教學(xué)案例 銳角三角函數(shù)教案

23.1銳角的三角函數(shù)一、教學(xué)目標(biāo)1、經(jīng)歷探索直角三角形中某銳角確定后其對邊與鄰邊的比值也隨之確定的過程，理解正切的意義.2、能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，并能夠用正切進(jìn)行簡單計算.3、體驗數(shù)形之間的聯(lián)系，進(jìn)一步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題，提高解決實際問題的能力，從而理解三角函數(shù)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.二、重點、難點1、重點：理解銳角三角函數(shù)正切的意義，用正切表示傾斜程度、坡度，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.2、難點：從現(xiàn)實情景中理解正切的意義.三、教學(xué)方法引導(dǎo)——探索法.四、教學(xué)準(zhǔn)備PPT教學(xué)軟件、幾何畫板軟件.五、教材分析直角三角形的邊角關(guān)系是現(xiàn)實世界中廣泛應(yīng)用的關(guān)系之一，在解決現(xiàn)實問題時，如測量、建筑、工程技術(shù)和物理學(xué)時，往往遇到距離、高度、角度的計算問題，一般來說，這些問題中的數(shù)量關(guān)系往往歸結(jié)到直角三角形中來解決，利用銳角三角函數(shù)解決問題至關(guān)重要.本節(jié)從汽車的爬坡能力談起，引入了第一個銳角三角函數(shù)——正切，因為相比之下，正切是生活中用的最多的三角函數(shù)概念，如刻畫物體的傾斜程度、山的坡度、堤壩的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類比正切得到的，所以本節(jié)從現(xiàn)實情景出發(fā)讓學(xué)生在經(jīng)歷探索直角三角形邊角關(guān)系的過程中，理解三角函數(shù)的意義，并能夠舉例說明，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計算.六、教學(xué)過程1、情景引入（1）生活中大家經(jīng)常聽到“某個山坡比較陡”“坡度大”“坡角比較大”這些話，怎樣描述坡面的坡度（傾斜程度）呢？（2）在直角三角形中，知道一邊和一個銳角，你能求出其他的邊和角嗎？通過本章的學(xué)習(xí)，相信大家一定能夠解決這些問題.這節(jié)課我們先從坡面傾斜程度談起.2、講授新課（1）如圖1，有兩個直角三角形，直角邊AB和DF表示水平面，斜邊AC和EF分別表示兩個不同的坡面，坡面AC和EF那個更陡？你是怎樣判斷的？生：坡面EF比坡面AC更陡.師：為什么呢？生：①從圖1很容易看出∠CAB<∠EFD，所以坡面EF比坡面AC更陡.②因為AB=DF，所以只要比較BC和DE的長度即可知道哪個坡面更陡，BC<DE，所以坡面EF比坡面AC更陡.圖1圖2圖3類似地，如圖2，坡面AC和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？分析：因為高度BC和DE的長度相等，只要比較AB和DF的長度即可，因為DF<AB，所以坡面EF更陡.我們再來看一個問題：如圖3，坡面AC和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？分析：我們觀察圖3直接判斷坡面的傾斜程度即哪個更陡，就比較困難了，能不能從問題1和2中得到什么啟示呢？生：在圖1中，坡面的水平寬度AB和DF是相等的，而垂直高度不一樣長；在圖2中，坡面的高度BC和DE是相等的，而水平寬帶不一樣長，由此可以想到坡面的垂直高度和水平寬度的比值越大，坡面就應(yīng)該越陡.師：很好.在問題3中的哪個斜面更陡，應(yīng)該從斜面的垂直高度和水平高度的比的大小來判斷，請同學(xué)們計算一下，哪個坡面更陡？===0.2，===0.375∵0.2<0.375，∴坡面EF更陡.（4）課件展示：如圖4(1),在銳角A的一邊任取一點B，自點B向另一邊作垂線，垂足為C，得到Rt?ABC,再測出BC、AC的長并計算的值.如圖4（2），在AB上拖動點B，我們發(fā)現(xiàn)BC和AC的長度發(fā)生了變化，但是的比值沒有發(fā)生變化，請同學(xué)們用所學(xué)過的知識解釋這一現(xiàn)象.（1）（2）圖4圖5圖6生：在拖動點B的過程中，可以得到無數(shù)個直角三角形，它們都是相似的，在這些直角三角形中，銳角A的對邊和鄰邊的比值是相等的，因為對應(yīng)邊成比例.師：那么我們在說明圖4這一坡面的傾斜程度時，即可以通過測量BC、AC的長算出來表示，也可以通過測量GH、AH的長算出來表示.由于直角三角形中的銳角A確定以后，它的對邊和鄰邊的比叫做∠A的正切（tangent)，記作tanA，即tanA===.注：1.tanA是一個完整的符號，tanA不表示“tan”乘以“∠A”.2.它表示∠A的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“∠”.3.tanA沒有單位，它表示一個比值，銳角A的對邊和鄰邊的比.4.初中階段僅研究直接三角形中，∠A是銳角的正切；將來遇到銳角的正切問題，也必須放在直角三角形中去研究.師：∠B的正切如何呢？它的數(shù)學(xué)意義如何？生：∠B的正切記作tanB，表示∠B的對邊和鄰邊的比值，即tanB===.師：那么，現(xiàn)在我們再回到本節(jié)開始的問題中來，如何來描述坡面的坡度呢？生：可以用正切來描述.師：對.我們可以用正切來描述坡面的坡度，坡面的鉛直高度和水平長度的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作.如圖6，即=（經(jīng)常寫成:的形式）.坡面與水平面的夾角叫做坡角(或稱傾斜角),記作α，于是有==tanα.顯然坡度（=tanA)越大，坡角α越大，坡越陡.如:有一山坡在水平方向上每前進(jìn)100m就升高60m，那么山坡的坡度（即坡角α的正切tanα）就是=tanα=60/100=0.6.在實際生活中,我們常常也用傾斜角來描述斜坡面陡的程度,如一個梯子靠在墻上陡的程度、電線桿傾斜的程度等等,但是對于公路坡面陡的程度,就不能直接測到公路路面的傾斜角,只有用坡比,也就是傾斜角的正切值.以后我們在測量山高、大樓的高度等也都要用正切的知識.例題講解例如圖7,在?ABC中,∠C=

,BC=3cm,AC=3cm,求tanA和tanB.圖7圖8解：tanA==;tanB==.引申：如果在圖8中拖動點B，從而改變BC和AC的長度，讓學(xué)生計算出此時的tanA和tanB，進(jìn)一步加深對正切的定義的理解.隨堂練習(xí)(1)在Rt?ABC中，∠C=，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.分析:要求tanA和tanB的值，先要根據(jù)溝谷定理求出AC的長度.解：∵在Rt?ABC中，∠C=∴AC===16cm，∴tanA===；tanB===.(2)課本98頁練習(xí)第1、2題.小節(jié)本節(jié)課從坡面的傾斜程度談起，經(jīng)歷了探索直角三角形中的邊角