考研數(shù)三(歷年真題+答案詳解)之-2003至2013年真題

2003年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學三試題

一、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

21若x工Q

⑴設/(x)=4xC0S7'X'其導函數(shù)在x=0處連續(xù)，則2的取值范圍是_____.

0*若x=0,

(2)已知曲線〉=/一342了+/,與x軸相切，則〃2可以通過a表示為從=.

Q才‘0<JV<1

(3)設a>0,f(x)=g(x)=\二L一'而D表示全平面，則

[0,其他，

1=^f(x)g(y-x)dxdy=------.

D

(4)設n維向量a=(〃,0,…。GlovO；E為n階單位矩陣，矩陣

A=E-aaT,B=E+—aaT,

a

其中A的逆矩陣為B,則2=.

(5)設隨機變量X和Y的相關系數(shù)為0.9,若Z=X-0.4,則Y與Z的相關系數(shù)為

(6)設總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X”Xz，…,X”為來自總體X的簡單隨機樣

I?

本，則當〃―8時，工=一依概率收斂于.

?,=1

二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有?

項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))

(1)設f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且廣(0)存在，則函數(shù)g(x)=/^

X

(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍間斷點x=0.

(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去間斷點x=0.|]

(2)設可微函數(shù)f(x,y)在點(/，先)取得極小值，則下列結論正確的是

(A)/(而,〉)在y=>0處的導數(shù)等于零.(B)/'(入0，〉)在y=%處的導數(shù)大于零.

(C)/(了0，》)在y=處的導數(shù)小于零.(D)/(工0，》)在y=為處的導數(shù)不存在.

[]

a?+\a,\a?-a?

(3)設p“=」2口，q”=2,〃=1，2,…，則下列命題正確的是

(A)若fa,條件收斂,則￡>“與￡縱都收斂?

n=ln=l/?=!

則￡>“與￡縱都收斂?

(B)若.絕對收斂,

”=1H=1/1=1

若￡明條件收斂，則￡p“與斂散性都不定.

(C)

M=1n=ln=l

若￡明絕對收斂,則與￡縱斂散性都不定.

(D)]

?=|"=1〃=】

abb

(4)設三階矩陣A=bab,若A的伴隨矩陣的秩為1,則必有

bba

(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2bH0.

(C)aHb且a+2b=0.(D)aHb且a+2bH0.

(5)設4,a2，4均為n維向量，下列結論不正確的是

(A)若對于任意一組不全為零的數(shù)占，心，…，右，都有匕％+公。2+…#0,

則%,。2，…,見線性無關.

(B)若必,22,…,見線性相關，則對于任意一組不全為零的數(shù)匕，七，…，龜，都有

k｝a｝+k2al4----1-ksas-0.

(C)%,a2,…，見線性無關的充分必要條件是此向量組的秩為s.

(D)4,a2，…,4線性無關的必要條件是其中任意兩個向量線性無關.IJ

(6)將?枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：4=｛擲第一次出現(xiàn)正面｝,42=｛擲第二次

出現(xiàn)正面｝,4=｛正、反面各出現(xiàn)一次｝，44=｛正面出現(xiàn)兩次｝,則事件

(A)A],A2，A3相互獨立.(B)A2，A3，A4相互獨立.

(OA，4,4兩兩獨立.①)&，43，人4兩兩獨立.[]

三、(本題滿分8分)

設

,/、111J八

/(X)=---h-------------7,Xe[不1).

7txsinGzr(l-x)2

試補充定義f(l)使得f(x)在gj上連續(xù).

四、(本題滿分8分)

設f(u,v)具有二階連續(xù)偏導數(shù),且滿足°?+嗎=1,又g(x,y)=〃孫」(J一y2升,

dudv2

五、(本題滿分8分)

計算二重積分

I=J)sin，+y2)dxdy.

D

其中積分區(qū)域D={(x,〉)—+y2<萬}.

六、(本題滿分9分)

求幕級數(shù)1+￡(-1)"—(|x|<1)的和函數(shù)f(x)及其極值.

