高中數(shù)學(xué)教(學(xué))案第7講空間角

題目第九章(B)直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體空間角高考要求掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角的觀點(diǎn)會(huì)求直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角知識(shí)點(diǎn)概括1．異面直線所成的角：已知兩條異面直線a,b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a//a,b//b，a,b所成的角的大小與點(diǎn)O的選擇沒關(guān)，把a(bǔ),b所成的銳角（或直角）叫異面直線a,b所成的角（或夾角）．為了簡(jiǎn)易，點(diǎn)O往常取在異面直線的一條上異面直線所成的角的范圍：(0,]2a2．求異面直線所成的角的方法：（1）幾何法；（2）向量法′bOb3．直線和平面所成角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角向來(lái)線垂直于平面，所成的角是直角向來(lái)線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0角直線和平面所成角范圍：0，22）定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜線所成的全部角中最小的角

足的直Pa4．公式：平面的斜線a與內(nèi)向來(lái)線b訂交成θ角，且aA1c2O成1角，a在上的射影c與b訂交成2角，則有Bb

與訂交cos1cos2cos5二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，此中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所構(gòu)成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面若棱為l，兩個(gè)面分別為,的二面角記為l；6．二面角的平面角：（1）過(guò)二面角的棱上的一點(diǎn)O分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的兩條垂線OA,OB，則AOB叫做二面角l的平面角（2）一個(gè)平面垂直于二面角l的棱l，且與兩半平面交線分別為OA,OB,O為垂足，則AOB也是l的平面角說(shuō)明：①二面角的平面角范圍是[0,180]；②二面角的平面角為直角時(shí)，則稱為直二面角，構(gòu)成直二面角的兩個(gè)平面相互垂直7．二面角的求法：⑴幾何法；⑵向量法8求二面角的射影公式：S，cosS此中各個(gè)符號(hào)的含義是：S是二面角的一個(gè)面內(nèi)圖形F的面積，S是圖形F在二面角的另一個(gè)面內(nèi)的射影，是二面角的大小9．三種空間角的向量法計(jì)算公式：⑴異面直線a,b所成的角：coscosa,b；⑵直線a與平面(法向量n)所成的角：sincosa,n；⑶銳二面角：coscosm,n，此中m,n為兩個(gè)面的法向量題型解說(shuō)例1直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，點(diǎn)D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）30B．13015A．C．D．1021510解法一：(幾何法)如圖，連接D1F1，z則D111B1C1F2D1A1B1C11B1F111BCC1BC∴DF2設(shè)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)A∴D11BEBD11BFEFECy∴∠EF1A或補(bǔ)角即為所求x由余弦定理可求得cos∠EF1A=30．10解法二：(向量法)成立如下圖的坐標(biāo)系，設(shè)BC=1則A（－1，0，0），F(xiàn)1（－1，0，1），2B（0，－1，0），D1（－1，－1，1）22即AF1=（1，0，1），BD1=（－1，1，1）2221130∴cos<AF，BD>=4111111011444評(píng)論：解法一與解法二從兩個(gè)不一樣角度求異面直線所成的角．解法一表現(xiàn)傳統(tǒng)方法作—證—算；解法二把角的求解轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄窟\(yùn)算，應(yīng)注意領(lǐng)會(huì)兩種方法的特色．例2在正四周體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，求直線CE與平面BCD成的角．剖析:求線面角的重點(diǎn)在于找出斜線在平面內(nèi)的射影，即找垂面，有了垂面即可在垂面內(nèi)作交線的垂線，線面角即可作出，而后轉(zhuǎn)變到三角形中求解．解法一:取BC的中點(diǎn)F，連接AF、DF∵正四周體ABCDBC⊥AF，BC⊥DFBC⊥面AFD，而BC平面BCD

zA∴面AFD⊥面BCD過(guò)E作EH⊥DF于H，而DF平面BCD，則EH⊥面BCD則∠ECH為CE與面BCD所成的角．在Rt△CEH中，sin∠ECH=2．3即CE與平面BCD成的角為arcsin2．3解法二：如圖成立以三角形BCD的中心于BC

