體進(jìn)行教學(xué)，既提高了教學(xué)效率，使得課堂各個(gè)環(huán)節(jié)緊湊，學(xué)生思維連貫順暢；又為師生、生生之間的交流提供了廣闊的平臺(tái)。第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日五、說學(xué)法

教是為了不教。在教學(xué)過程中我注意指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，通過啟發(fā)教給學(xué)生獲取知識(shí)的途徑，思考問題的方法。在教學(xué)活動(dòng)中，我通過肯定學(xué)生的正確，指出學(xué)生的錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生揭示知識(shí)內(nèi)涵，幫助學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考，積極探索的習(xí)慣。培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)方式。第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日六、說教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境初步運(yùn)用實(shí)施探究設(shè)置懸念歸納小結(jié)理解深化第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（一）、創(chuàng)設(shè)情境設(shè)計(jì)意圖1、有效的問題能創(chuàng)設(shè)出一個(gè)充滿張力的情境，能激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

2、向量的數(shù)量積的這個(gè)性質(zhì)正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識(shí)生長點(diǎn)”，是學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”。

師：前面我們學(xué)習(xí)了哪幾種證明不等式的方法？師：在運(yùn)用這些方法解題時(shí)需要注意哪些方面？（要注意每種方法的特點(diǎn)、適用范圍、及解題格式）(比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法)第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（一）、創(chuàng)設(shè)情境設(shè)計(jì)意圖1、有效的問題能創(chuàng)設(shè)出一個(gè)充滿張力的情境，能激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

2、向量的數(shù)量積的這個(gè)性質(zhì)正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識(shí)生長點(diǎn)”，是學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”。

師：前面我們學(xué)習(xí)了哪幾種證明不等式的方法？師：在運(yùn)用這些方法解題時(shí)需要注意哪些方面？（要注意每種方法的特點(diǎn)、適用范圍、及解題格式）(比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法)問題1：當(dāng)滿足什么條件時(shí)，不等式取等號？問題2：取消已知中的“非零”，不等式還成立嗎？問題3：第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（二）、實(shí)施探究設(shè)計(jì)意圖

用數(shù)學(xué)家成才的故事，鼓勵(lì)學(xué)生要有敢于克服困難的決心和勇氣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能動(dòng)性。

柯西（Cauchy,Augustin-Louis,1789-1857）是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。1811及1812年向法國科學(xué)院提交了兩篇關(guān)于多面體的論文，在數(shù)學(xué)界造成了極大的影響。1816年（27歲）成為巴黎綜合工科學(xué)校教授，并當(dāng)選為法國科學(xué)院院士.柯西對高等數(shù)學(xué)的大量貢獻(xiàn)包括：無窮級數(shù)的斂散性，實(shí)變和復(fù)變函數(shù)論,微分方程，行列式，概率和數(shù)理方程等方面的研究．目前我們所學(xué)的極限和連續(xù)性的定義，導(dǎo)數(shù)的定義，以及微分、定積分用無窮多個(gè)無窮小的和的極限定義，實(shí)質(zhì)上都是柯西給出的。他的臨終名言是“人總是要死的，但是，他們的業(yè)績永存．”第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（二）、實(shí)施探究設(shè)計(jì)意圖

因?yàn)椴煌膶W(xué)生在認(rèn)知方式和思維策略上存在著差異。學(xué)生間的交流是學(xué)生完善認(rèn)知建構(gòu)的催化劑。所以我這樣設(shè)計(jì)來激發(fā)學(xué)生參與數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。問題4：能否用不同的方法證明柯西不等式的二維形式？

(要求學(xué)生寫出完整的證明過程，巡堂，將學(xué)生中出現(xiàn)的各種典型證法用投影儀投影出來，讓學(xué)生比較、分析、評價(jià))第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（二）、實(shí)施探究設(shè)計(jì)意圖1、掌握柯西不等式的二維形式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是突破本節(jié)難點(diǎn)的關(guān)鍵。2、可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析，歸納能力，同時(shí)，讓學(xué)生成為發(fā)現(xiàn)者，可以增加學(xué)生的成就感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。有助于學(xué)生學(xué)習(xí)情緒的進(jìn)一步高漲。問題5：請仔細(xì)觀察柯西不等式的二維形式，想一想，它的結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)？（引導(dǎo)學(xué)生通過類比基本不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，觀察、分析，相互探討，歸納出：“平方的和的乘積不小于乘積的和的平方”的特點(diǎn)）第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（三）、初步運(yùn)用設(shè)計(jì)意圖1、通過比較各種證明方法，凸顯柯西不等式在解題中的優(yōu)越性。(要求學(xué)生寫出完整的證明過程，巡堂，將學(xué)生中出現(xiàn)的各種典型證法用投影儀投影出來，讓學(xué)生比較、分析、評價(jià))第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（三）、初步運(yùn)用設(shè)計(jì)意圖1、讓學(xué)生在解決問題的過程中體會(huì)用柯西不等式的二維形式解決問題的方法。2、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本點(diǎn)，也是形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的核心成分這樣設(shè)計(jì)既突出了教學(xué)重點(diǎn)又化解了教學(xué)難點(diǎn)，還使學(xué)生的思維得到了鍛煉