?=i2n

七、(本題滿分9分)

設F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(-00,+oo)內(nèi)滿足以下條件：

f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2e\

(1)求F(x)所滿足的一階微分方程；

(2)求出F(x)的表達式.

八、(本題滿分8分)

設函數(shù)f(x)在［0,3］上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導，且f(0)+f(l)+f(2)=3,f(3)=l.試證必存在

《€(0,3),使/《)=0.

九、(本題滿分13分)

己知齊次線性方程組

(0,+b)xt+a2x2+a3x3+---+anxn=0,

“內(nèi)+(a2+b)x2+a3x3H-----Fanxn=0,

\alxi+a2x2+(%+b)x3+---+anxn=0,

+a2x2+ayx3+■??+(??+b)xn=0,

其中￡卬Ho.試討論外,。2和b滿足何種關系時,

>=1

(1)方程組僅有零解；

(2)方程組有非零解.在有非零解時，求此方程組的?個基礎解系.

十、(本題滿分13分)

設二次型

1；

/(X),x2,x3)=XAX=ax：+2x-2xf+2bxxxy{b>0),

中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.

(1)求a,b的值；

(2)利用正交變換將二次型f化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣.

十一、(本題滿分13分)

設隨機變量X的概率密度為

，若xe[l,8],

/(x)=

其他；

F(x)是X的分布函數(shù).求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).

十二、(本題滿分13分)

設隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為

x~r21，

(0.30.7J

而Y的概率密度為f(y),求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u).

2003年考研數(shù)學(三)真題解析

一、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

21若X工0

(1)設/5)=廣‘os],二’其導函數(shù)在x=0處連續(xù)，則4的取值范圍是4>2.

o若尤=0,

【分析】當可直接按公式求導，當x=0時要求用定義求導.

【詳解】當幾>1時，有

r?、cos工+x，-2si/,若xH0,

fM=\/

x0,若x=0,

顯然當4>2時，有l(wèi)im/'(x)=0=/'(0),即其導函數(shù)在x=0處連續(xù).

x->0

(2)已知曲線y=Y—3/x+b與x軸相切，則。2可以通過a表示為/=之.

【分析】曲線在切點的斜率為0,即y'=0,由此可確定切點的坐標應滿足的條件，

再根據(jù)在切點處縱坐標為零，即可找到b2與a的關系.

【詳解】由題設，在切點處有

y'=3x2—3a2=0.有x：=a2.

又在此點y坐標為0,于是有

0=X；-3。%+%=0,

故b?=x：(342—X：尸=a??4a4=4〃6.

【評注】有關切線問題應注意斜率所滿足的條件，同時切點還應滿足曲線方程.

%苔0<t<]

(3)設a>0,/(x)=g(x)=1一’而D表示全平面，則

[0,其他，

/=JJ7(x)g(y_x)dxdy=色.

D

【分析】本題積分區(qū)域為全平面，但只有當04x41,04y-x?l時，被積函數(shù)才不

為零，因此實際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.

【詳解】/=J，(x)g(y-x)dxdy=jja2dxdy

【評注】若被積函數(shù)只在某區(qū)域內(nèi)不為零，則二重積分的計算只需在積分區(qū)域與被積

函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分上積分即可.

(4)設n維向量二=(〃?！?0,幻7,〃<0；E為n階單位矩陣，矩陣

A-E-aar,B=E-\--aar?

a

其中A的逆矩陣為B,則a=-1.

【分析】這里aa7■為n階矩陣，而ara=2/為數(shù)，直接通過A5=E進行計算并

注意利用乘法的結合律即可.

【詳解】由題設，有

AB=(E-aa7)(E+—aaT)

a

7*1T1TT

-E-aa+—aa---aa?aa

aa

=E-aar+—aaT--a(aTa)a1

aa

=E-aar+—aaT-2aaaT

a

1

=E+(—1—2。4—)ococT—E,

a

于是有一1一2。+工=0,即2q2+a—1=0,解導。=」,“=一1.由于人<0,故2=-1.

a2

(5)設隨機變量X和Y的相關系數(shù)為0.9,若Z=X-0.4,則Y與Z的相關系數(shù)為

0.9.

【分析】利用相關系數(shù)的計算公式即可.