EFBoHCDyxO為原點(diǎn)，,OD,OA挨次為y軸，z軸X軸平行設(shè)正四周體ABCD的棱長(zhǎng)為a，則OF3a,FCa,OD3a,OA6a6233∴C(a,3a,0),D(0,3a,0),A(0,0,6a),2633∵E為AD的中點(diǎn)，∴E(0,3a,6a)66∴CE(a,3a,6a)236又因?yàn)槠矫鍮CD的法向量為n(0,0,1)，∴即CE與平面BCD成的角知足：評(píng)論：求線面角的兩種方法例3如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝BB1＝1，E為D1C1的中點(diǎn)，求二面角E—BD—C的正切值．解法一：∵ABCD—A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，∴作EF⊥面BCD，而E為D1C1的中點(diǎn)，則F為的中點(diǎn)，過(guò)F作FM⊥BD交BD于M，連EM，由三線定理知EM⊥BD，∴∠EMF就是二面角E—BD—C的平面角，〕又AB＝2，BB1＝BC＝1，EF＝1，

zCDD1EC1垂A1B1DC∵AFyMBxFM＝1×1＝555∴tan∠EMF＝EF5．FM解法二：∵S△BDF＝S△EBD·cosθ而SBDF＝1BD·FM＝1·5·1＝1，△2225又BD＝5，ED＝2，BE＝3∴ED2+BE2＝BD26∴DE⊥EB故S△EBD＝1ED·EB＝22∴cosθ＝1；tanθ＝5．6解法三：過(guò)E作棱BD的垂線EM交BD于M，過(guò)C點(diǎn)作棱BD的垂線CN交BD于N，E、C是異面直線EM、CN上兩點(diǎn)，CE＝2．EM＝DEBE6,CNDCBC2，BD5BD5而FM⊥BD，CN⊥BD，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，∴MN＝DM＝2zE5D1C1∴2＝64462cosθA1B1552555DCcosθ＝1，tanθ＝Fy5．AMB6x解法四：如圖，成立坐標(biāo)系，則D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)設(shè)平面DBE的方程為：AxByCz0（過(guò)原點(diǎn)D=0）A2B02B,CB則CAB0∴平面DBE的一個(gè)法向量為n(2,1,1)又因?yàn)槠矫鍮CD的一個(gè)法向量為m(0,0,1)二面角E—BD—C的余弦值為：∴tan5評(píng)論：選本題意在經(jīng)過(guò)本題使學(xué)生掌握二面角平面角的作法及求法．即三垂線定理及逆定理法，投影法，利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式法．例4正方體ABCD-EFGH的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a,⑴求直線PQ與平面ABCD所成的角的正切值；⑵求直線PQ與AD所成的角剖析：（1）先作出PQ在面ABCD內(nèi)的射影，因?yàn)槊鍮FGC⊥面ABCD，作QM⊥BC于M，則MP就是QP在面ABCD內(nèi)的射影，∠QPM就是要求的角，也能夠先求出頭ABCD的法向量QM與QP的角，而后再求它的余角即得（2）（向量法）解：成立坐標(biāo)系后，求出PQAD及|PQ|，|AD|，可由cosPQAD求解，|PQ||AD|解（1）作QM⊥BC于M，連MP，則∠QMP就是直線PQ與平面ABCD所成的角則易得：QM=2a，MP=（1-2)a22MQ21tan∠QPM=MP（2）成立空間直角坐標(biāo)系如圖，則z2222a,0)FGQ（0，a,a)P（(1a),2222EQHA（a,0,0）,D(a,a,0),BMCQP((122APy)a,0,a),AD=(0,a,0)22xDQP與AD所成的角為90°例5如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=1，求面SCD與面SBA所成的二2切值z(mì)剖析：本題中二面角的棱沒有畫出，按慣例解ySBA，CD訂交于E，則SE是二面角的棱，因?yàn)镈A⊥點(diǎn)A作SE的垂線交SE于F，連接DF，則∠ADF就B面角的平面角若用向量法求解，就是要求兩個(gè)面的法向量所成的ADx解：如圖成立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可知D（1,0,0)，C（1，1，0），2S（0，0，1），可知AD(1,0,0)n1是面SAB的法向量2

