教學(xué)案例 怎樣上好問(wèn)題解決課的研究

怎樣上好問(wèn)題解決課的研究——以《連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少》為例安吉縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)汪開(kāi)軍怎樣上好問(wèn)題解決課，眾說(shuō)紛紜，各執(zhí)一理。本人以人教版（2022版）六年級(jí)上冊(cè)第一單元《分?jǐn)?shù)乘法》例8《連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少》為課例，從找準(zhǔn)原型、注重建模、滲透思想三個(gè)方面進(jìn)行了問(wèn)題解決課的教學(xué)嘗試。效果較好，以下進(jìn)行具體闡述：一、找準(zhǔn)原型任何一節(jié)問(wèn)題解決課的內(nèi)容，都不會(huì)是“空中樓閣”，一定是由前面的某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)生長(zhǎng)而來(lái)的，這個(gè)生長(zhǎng)點(diǎn)就是新知的原型。如對(duì)“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的兩種方法進(jìn)行原型分析，可以發(fā)現(xiàn)一種方法是把問(wèn)題分解為兩次求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，對(duì)應(yīng)的原型就是“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”。另一種方法是先求建立未知量與已知量之間的關(guān)系，也就是求幾分之幾的幾分之幾是多少，對(duì)應(yīng)的原型是分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)；再求已知量的幾分之幾是多少，對(duì)應(yīng)的原型又是“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”。所以，本節(jié)課的原型有兩個(gè)[實(shí)際教學(xué)以后發(fā)現(xiàn)，還有一個(gè)對(duì)應(yīng)的原型，就是“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”，會(huì)在下文具體說(shuō)明]：一是“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”，二是“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”。其實(shí)，教材在處理分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理時(shí)，已經(jīng)將“求一個(gè)數(shù)（分?jǐn)?shù)）的幾分之幾”延伸到了求“1的幾分之幾的幾分之幾是多少”（圖1）。有一點(diǎn)不同之處，本節(jié)課中“1”的量不是1，而是其他的量。因此，學(xué)習(xí)“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”可以基于“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾”和“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”算理理解的基礎(chǔ)上展開(kāi)。找準(zhǔn)了知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)（即知識(shí)的原型）不僅能讓學(xué)生快速進(jìn)入新知的問(wèn)題情境，更有利于整體知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建。圖1圖2基于上述原型分析，在學(xué)習(xí)單的【基礎(chǔ)部分】設(shè)計(jì)了相關(guān)練習(xí)（圖2），由學(xué)生課前完成，課始反饋。師：課前大家用圖表示出了m2的的多少平方米，并進(jìn)行了列式計(jì)算?，F(xiàn)在老師先請(qǐng)一位同學(xué)與大家分享一下用圖表示的過(guò)程。生1：整個(gè)長(zhǎng)方形表示1平方米，把1平方米平均分成兩份，其中的1份就是m2，再把m2平均分成4份，其中的1份就是m2的。[生邊說(shuō)，師出示ppt動(dòng)態(tài)演示]師：m2以什么為“1”。生：1平方米。師：那又以什么為“1”？生：m2。師：看來(lái)，這道求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的問(wèn)題，卻牽涉到了兩個(gè)不同的“1”，從圖中我們可以觀察到求m2的，其實(shí)就是在求？生：1m2的的是多少。師：是的，這節(jié)課我們就一起來(lái)深入探究像這樣“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”[板書(shū)課題]的解決問(wèn)題的方法。