【詳解】因為

cov(y,z)=cov(r,x-0.4)=￡[(y(x-0.4)]-E(Y)E(X-0.4)

=￡(%y)-0.4￡(y)-E(Y)E(X)+0.4￡(r)

=E(XY)-E(X)E(Y)=cov(X,Y),

且DZ=DX.

于是有3=等"詈號2―=0.9.

4DY4DZ4DX4DY

【評注】注意以下運算公式：D(X+a)=DX,cov(X,V+a)=cov(X,y).

(6)設總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1,X2,…,X”為來自總體X的簡單隨機樣

1n1

本，則當〃->8時-，匕=—依概率收斂于一.

【分析】本題考查大數(shù)定律：一組相互獨立且具有有限期望與方差的隨機變量

X”X2,…,x“，當方差一致有界時?，其算術平均值依概率收斂于其數(shù)學期望的算術平均值:

I?p1fl

-￡XjT—^EXj(n—>oo).

【詳解】這里X：,X；,…,X；滿足大數(shù)定律的條件，且EX；=DXi+(EXj2=

-+(-)2=-,因此根據(jù)大數(shù)定律有

422

1?1〃I

2

Yn=-YX,依概率收斂于一￡EX；=—.

?,=1〃i=l2

二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有一

項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))

(1)設f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且尸(0)存在，則函數(shù)g(x)=￡@

x

(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍間斷點x=0.

(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去間斷點x=0.[D]

【分析】由題設，可推出f(0)=0,再利用在點x=0處的導數(shù)定義進行討論即可.

【詳解】顯然x=0為g(x)的間斷點，且由f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)知，f(0)=0.

于是有l(wèi)img(x)=lim/?=lim'」-"°)=廣(0)存在，故x=0為可去間斷點.

【評注1】本題也可用反例排除，例如f(x)=x,則此時g(x)=2=F'**°'可排除

x[0,x=0,

(A),(B),(C)三項，故應選(D).

【評注2】若f(x)在x=x0處連續(xù)，則1曲2至=Ao/(Xo)=0,/'(Xo)=A-

Xf"X-Xa

(2)設可微函數(shù)f(x,y)在點(x。,%)取得極小值，則下列結論正確的是

(A)/(入0，〉)在y=凡處的導數(shù)等于零.(B)/(%，切在y=%處的導數(shù)大于零.

(C)/(了0，〉)在y=>0處的導數(shù)小于零.(D)/(%0，)>)在y=為處的導數(shù)不存在.

[A]

【分析】可微必有偏導數(shù)存在，再根據(jù)取極值的必要條件即可得結論.

【詳解】可微函數(shù)f(x,y)在點(%,%)取得極小值，根據(jù)取極值的必要條件知

/；(%,汽)=0,即/*0，〉)在》=外處的導數(shù)等于零，故應選(A).

【評注1】本題考查了偏導數(shù)的定義，八/，田在^=外處的導數(shù)即火(飛，打)；而

/(3,%)在％=/處的導數(shù)即f^x0,y0).

【評注2】本題也可用排除法分析，取/(x,y)=/+y2,在(0,0)處可微且取得極小

值，并且有/(0,y)=y2,可排除(B),(C),(D),故正確選項為(A).

a?+|a?|a?-k?|

⑶設必=，2%q"=2'…'則下列命題正確的是

(A)若￡a,條件收斂，則Zpn與￡q”都收斂.

〃=1n=l〃=1

QO800

(B)若z%絕對收斂，則SPn與￡q”都收斂.

n=ln=l"=1

(C)若￡對條件收斂，則￡p?與￡心斂散性都不定.

”=1n=\n=l

88OP

(D)若Z%絕對收斂，貝“與"斂散性者B不定.[B]

?=171=1/1=1

【分析】根據(jù)絕對收斂與條件收斂的關系以及收斂級數(shù)的運算性質(zhì)即可找出答案.