(留給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流。一段時(shí)間后，請做出來的同學(xué)談?wù)勈窃鯓诱业浇忸}思路的，再讓未做出來的學(xué)生談?wù)勊悸氛系K之處，其他同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)充，教師適時(shí)點(diǎn)撥，最終體會(huì)到解題的方法。)第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（四）、理解深化設(shè)計(jì)意圖1、讓學(xué)生在反思中加深了對用柯西不等式的二維形式解題的方法的理解。2、讓學(xué)生在歷練中暴露了思維障礙之處，教師在此適當(dāng)加予點(diǎn)撥，就能取得很好的教學(xué)效果。這是本節(jié)課的升華之處。

問題6：例1和例2都可以用柯西不等式進(jìn)行證明，但證明過程有何區(qū)別？（引導(dǎo)學(xué)生思考、交流，然后個(gè)別提問，再和其他學(xué)生分析、評價(jià)）

（引導(dǎo)學(xué)生思考、交流，然后個(gè)別提問，再和其他學(xué)生分析、評價(jià)）不等式①：不等式②：問題7：第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（四）、理解深化設(shè)計(jì)意圖及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)和方法體會(huì)第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（五）、歸納小結(jié)設(shè)計(jì)意圖

讓學(xué)生在歸納小結(jié)的過程中將所學(xué)的知識(shí)條理化、系統(tǒng)化。而注重?cái)?shù)學(xué)方法的提煉，可幫助學(xué)生逐漸把經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化成能力。問題8：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？體驗(yàn)到什么？1、知識(shí)總結(jié)：2、思想方法總結(jié)：

認(rèn)識(shí)事物的過程實(shí)質(zhì)就是“觀察－發(fā)現(xiàn)、猜想－論證－應(yīng)用－再發(fā)現(xiàn)－再論證－再應(yīng)用…”的過程第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（六）、設(shè)置懸念設(shè)計(jì)意圖這是本節(jié)課的一個(gè)升華之處。以問題的形式引出柯西不等式的三維、n維形式的推導(dǎo)，為下節(jié)課作好了鋪墊。既使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，又使學(xué)有余力的學(xué)生有所提高。問題9：柯西不等式的三維、四維、n維的形式是怎樣的？如何推導(dǎo)？問題10：還有沒有其他方法來證明柯西不等式的二維形式？第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日七、評價(jià)分析

在教學(xué)過程中我始終面對全體學(xué)生，尊重學(xué)生的個(gè)體差異。在教學(xué)中我選擇了問題探究的教學(xué)方法，，鼓勵(lì)與提倡學(xué)生用多樣化的策略解決問題。對于問題的設(shè)計(jì)、教學(xué)過程的展開、練習(xí)的安排等都盡可能地讓所有學(xué)生主動(dòng)參與，提出各自解決問題的方法，并引導(dǎo)學(xué)生合作交流，吸取他人的經(jīng)驗(yàn)，從而豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，提高他們的思維水平。同時(shí)這節(jié)課也是我對個(gè)性化教育的初步嘗試。第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日1、附板書設(shè)計(jì)不等式①：不等式②：第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日Bye!第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（一）、創(chuàng)設(shè)情境設(shè)計(jì)意圖探究的第一步是有效的問題。有效的問題能創(chuàng)設(shè)出一個(gè)充滿張力的情境，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的極大興趣。向量的數(shù)量積的這個(gè)性質(zhì)正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識(shí)生長點(diǎn)”。根據(jù)知識(shí)建構(gòu)理論和“最近發(fā)展區(qū)”的教學(xué)理論我設(shè)計(jì)了這樣的引入。先讓學(xué)生證明不等式，然后通過引導(dǎo)學(xué)生對該不等式進(jìn)行探究,發(fā)現(xiàn)了柯西不等式的二維形式，問題1：當(dāng)滿足什么條件時(shí)，不等式取等號？問題2：取消已知中的“非零”，不