高數(shù)例題課件第八章空間解析幾何與向量代數(shù)

高數(shù)例題課件第八章空間解析幾何與向量代數(shù)第一頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（二）自由向量：與起點無關的向量。

對于自由向量，如果兩個向量的大小相等，且方向相同，我們就說向量是相等的，記做經(jīng)過平行移動后能完全重合的向量是相等的。第二頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（三）向量的模：向量的大小叫做向量的模。向量的模依次記作

模等于1的向量叫做單位向量，模等于0的向量叫做零向量，記作，零向量的起點和終點重合，它的方向可以看做是任意的。第三頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（四）兩相量的夾角、向量與一軸的夾角，空間兩軸的夾角。①兩向量的夾角設有兩個非零向量，任取空間一點O，作，規(guī)定不超過稱為向量的夾角，記作即。若向量中有一個是零向量，規(guī)定它們的夾角可在之間任意取值，包括第四頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日②向量與一軸、空間兩軸的夾角

過空間一點O，作向量,作軸的平行線，則與軸的正向所夾的不超過的角叫做向量與一軸的夾角。第五頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（五）向量平行兩個非零向量如果它們的方向相同或者相反，就稱這兩個向量平行，記做

，由于零向量的方向可以看作是任意的，因此可以認為零向量與任何向量都平行。第六頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（六）兩向量共線：當兩個平行向量的起點放在同一點時，它們的終點和公共起點應在一條直線上，因此，兩向量平行又稱兩向量共線。第七頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（七）向量共面：設有個向量，當把它們的起點放在同一點時，如果個終點和公共起點在一個平面上，就稱這個向量共面。（八）負向量：設為一個向量，與的模相同而方向相反的向量叫做的負向量，記做第八頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日二、向量的線性運算（一）向量的加法1、向量加法的規(guī)定（1）三角形法則：設有兩個向量，任取一點A,作

,再以B為起點，作，連接AC，那么向量稱為向量的和，記做，即。第九頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（2）平行四邊形法則

當向量不平行時，作，以AB、AD為邊作一平行四邊形ABCD，連接對角線AC，則即為的和。第十頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例1．已知的夾角為，求第十一頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日2.加法的運算律(1).交換律：(2).結合律：第十二頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日3.n個向量相加

使前一向量的終點作為次一向量的起點，相繼做向量，再以第一向量的起點為起點，最后一向量的終點為終點做一向量，即為這n個向量的和第十三頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日(二)向量的減法規(guī)定：第十四頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（三）向量與數(shù)的乘法1、向量與數(shù)的乘法的規(guī)定向量與實數(shù)的乘積記做，規(guī)定向量是一個向量，它的模它的方向，當?shù)姆较蛳嗤?，當?shù)姆较蛳喾础?/p>

第十五頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日

特別地，當，即是零向量，這時它的方向可以是任意的；第十六頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日2、運算律（1）結合律（2）分配律第十七頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例2．在平行四邊形中，設，試用表示向量

。第十八頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（四）兩向量平行定理定理1：設向量，那么，向量的充分必要條件是：存在唯一的實數(shù)，使。第十九頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日三、空間直角坐標系（一）空間點的直角坐標1、在空間取定一點和三個兩兩互相垂直的單位向量就確定了三條都以為原點的兩兩垂直的數(shù)軸，依次記為統(tǒng)稱為坐標軸。它們構成一個空間直角坐標系，稱為坐標系或坐標系，

第二十頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日2、坐標面三條坐標軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面稱為坐標面，分別叫做xoy面、yoz面、zox面。3、卦限三個坐標面把空間分成八個部分，每一部分叫做卦限。第二十一頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日4.向量的坐標分解式其中稱為向量沿三個坐標軸方向的分向量，有序數(shù)稱為向量的坐標，有序數(shù)也稱為點M的坐標第二十二頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日四、利用坐標做向量的線性運算