【詳解】若絕對收斂，即收斂，當然也有級數(shù)收斂，再根據(jù)

”=1〃=1〃=1

Q+4Ia—\dI產(chǎn),

p“="?",q”及收斂級數(shù)的運算性質(zhì)知，ZP"與都收斂，故應選

22"=1n=l

(B).

abb

(4)設三階矩陣4=bab,若A的伴隨矩陣的秩為1,則必有

bha

(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b#0.

(C)a0b且a+2b=0.(D)aHb且a+2b00.[C]

【分析】A的伴隨矩陣的秩為1,說明A的秩為2,由此可確定a,b應滿足的條件.

【詳解】根據(jù)A與其伴隨矩陣A*秩之間的關系知，秩(A)=2,故有

abb

bab=(a+2b)(a—b)2=0.即有a+2b=0或a=b.

bba

但當a=b時，顯然秩(A)H2,故必有awb且a+2b=0.應選(C).

【評注】n(n?2)階矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間有下列關系:

n,r(A)=n,

r(A*)--1,r(A)-n-1,

O,r(A)<?-l.

(5)設%均為n維向量，下列結論不正確的是

(A)若對于任意一組不全為零的數(shù)占，左2,…，幻，都有占%+寸2%+…+冗4H0,

則名,火，…,a，線性無關.

(B)若%,4線性相關，則對于任意一組不全為零的數(shù)占?2,…,右，都有

k1%+k2a24----1-k、a*=0.

(C)%,a2，…,見線性無關的充分必要條件是此向量組的秩為s.

(D)%,a2,…,a,線性無關的必要條件是其中任意兩個向量線性無關.[B]

【分析】本題涉及到線性相關、線性無關概念的理解，以及線性相關、線性無關的等

價表現(xiàn)形式.應注意是尋找不正確的命題.

【詳解】(A):若對于任意一組不全為零的數(shù)占也，…,九，都有

kiai+k2a2+---+ksas0.則ai,a2,---,as必線性無關，因為若囚,。?，…,線性相關，

則存在一組不全為零的數(shù)匕，心，…,⑥，使得3+%2a2+…+￡a,=0,矛盾.可見(A)

成立.

(B)：若%,a?,…,a,線性相關，則存在一組，而不是對任意一組不全為零的數(shù)

ki,k2,---,ks,klal+k2a2+???+ksas=0.(B)不成立.

(C)4,…，見線性無關則此向量組的秩為s；反過來,若向量組鬼的秩

為s,則%,%，…,4線性無關，因此(C)成立.

(D)%,。2,…,4線性無關,則其任一部分組線性無關，當然其中任意兩個向量線性無

關，可見(D)也成立.

綜上所述，應選(B).

【評注】原命題與其逆否命題是等價的.例如，原命題：若存在一組不全為零的數(shù)

占,火2,…人，使得kI%+%2a2+…+&"=0成立，則%,。2,…，見線性相關.其逆否

命題為:若對于任意一組不全為零的數(shù)4,左2,…,左，都有占四+左2a2+…+&a,關0,

則%,。2,…,4線性無關.在平時的學習過程中，應經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等

價性.

（6）將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：A=｛擲第一次出現(xiàn)正面｝,42=｛擲第二次

出現(xiàn)正面｝,43=｛正、反面各出現(xiàn)一次｝，兒=｛正面出現(xiàn)兩次｝，則事件

（A）4,42,4相互獨立.（B）42,4，人4相互獨立.

（C）4,42，43兩兩獨立.（D）&，43,44兩兩獨立.[C]

【分析】按照相互獨立與兩兩獨立的定義進行驗算即可，注意應先檢查兩兩獨立，若成

立，再檢驗是否相互獨立.

【詳解】因為

p（A）=g,P（4）=pP（&）=g，P（&）=；，

且P（A4）=；，P（A|4）=：，P（A2A3）=：,P（444）=：P（A44）=0,

可見有

「（A1A2）=P（A）P（A2）,P（A1A3）=P（A）P（A3）,P（A2A3）=P（A2）P（4）,

尸（A44）wP（A）P（A2）P（4）,尸（A2A4）HP（A2）P（A4）.

故A，A2,A3兩兩獨立但不相互獨立；A2，A3，A4不兩兩獨立更不相互獨立，應選（C）.

【評注】本題嚴格地說應假定硬幣是均勻的，否則結論不一定成立.