面角的正可延長(zhǎng)面ABS，過(guò)是所求二角或補(bǔ)角設(shè)平面SCD的法向量n2=（x，y，z）11SD=0，n2DC0SD(,0,1),DC(,1,0)n222可推出xz0,xy0,令x=2,則有y=-1,z=1,n2=（2，-1，1）22設(shè)所求二面角的大小為θ，則n1n2120(1)016=2cosθ=1|n1||n2|222223()112sin3,tan232例6已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD1）證明：C1C⊥BD；2）當(dāng)CD的值為多少時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD請(qǐng)給出證明CC1證明：如設(shè)∠C1CB=θ，由題設(shè)，∠C1CD=∠BCD=θ令CD=a，CB=b，CC1=c，|a|=1，|c|=x，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以|b|=1，（1）∵BDCDCBa-bB1A1∴OC1·BD=c·(a-b)=c·a-c·bC1D1=1·x·cosθ-1·x·cosθ=0BA∴C1C⊥BD11CD（2）假定AC⊥平面CBD成立則A1C⊥C1D，進(jìn)而CA1·C1D=0因?yàn)镃1D=a-c，CA1=a+b+c所以CA1·C1D=(a+b+c)·(a-c)a2+b·a+c·a-a·c-b·c-c2a2+b·a+b·c-c2=1+1·1·cosθ-1·x·cosθ-x2（1-x）(1+x+cosθ)進(jìn)而(1-x)·(1+x+cosθ)=0因?yàn)?+x+cosθ＞0，所以，x=1也就是說(shuō)CD1時(shí)，A1C⊥平面C1BD成立CC1評(píng)論：平行六面體的12條棱共分三組，每組四條棱兩兩平行，故可取共極點(diǎn)的三條棱作為空間向量的基底，本題中CD，CB，CC1三個(gè)共點(diǎn)向量為基底，其他向量可由此三個(gè)向量生成小結(jié)：空間角的求解有兩種方法一種是幾何法，另一種是向量法．1．幾何法一般要有三個(gè)步驟．1）作圖：如上例中作出二面角的平面角及題中波及的相關(guān)圖形等；2）證明：證明所給圖形是切合題設(shè)要求的；3）計(jì)算：在證明的基礎(chǔ)上計(jì)算得出結(jié)果．2．向量法是把求角的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍髢上蛄康膴A角．這里平面的法向量常用待定系數(shù)法求解，平面的法向量是重點(diǎn)．學(xué)生練習(xí)1．異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)且與a、b所成的角都是30°的直線有（）A．1條B．2條C．3條D．4條分析：將a、b平移到點(diǎn)P，則過(guò)P與a、b所成的角都是30°的直線為2條．答案：B2．平面α的斜線與α所成的角為30°，則此斜線和α內(nèi)全部可是斜足的直線中所成的角的最大值為（）A．30°B．60°C．90°D．150°分析：本題易誤選D，因斜線和α內(nèi)全部可是斜足的直線為異面直線，故最大角為90°．答案：C3．在邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC＝1a，這時(shí)二面角B—AD—C的大小為（）2A．30°B．45°C．60°D．90°分析：折起后△BCD為正三角形．答案：C4．四周體ABCD中，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，若CD=2AB，EF⊥AB，則EF與CD所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°分析：取AD中點(diǎn)G，連接EG、GF，則GE11CD，GE=AB22CD=2AB∴GE=2GF，∵EF⊥AB，∴EF⊥GF．∴∠GEF=30°答案：A5．在正方體A—C1中，E、F分別為D1C1與AB的中點(diǎn)，則A1B1與截面A1ECF所成的角為（）A．a(chǎn)rctan112B．a(chǎn)rccosC．a(chǎn)rcsinD．都不對(duì)23解：（向量法）成立以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1分別為x,y,z軸的坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1設(shè)平面A1FCE的法向量n=（x，y，z）,則n·FC=0，n·CE=0∵FC=（－1，1，0），CE=（0，－1，1）22x10x1yy2∴2,令y=2,∴n=（1，2，1）11yz0zy22又∵AB=（0，1，0）∴cos<n,AB>=22111112221262答案：A∴A1B1與平面A1FCE成的角為arcsin66．一條直線與直二面角的兩個(gè)面所成的角分別是α和β，則α＋β的范圍是_____．解：設(shè)A、B分別為平面M、N內(nèi)任一點(diǎn)，過(guò)A、B分別作AC⊥l，BD⊥l垂足為C、D．則BAD=α，∠ABC=β,α+β≤α+∠ABD=90°又∵α+β≥0°,∴α+β∈[0°，90°]答案：[0°，90°]7．在平面角為銳角的二面角α—EF—β中，β所成角為30°，則二面角α—EF—β的平面