1.設

則第二十三頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日2.兩向量平行的充要條件設則∥其中第二十四頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例3．求解以向量為未知元的線性方程組其中

第二十五頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例4．已知兩點以及實數(shù)，在直線上求點,使。

第二十六頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日五、向量的模、方向角、投影1、向量的模與兩點間的距離公式設則另設點AB則點A與點B的距離為第二十七頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例7．求證以三點為頂點的三角形是一個等腰三角形。第二十八頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例8．在軸上求與兩點等距離的點。第二十九頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例9．已知兩點

求與方向相同的單位向量。第三十頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日2、方向角與方向余弦（1）非零向量的方向角，方向余弦:

非零向量與三條坐標軸的夾角稱為非零向量的方向角。把方向角的余弦叫做向量的方向余弦。第三十一頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（2）關系式設為向量的方向角，則有①②其中是與同方向的單位向量第三十二頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例10．設已知兩點計算向量的模，方向余弦和方向角。第三十三頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例12．設點位于第卦限，向徑與軸、軸夾角依次為，且，求點的坐標。第三十四頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日3.向量在軸上的投影（1）空間一點及向量在軸上的投影①點的投影設已知空間一點M以及一軸，通過作軸的垂直平面，那么平面與軸的交點叫做點在軸上的投影。第三十五頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日②向量在軸上的投影一般地，設點及單位向量確定軸，任給向量再過點作與軸垂直的平面交軸于點則向量稱為向量在軸上的分向量，設則數(shù)稱為向量在軸上的投影，記作

第三十六頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（2）向量的投影的性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：第三十七頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例14．設立方體一條對角線為一條棱為，且，求方向上的投影。第三十八頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日§7-2數(shù)量積向量積混合積一、兩向量的數(shù)量積（一）數(shù)量積的定義對兩個向量做這樣的運算，運算的結果是一個數(shù)，它等于及它們的夾角的余弦的乘積，把它叫做向量的數(shù)量積，記為

第三十九頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（二）數(shù)量積的性質(zhì)1.2.3.若則從而有第四十頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日4.若則從而有第四十一頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（三）數(shù)量積的運算規(guī)律1、交換律：2、分配律：3、結合律：為常數(shù)

第四十二頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例1．試用向量證明三角形的

余弦定理。第四十三頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（四）兩向量數(shù)量積的坐標表示式設則（五）兩向量互相垂直的充要條件第四十四頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（五）兩向量夾角余弦的坐標表示設

為向量的夾角，則第四十五頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例2．在坐標面上，求出與向量垂直的單位向量。第四十六頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例3．設質(zhì)量為100kg的物體從點沿直線移動到點

，計算重力所作的功（長度單位m）第四十七頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例4．已知三點，求。第四十八頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日二、兩向量的向量積（一）向量的向量積（定義）由下列三個條件所確定的向量，叫做向量的向量積，記作：1、的模，其中之間的夾角。第四十九頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日2、向量垂直于所確定的平面3、向量的方向滿足右手規(guī)則即當右手的四個手指從以不超過的角轉(zhuǎn)向握拳時，大拇指的指向就是的方向。第五十頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（二）向量積的幾何意義兩向量的向量積的模等于以為邊構成的平行四邊形的面積，等于以為邊組成的三角形面積的二倍。第五十一頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（三）向量積的性質(zhì)1.2.∥第五十二頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（四）向量積的運算律1、（不滿足交換律）2、數(shù)乘結合律3、分配律：第五十三頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（五）向量積的坐標表示設則第五十四頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例5．設，