三、（本題滿分8分）

設

//、111」，、

/（%）=——+-------------￡匚]）?

71XSin欣7T（1-X）2

試補充定義f（l）使得f（x）在上連續(xù).

【分析】只需求出極限lim/（x）,然后定義f（l）為此極限值即可.

【詳解】因為

limf（x）=lim[—+—--------!---]

x—rxf7ixsin^x

11..乃（l-x）-sinK

=—+—lim---------；------

7t乃（1-x）sin^x

11「-7T-7TCOS71X

=—+—lim-----------------------

7171Xf「-sin依+（1-X）7TCOS71X

117r2sinG

=—+—lim-------------------------------------------------

71乃Xfl-COSTlx-71COS71X-(1-X)7t~sin^X

71

由于f(x)在6，1)上連續(xù)，因此定義

71

使f(x)在±1]上連續(xù).

2

【評注】本題實質(zhì)上是一求極限問題，但以這種形式表現(xiàn)出來，還考查了連續(xù)的概念.

在計算過程中，也可先作變量代換y=l-x,轉(zhuǎn)化為求yf0+的極限，可以適當簡化.

四、(本題滿分8分)

設f(u,v)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足駕+駕=1,又g(x,y)=f[xy,-(x2-y2)],

dudv2

求駕+駕.

dx2dy~

【分析】本題是典型的復合函數(shù)求偏導問題：g=/(〃-)，〃=xy#=一y?)，

直接利用復合函數(shù)求偏導公式即可，注意利用"=2上.

dudvdvdu

df紅

【詳解】-y-------Fx

dudv'

/V

=-x------y

dudv

22工

a2g2a7df2更

故二-+2孫——+x

dx2y"dudvdv2dv，

a2g“彎d2f2d2f/

-2xy——+y

dy2du2dvdudv2dv

32g?2)以、也

a2g222

所以=(x+y■+U+yJ2

dx2②2du2dv

22

=x+y

【評注】本題考查半抽象復合函數(shù)求二階偏導.

五、(本題滿分8分)

計算二重積分

1=We(x+y2~ff)sin(x2+y2)dxdy.

D

其中積分區(qū)域D={(X,y)|x2+y2〈萬}.

【分析】從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應該利用極坐標進行計算.

【詳解】作極坐標變換：x=rcos0,y=rsind,有

1=eK(x+y2)sin(尤2+y2)dxdy

D

-en『『re"sinr~dr,

令￡=/,則

I=7ien/e~lsintdt.

記A=￡e_/sintdt,則

A=-^e~/intde1

=-[e~fsinr-Ce~fcostdt]

0J)

=-￡costde~l

=-[e~lcosr0+/e1sin,力]

3+1-A.

因此A=g(l+e-"),

j7teJ7i八

/=-(1+e")=7(l+e").

22

【評注】本題屬常規(guī)題型，明顯地應該選用極坐標進行計算，在將二重積分化為定積

分后，再通過換元與分步積分(均為最基礎的要求)，即可得出結果，綜合考查了二重積分、

換元積分與分步積分等多個基礎知識點.

六、(本題滿分9分)

求基級數(shù)1+￡(-1)"—(|x|<1)的和函數(shù)f(x)及其極值.

”=12〃

【分析】先通過逐項求導后求和，再積分即可得和函數(shù)，注意當x=0時和為1.求出

和函數(shù)后，再按通常方法求極值.

【詳解】

/(x)=￡(-1)十=_1T.

n=\1+X

上式兩邊從0到x積分，得

12

/(X)-/(0)=-f7V//=-2ln(l+x).

1+r2

由f(O)=i,得

/(x)=l-1ln(l+x2),(|x|<l).

令尸(x)=0,求得唯一駐點x=0.由于

/"(0)=-1<0,

可見f(x)在x=0處取得極大值，且極大值為

f(O)=l.

【評注】求和函數(shù)?般都是先通過逐項求導、逐項積分等轉(zhuǎn)化為可直接求和的兒何級

數(shù)情形，然后再通過逐項積分、逐項求導等逆運算最終確定和函數(shù).