以學(xué)生熟悉的“求一個(gè)數(shù)（分?jǐn)?shù)）的幾分之幾是多少”作為先學(xué)材料，一方面回顧了求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的解題方法，另一方面在畫(huà)圖操作過(guò)程中加深對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)算理的理解，為新知學(xué)習(xí)找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的原型。再借助圖對(duì)“m2的是多少”從新知的角度作出解讀（其實(shí)就是求1m2的的是多少），實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)間問(wèn)題情景上的接軌，同時(shí)也為溝通知識(shí)之間的聯(lián)系“牽線搭橋”，為新知建模打好基礎(chǔ)。二、注重建模《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑、建立和求解模型可以提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。”由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)建模是課堂教學(xué)的重要內(nèi)容。與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不同的是，新課改下的數(shù)學(xué)建模過(guò)程必須要有學(xué)生的主體參與，也就是說(shuō)它是在學(xué)生自主理解、建構(gòu)基礎(chǔ)上的模型，而不是生硬地塞給學(xué)生的公式、法則等。讓學(xué)生在小學(xué)階段積累一定的數(shù)學(xué)模型思想，并逐步體會(huì)數(shù)學(xué)建模過(guò)程是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的重要體現(xiàn)。如在“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的建模過(guò)程中，設(shè)立了兩個(gè)層次的學(xué)習(xí)目標(biāo)：目標(biāo)一，自主探究解決問(wèn)題的策略、方法；目標(biāo)二，對(duì)策略、方法進(jìn)行總結(jié)概括，即建模。1.ppt出示學(xué)習(xí)要求。[詳見(jiàn)“學(xué)習(xí)單”]2.生獨(dú)立完成“分析與解答”。3.小組交流，指生板演[以上學(xué)習(xí)過(guò)程為是為了達(dá)成目標(biāo)一]（m2）（m2）（m2）12板演生1：（m2）求的是蘿卜地的面積，以整個(gè)大棚的面積為“1”，是圖中的這一部分（用箭頭1表示）。（m2）求的是紅蘿卜地的面積，以蘿卜地的面積為“1”師：有沒(méi)有思路與這位同學(xué)相同，而算式有所不同的？生1：師：給大家介紹一下你這個(gè)算式的思路。生1：求的是蘿卜地的面積，以整個(gè)大棚的面積為“1”，再乘求的是紅蘿卜地的面積，以蘿卜地的面積為“1”。師：我們發(fā)現(xiàn)，不管是分步計(jì)算還是綜合算式，都是先求（蘿卜地的面積），也就是未知的“1”，再求（紅蘿卜地的面積）?？磥?lái)連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，可以先通過(guò)求已知“1”的幾分之幾是多少求出未知的“1”，再求間接已知的“1”的幾分之幾是多少。[方法一建模]（m2）12板演生2：（m2）12以整個(gè)大棚面積為“1”（m2）求的是紅蘿卜地的面積，還是以整個(gè)大棚面積為“1”，是圖中的這一部分（同樣用箭頭表示2）。師：大家聽(tīng)明白了？誰(shuí)再來(lái)說(shuō)一遍。[無(wú)人舉手，師隨意指一生，該生支支吾吾，不知所云。]師：我們一起來(lái)看，問(wèn)題求的是（紅蘿卜地）的面積，已知的是（整個(gè)大棚）的面積，所以就要先建立起紅蘿卜地的面積與整個(gè)大棚面積之間的關(guān)系，觀察圖，要求紅蘿卜地的面積占整個(gè)大棚面積的幾分之幾，可以用（）；再求（480m2的是多少）?？磥?lái)連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少還可以先建立起所求量與已知“1”之間的關(guān)系，再求已知“1”的幾分之幾是多少。[方法二建模]師：那么這種方法的綜合算式又該怎樣列？生2：師：給大家介紹一下思路生2：是先求出紅蘿卜地的面積占整個(gè)大棚面積的，再用480求出紅蘿卜地的面積。[以上學(xué)習(xí)過(guò)程為是為了達(dá)成目標(biāo)二]整個(gè)建模過(guò)程有學(xué)生的主體參與，建立的兩個(gè)模型也都源于學(xué)生的自主理解和構(gòu)建。但實(shí)際教學(xué)下來(lái)，明顯感覺(jué)學(xué)生在方法二的建模過(guò)程中比較吃力。經(jīng)過(guò)課后反思，找到了其中的原因：學(xué)習(xí)單的【基礎(chǔ)部分】?jī)H僅實(shí)現(xiàn)了方法二建模在問(wèn)題情境上的接軌，解題思路、方法方面還是缺乏原型支撐，所以是脫軌的、懸空的。其實(shí)，方法二建模不僅需要“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”這個(gè)原型，還需要“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少（即連乘解決問(wèn)題）”這個(gè)原型的支撐。