高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形第7講解三角形應(yīng)用舉例教案理(含解析)

【第7講解三角形的應(yīng)用舉例】之小船創(chuàng)作基礎(chǔ)知識(shí)整合1．仰角和俯角在視野和水平線所成的角中，視野在水平線□01上方的角叫仰角，在水平線□02下方的角叫俯角(如圖①)．2．方向角從正北方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角．如B點(diǎn)方向角為α(如圖②)．3．方向角相關(guān)于某一正方向的水平角，即從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線一般是指正北或正南方向，方向角小于90°)．如北偏東α，南偏西α.特別地，若目標(biāo)方向線與指北或指南方向線成45°角稱為西南方向、東北方向等．北偏東α，即由□03指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α抵達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)；北偏西α，即由□04指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α抵達(dá)目標(biāo)方向；南偏西等其余方向角近似．4．坡角與坡度(1)坡角：05□坡面與水平面所成的二面角(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：□06坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，為坡度)．坡度又稱為坡比．1．仰角與俯角是相對(duì)水平視野而言的，而方向角是相關(guān)于正北方向而言的．2．“方向角”與“方向角”的差別：方向角大小的范π圍是[0,2

π)，方向角大小的范圍是

0，

2

.1．兩座燈塔A和B與海岸察看站C的距離相等，燈塔A在察看站北偏東40°，燈塔B在察看站南偏東60°，則燈塔A在燈塔

B的(

)A．北偏東C．南偏東

10°10°

B．北偏西D．南偏西

10°10°答案

B分析由題可知∠ABC＝50°，A，B，C地點(diǎn)如圖．應(yīng)選B.2．(2019·武漢模擬)海面上有A，B，C三個(gè)燈塔，AB＝10nmile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC＝()A．103nmile106B.nmile3C．52nmileD．56nmile答案D分析由題意可知，∠＝60°，∠＝75°，因此CABCBA∠＝45°，由正弦定理得10＝BC，因此＝56.Csin45°sin60°BC3．(2019·廈門模擬)如圖，，，在地平面同向來(lái)線DCB上，＝10m，從，兩地測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為30°和DCDC45°，則A點(diǎn)離地面的高等于()ABA．10mB．53mC．5(3－1)mD．5(3＋1)m答案D分析直角三角形中，依據(jù)三角函數(shù)的定義得

ABtan30°－AB＝10，解得＝5(3＋1)(m)．應(yīng)選D.tan45°AB4．如圖，為了丈量，兩點(diǎn)間的距離，選用同一平面AC上，D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形各邊的長(zhǎng)度(單位：km)：ABBABCD5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B與∠D互補(bǔ)，則AC的長(zhǎng)為________km.答案7分析∵82＋52－2×8×5×cos(π－)＝32＋52－D12×3×5×cosD，∴cosD＝－2.AC＝49＝7(km)．5．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°行進(jìn)100m抵達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是________m.答案50分析設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，依據(jù)余弦定理得(3h)2＝h2＋1002－2··100·cos60°，即2＋50－5000＝0，即(h－50)(hhhh＋100)＝0，即＝50，故水柱的高度是50m.h核心考向打破考向一丈量距離問題例1(2019·江西贛州模擬)如下圖，為了丈量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀察，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀察B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為()A．206海里B．406海里C．20(1＋3)海里D．40海里答案A分析由題意可知，∠＝90°－45°＝45°，BDC又∠＝90°，∴＝＝40(海里)．BCDBCCD在△ADC中，∠ADC＝105°，∠ACD＝90°－60°＝30°，∴∠DAC＝45°，40sin105°由正弦定理可得AC＝sin45°＝20(3＋1)(海里)．在△ABC中，由余弦定理得AB＝22AC＋BC－2AC·BC·cos60°＝206(海里)．應(yīng)選A.觸類旁通求距離問題的注意事項(xiàng)選定或確立要?jiǎng)?chuàng)立的三角形，第一確立所求量所在的三角形，若其余量已知?jiǎng)t直接解；如有未知量，則把未知量放在另一確立的三角形中求解．錯(cuò)誤!即時(shí)訓(xùn)練1.如下圖，為了丈量河對(duì)岸，B兩點(diǎn)間A的距離，在岸邊定一基線CD，現(xiàn)已測(cè)出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，試求AB的長(zhǎng)．解在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，ADC＝60°，因此AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得＝asin105°＝3＋1.②BCsin45°2a在△ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又由于∠ACB＝30°，因此利用余弦定理能夠求得，B兩點(diǎn)之間的距離為＝AAB2＋2－2··cos30°＝2.ACBCACBC2a考向二丈量高度問題例2(2019·湖北模擬)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后抵達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.答案1006分析

依題意有

AB＝600，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB.∴∠＝45°，ACB在△中，由AB＝CB，ABCsin∠ACBsin∠CAB得600＝CB，有＝3002，sin45°sin30°CB在Rt△BCD中，CD＝CB·tan30°＝1006，則此山的高度CD＝1006m.觸類旁通辦理高度問題的注意事項(xiàng)在辦理相關(guān)高度問題時(shí)，正確理解仰角、俯角是一個(gè)重點(diǎn)．2在實(shí)質(zhì)問題中，可能會(huì)碰到空間與平面地面同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣辦理起來(lái)既清楚又不簡(jiǎn)單搞錯(cuò).錯(cuò)誤!即時(shí)訓(xùn)練

2.要測(cè)底部不可以抵達(dá)的電視塔

AB

的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂

A的仰角是

45°，在

D點(diǎn)測(cè)得塔頂

A的仰角是30°，并測(cè)得水平面上的∠

BCD＝120°，

CD＝40m，求電視塔的高度．解如圖設(shè)電視塔AB高為x，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理，得222BD＝BC＋CD－2BC·CD·cos120°.即(

3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得

x＝40，∴電視塔高為

40米．考向三丈量角度問題例3(2019·沈陽(yáng)模擬)如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等候營(yíng)救．信息中心立刻把信息見告在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前去B處營(yíng)救，求cosθ的值．解在△中，＝40，＝20，∠＝120°，由ABCABACBAC余弦定理得，2＝2＋2－2··cos120°＝2800?BCBCABACABAC＝207.AB

BC由正弦定理，得

＝sin∠ACBsin∠BACAB21·sin∠BAC＝.?sin∠ACB＝BC7由∠＝120°，知∠為銳角，BACACB7則cos∠ACB＝7.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBACB°＝21.cos30°－sin∠sin3014觸類旁通解決丈量角度問題的注意事項(xiàng)第一應(yīng)明確方向角或方向角的含義．剖析題意，分清已知與所求，再依據(jù)題意畫出正確的表示圖，這是最重點(diǎn)、最重要的一步.將實(shí)質(zhì)問題轉(zhuǎn)變?yōu)榭捎脭?shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“攜手”使用.即時(shí)訓(xùn)練3．(2019·山東泰安模擬)如圖，A，B是海面上兩個(gè)固定觀察站，現(xiàn)位于B點(diǎn)南偏東45°且相距56海里的D處有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)．此時(shí)在A處觀察到D位于其北偏東

30°處，位于

A北偏西

30°且與

A相距

20

3海里的

C點(diǎn)的營(yíng)救船立刻前去營(yíng)救，其航行速度為

30海里/

小時(shí)，該營(yíng)救船抵達(dá)

D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？解由題意可得：BD＝56，AC＝203，∠ABD＝45°，∠BAD＝30°，∠CAD＝60°.在△中，由正弦定理