七、(本題滿分9分)

設F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(-oo,+oo)內(nèi)滿足以下條件：

f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0,/(x)+g(x)=2e*.

(3)求F(x)所滿足的一階微分方程；

(4)求出F(x)的表達式.

【分析】F(x)所滿足的微分方程自然應含有其導函數(shù)，提示應先對F(x)求導，并將其

余部分轉(zhuǎn)化為用F(x)表示，導出相應的微分方程，然后再求解相應的微分方程.

【詳解】⑴由

F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

=g2M+f2(x)

=[fM+g(x)]2-2f(x)g(x)

=(2e")2-2F(x),

可見F(x)所滿足的一階微分方程為

F'(x)+2F(x)=4e2x.

⑵F(x)=e件[f4e2x-dx+C]

=e-2x[^4e4xdx+C]

=e_lx+?Ce__2x

將F(O)=f(O)g(O)=O代入上式，得

C=-l.

于是

F(x)=e2x-e-2x.

【評注】本題沒有直接告知微分方程，要求先通過求導以及恒等變形引出微分方程的

形式，從題型來說比較新穎，但具體到微分方程的求解則并不復雜，仍然是基本要求的范圍.

八、(本題滿分8分)

設函數(shù)f(x)在［0,3］上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導，且f(0)+f(l)+f(2)=3,f(3)=L試證必存在

會(0,3),使尸《)=0.

【分析】根據(jù)羅爾定理，只需再證明存在一點ce［0,3),使得/(c)=l=/(3),然后

在［c,3］上應用羅爾定理即可.條件f(0)+f(l)+f(2)=3等價于/(°)+川)+/(2)=1,問題轉(zhuǎn)

3

化為1介于f(x)的最值之間，最終用介值定理可以達到目的.

【詳解】因為f(x)在［0,3］上連續(xù)，所以f(x)在［0,2］上連續(xù)，且在［0,2］上必有最大

值M和最小值m,于是

m</(0)<M,

m</(I)<M，

m<f(2)<M.

故

3

由介值定理知，至少存在一點c€［0,2］?使

/⑹二如耍?“

因為f(c)=l=f(3),且f(x)在［c,3J上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導，所以由羅爾定理知，必存在

"(c,3)u(0,3),使/&)=0.

【評注】介值定理、微分中值定理與積分中值定理都是?？贾R點，且一般是兩兩結

合起來考.本題是典型的結合介值定理與微分中值定理的情形.

九、(本題滿分13分)

已知齊次線性方程組

(%+h)x}+a2x2+a3x3H-----Fanxn=0,

a[+(。2+b)x2+43X3+???+Q“尤〃=0,

<a}x]+a2x2+(%+/?)%3+???+Q“X〃=0,

axx}+a2x2+ci3x3H-----卜(冊+b)xn=0,

其“1Z"i工。試討論,。2，…，〃〃和b滿足何種關系時'

/=1

(1)方程組僅有零解；

(2)方程組有非零解.在有非零解時，求此方程組的一個基礎解系.

【分析】方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相同，問題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而

系數(shù)行列式的計算具有明顯的特征：所有列對應元素相加后相等.可先將所有列對應元素相

加，然后提出公因式，再將第一行的(-1)倍加到其余各行，即可計算出行列式的值.

【詳解】方程組的系數(shù)行列式

a1+ba2a3????

a\%+人心??a?

閭=%a24+0?■a?

a2a3?.%+b

=人0+七%).

/=1

(1)當〃H0時且6+f%H0時，秩(A)=n,方程組僅有零解.

1=1

(2)當b=0時，原方程組的同解方程組為

a[x[4-a2x2+???+a〃x〃=0.

由#0可知，為?=1,2/-,〃)不全為零.不妨設4工0,得原方程組的一個基礎

/=1

解系為

%=(.....-,1,0,…,0),,。2=(---工…，。)丁,=(-二~，0，。，…

4為ax

當。=—f《時，有人工0,原方程組的系數(shù)矩陣可化為

/=1

1=1

。2一。3

/=1

4a2a3-Xa<

i=l

a

%a23a“一￡《

i=]

（將第1行的-1倍加到其余各行,再從第2行到第n行同乘以-倍）

%

一“

%-Z%a2a3a?