因?yàn)椤斑B續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的其中一種方法也是先建立已知量與所求量之間的倍比關(guān)系，再求已知量的幾倍是多少，與本節(jié)課中第二種方法的模型結(jié)構(gòu)是一致的，都是“a×(b×c)”結(jié)構(gòu)，因此，回顧這個(gè)舊知對(duì)方法二的建模能夠起到很好正遷移作用。所以可以對(duì)學(xué)習(xí)單的【基礎(chǔ)部分】做如下改進(jìn)：【基礎(chǔ)部分】1.有一個(gè)大棚，種紅蘿卜的面積是60m2，種蘿卜的面積是紅蘿卜地面積的4倍，整個(gè)大棚的面積是蘿卜地面積的2倍。整個(gè)大棚的面積是多少平方米？2.m2的是多少平方米？用圖表示：整個(gè)長(zhǎng)方形表示（）m2列式計(jì)算：另外，增加這個(gè)先學(xué)任務(wù)，還能方便知識(shí)間的及時(shí)溝通與聯(lián)系。正如上文所說(shuō)，“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”是“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”生長(zhǎng)而來(lái)，兩者的解題模型是一致的。所以，在完成“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的建模后，讓學(xué)生進(jìn)行兩者之間的溝通，實(shí)現(xiàn)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的整體構(gòu)建，同時(shí)為“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少”的建模和知識(shí)的階段性總結(jié)作準(zhǔn)備。三、滲透思想數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。因此，數(shù)學(xué)思想的滲透能夠有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、構(gòu)建。在本節(jié)課中，借用《莊子?天下篇》中名言“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。”，讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)錯(cuò)辨析，感受分析分?jǐn)?shù)所對(duì)應(yīng)的“1”對(duì)解決一個(gè)分?jǐn)?shù)問(wèn)題得重要性；在列式計(jì)算第三天取的長(zhǎng)度中鞏固“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的兩種解題模型；在“無(wú)限取下去”的想象中培養(yǎng)學(xué)生“有限之中包含無(wú)限”的數(shù)學(xué)思想。以下是相關(guān)的教學(xué)片斷：[ppt]“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！薄肚f子·天下篇》師：在《莊子·天下篇》中有這樣一句話“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，它的字面意思是說(shuō)“一尺長(zhǎng)的木棒，每天取它的一半，也就是，永遠(yuǎn)都取不完?！蹦阌X(jué)得這句話有道理嗎？生1：我覺(jué)得沒(méi)道理，因?yàn)槊刻烊∷模瑑商炀涂梢匀⊥炅?。?你的想法很有道理，誰(shuí)還有不同的看法？生2：我覺(jué)得有道理，每天取它的，只要取的是前一天剩下來(lái)那一部分的，就會(huì)永遠(yuǎn)也取不完。師：你說(shuō)的也很有道理，剛才兩位同學(xué)，一位同學(xué)認(rèn)為這句話是錯(cuò)的，還有一位認(rèn)為是對(duì)的，為什么會(huì)有不同的理解呢？生3：因?yàn)椤叭杖∑浒搿敝械摹捌洹笔恰八摹币馑迹绻阉斫鉃檎“舻?，那兩天就取完了，如果取的是前一次剩下?lái)的，那會(huì)剩下另一半，就永遠(yuǎn)也取不完了。師：你理解的真到位，看來(lái)“1”在解決一個(gè)分?jǐn)?shù)問(wèn)題中時(shí)至關(guān)重要的。如果按第二位同學(xué)的理解，那么第三天取的長(zhǎng)度是多少尺呢？在紙上寫(xiě)一寫(xiě)計(jì)算過(guò)程吧[生完成后投影反饋，過(guò)程略]方法一：第一天：尺；方法二：（尺）第二天：（尺）；第三天：（尺）師：接著往下取，每天取的長(zhǎng)度會(huì)（越來(lái)越短），如果無(wú)限取下去，取的完嗎？生4：取不完，因?yàn)槊看味紩?huì)剩下一半。師：的確如此，按照這樣的取法這根一尺長(zhǎng)的木棒是永遠(yuǎn)都取不完的。但這樣無(wú)限地取下去，木棒在無(wú)限地接近被（取完）。需要注意的是，在滲透思想時(shí)要注意前后銜接。本節(jié)課中所用的材料是教材p15“你知道嗎？”的內(nèi)容（圖3），讓學(xué)生感受“有限之中包含無(wú)限”的數(shù)學(xué)思想，即這“一尺之棰”永遠(yuǎn)都是取不完的。但另一