計算。第五十五頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例6．已知的頂點分別為求三角形的面積。第五十六頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日三、向量的混合積（一）定義：設已知三個向量如果先作向量的向量積，把所得到的向量與第三個向量，再作數(shù)量積，這樣得到的數(shù)量叫做三向量混合積，記作第五十七頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（二）混合積的坐標表示則第五十八頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（三）向量的混合積的幾何意義向量的混合積的是一個數(shù)，它的絕對值表示以向量為棱的平行六面體的體積，如果組成右手系（即的指向按右手規(guī)則從來確定），那么混合積的符號是正的，如果組成左手系（即的指向按左手規(guī)則從來確定），那么混合積的符號是負的。第五十九頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（四）混合積的其它性質(zhì)1、2、三向量共面的充要條件是第六十頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日§7-3曲面及其方程一、曲面方程的概念（一）定義：如果曲面與三元方程，有下述關系（1）曲面S上任一點的坐標都滿足方程。第六十一頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（2）坐標滿足方程的點都在曲面上，（或不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程）那么方程就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的圖形。第六十二頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日

例1．建立球心在點

半徑為R的球面方程。第六十三頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例2．設點和，求線段的垂直平分面的方程。第六十四頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例3．方程表示怎樣的曲面。第六十五頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日二、旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法（一）定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，這條直線叫做旋轉(zhuǎn)曲線的的軸。旋轉(zhuǎn)曲線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線·第六十六頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（二）旋轉(zhuǎn)曲面方程的規(guī)律性1、在oyz平面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為，在方程中以以而得到的方程，即為旋轉(zhuǎn)曲面方程。繞Z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為，第六十七頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日在方程中，以，以，而得到旋轉(zhuǎn)曲面的方程2、在oxz平面,oxy平面上的曲線繞坐標軸旋轉(zhuǎn)也有相同的規(guī)律性。第六十八頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（三）圓錐面：直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面，兩直線的交點叫做圓錐面的頂點，兩直線的夾角叫做圓錐面的半頂角。第六十九頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例4．試建立頂點在坐標原點O旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，半頂角為的圓錐面的方程。第七十頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例5．將xoz坐標面上的雙曲線分別繞軸和Z軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。第七十一頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日三、柱面例6．方程表示怎樣的曲面？第七十二頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（二）柱面、準線、母線的定義平行于定直線并沿定曲線C移動的直線形成的軌跡叫做柱面，定曲線C叫做柱面的準線，動直線叫做柱面的母線。（三）柱面方程的特點

1.對于一個柱面來說，當柱面的母線平行于坐標軸時，柱面的方程不含對應的坐標，反之，一個不包含某個坐標的方程表示母線平行于對應坐標軸的柱面。第七十三頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日2.只含而缺的方程在空間直角坐標系中表示母線平行于軸的柱面，其準線是面上的曲線第七十四頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例7．畫出方程所表示的曲面第七十五頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例8．說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的？

第七十六頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日四、二次曲面（1）橢圓錐面第七十七頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日平面與曲面的交線稱為截痕，通過綜合截痕的變化來了解曲面形狀的方法稱為截痕法第七十八頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（2）橢球面第七十九頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（3）單葉雙曲面第八十頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（4）雙葉雙曲面第八十一頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（5）橢圓拋物面

第八十二頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（6）雙曲拋物面第八十三頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（7）還有三種二次曲面是以三種二次曲線為準線的柱面

依次稱為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面。第八十四頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日§7-4空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程（一）定義：同時屬于兩個曲面的點的軌跡叫做空間曲線，空間曲線是兩個曲面的交線。第八十五頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（二）空間曲線的一般方程是兩個已知曲面的方程，坐標滿足方程組：的點的軌跡是一條空間曲線，我們把方程組（1）叫做空間曲線的一般方程。第八十六頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例1．方程組

表示怎樣的曲線。第八十七頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例2．方程組表示怎樣的曲線。第八十八頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日二、空間曲線的參數(shù)方程（一）定義：如果把曲線C看作是動點的軌跡，動點的坐標又是參數(shù)t的函數(shù)

當給定時，就得到C上的點，隨著t的變動便可得到曲線C上的全部點，該方程組叫做空間曲線的參數(shù)方程。第八十九頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（二）通過曲面的曲面束方程

設曲線的方程為，則對任意實數(shù)即為通過曲面的曲面束方程，其中不全為零第九十頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（三）空間曲線與曲面的交點

設曲線的方程為及曲面，則曲線與曲面的交點坐標為方程組的解

第九十一頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例4．如果空間一點M在圓柱面上以角速度繞Z軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度沿平行于Z軸的正方向上升（其中都是常數(shù)），那么點M構成的圖形叫做螺旋線，試建立其參數(shù)方程。第九十二頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日三、空間曲線在坐標面上的投影（一）定義：設有空間曲線C的一般方程為以曲線C為準線，母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關于的投影柱面，投影柱面與的交線叫空間曲線C在的投影曲線，簡稱投影。第九十三頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例6．已知兩球面的方程為（1）和

（2）

求它們的交線C在面上的投影方程。第九十四頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例7．設一個立體由上半球面和錐面所圍成，求它在面上的投影。第九十五頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例8．求旋轉(zhuǎn)拋物面在三坐標面上的投影。第九十六頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例5．將曲線化成參數(shù)方程。第九十七頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例9．求上半球與圓柱體的公共部分在面和面上的投影。第九十八頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日§7-5平面及其方程一、平面的點法式方程（一）平面的法線向量

如果一非零向量垂直于一平面，這個向量叫做該平面的法線向量。第九十九頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（二）平面的點法式方程已知平面的法向量及平面上一點把由平面上一點及平面的法向量所確定的平面方程；叫做平面的點法式方程。第一百頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例1．已知一個平面通過點并且垂直于與點的連線，求平面方程。第一百零一頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例2．求過三點的平面的方程。第一百零二頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日二、平面的一般方程㈠平面和三元一次方程的關系每個平面的方程都是三元一次方程，而每個三元一次方程又都確定一個平面.第一百零三頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（二）平面的一般方程及法向量

把方程叫做平面的一般式方程，它的法向量第一百零四頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例3．一個平面過兩點且垂直于平面，求此平面方程。第一百零五頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日㈢幾種特殊的平面方程1.當時,方程為,它表示一個通過原點的平面。2.當時,方程為,它表示法線向量垂直于軸,方程表示一個平行于軸的平面。3.當時,方程,它表示一個法線向量垂直于軸,方程表示一個平行于面的平面。第一百零六頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例4．求通過軸和點的平面的方程。第一百零七頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例5．一平面通過原點，而且與平面都垂直，求此平面方程。第一百零八頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日㈣平面的截距式方程

例6.設一平面與軸的交點依次為三點求此平面的方程。第一百零九頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日三、兩平面的夾角（一）定義：兩平面的法線向量的夾角（通常指銳角）稱為兩平面的夾角。第一百一十頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日(二)兩平面的夾角公式的求法設兩平面的法向量分別為則兩平面的夾角可由來確定。第一百一十一頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例7．求兩平面的夾角。第一百一十二頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日㈢兩平面互相垂直、平行與重合的充要條件設兩個平面的法向量為

1.兩平面互相垂直2.兩個平面平行3.兩個平面重合第一百一十三頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例8．證明：（1）與平面平行。（2）平面垂直。第一百一十四頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日㈣點到平面的距離例9．設是平面外一點，求到這平面的距離。第一百一十五頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日例10．試求平行平面間的距離。第一百一十六頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日一、空間直線的一般方程（一）空間直線的一般方程把方程組叫做空間直線的一般方程?！?-6空間直線及其方程第一百一十七頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程（一）相關定義：1、直線的方向向量：如果一個非零向量平行于一條已知直線，這個向量就叫做這條直線的方向向量。2、直線的一組方向數(shù)：直線的任一方向向量的坐標叫做這直線的一組方向數(shù)。第一百一十八頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（二）直線的對稱式方程或點向式方程設直線L的方向向量為，直線L過點把叫做直線的對稱式方程或點向式方程。第一百一十九頁，共一百三十三頁，2022年，8月28日（三）直線的參數(shù)方程

直線的對稱式方程為