(=1

-110???0

01???0

-100-??1

（將第n行-%倍到第2行的-a2倍加到第1行，再將第1行移到最后一行）

--110…0-

-101--?0

-100…1

000?-?0

由此得原方程組的同解方程組為

x2=xt,x3=X,,…，X“=X|.

原方程組的一個基礎解系為

【評注】本題的難點在匕=-時的討論，事實上也可這樣分析：此時系數(shù)矩陣的

/=1

秩為n-1（存在n-1階子式不為零），且顯然a=（1,1,…J）7"為方程組的一個非零解，即可作

為基礎解系.

十、（本題滿分13分）

設二次型

T

f（xl,x2,xi）-XAX=ax：+2x；-2x；+2bx/3s>0）,

中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.

(3)求a,b的值；

(4)利用正交變換將二次型f化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣.

【分析】特征值之和為A的主對角線上元素之和，特征值之積為A的行列式，由此可

求出a,b的值；進一步求出A的特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化(若

有必要)，然后將特征向量單位化并以此為列所構造的矩陣即為所求的正交矩陣.

【詳解】(1)二次型f的矩陣為

a0b

A=020.

b0-2_

設A的特征值為％(i=1,2,3).由題設，有一

4+4,+4=a+2+(—2)-1,

a0b

444=020=—4a—2b2=—12.

b0-2

解得a=l,b=-2.

(2)由矩陣A的特征多項式

2-10-2

\AE-A|=02-20=(4-2)2(/1+3),

-202+2

得A的特征值4=兒=2,=-3.

對于4=%=2,解齊次線性方程組QE-4)x=0,得其基礎解系

。=(2,0,1尸，^2=(0,1,0/.

對于4=-3,解齊次線性方程組(-3￡-A)x=0,得基礎解系

芻=(1,0,-2)1

由于芻看2，芻已是正交向量組，為了得到規(guī)范正交向量組，只需將142右3單位化，由此

得

令矩陣

21

o

一

君

后

Q辰-O10

-23-

-2

1o

一

V5V5

則Q為正交矩陣.在正交變換X=QY下，有

'200'

。7。=020,

00一3

且二次型的標準形為

/=24+234.

【評注】本題求a,b,也可先計算特征多項式，再利用根與系數(shù)的關系確定：

二次型f的矩陣A對應特征多項式為

X—ci0-h

\AE-=0/L-20=(/I-2)[/l2-(a-2)2~(2a+b2)].

-b02+2

設A的特征值為4,4,4,則4=2,4+4=4-2,丸24=—(2a+02).由題設得

4+丸2+4=2+（4—2）=1,

44243=—2（2。+匕2）=—12.

解得a=l,b=2.

十一、(本題滿分13分)

設隨機變量X的概率密度為

，若尤w[1,8],

/（幻=

其他；

F(x)是X的分布函數(shù).求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).

【分析】先求出分布函數(shù)F(x)的具體形式，從而可確定Y=F(X),然后按定義求Y的

分布函數(shù)即可.注意應先確定Y=F(X)的值域范圍(0<F(X)<1)，再對y分段討論.

【詳解】易見,當xvl時,F(x)=0;當x>8時，F(xiàn)(x)=l.

對于xc[l,8],有

F（x）t-\[x-1.

設G(y)是隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).顯然，當y<0時，G(y)=0；當y21時，G(y)=l.

對于yw[O,l),有

G(y)=P{y4y}=PS(X)Vy}

=P{^X-\<y}=P{X4()，+探}

=fl(y+l)3]=y.

于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為

0,若y<0,

G(y)=-y,^0<y<l,

1,若

【評注】事實上，本題X為任意連續(xù)型隨機變量均可，此時Y=F(X)仍服從均勻分布:

當y<0時，G(y)=0;

當yNl時，G(y)=l;

當04y<1時，G(y)=P{Y<y}=P{F(X)<y]

=P{X<F-l(y)}

=F(F-'(y))=y.

十二、(本題滿分13分)

設隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為

(12)

X~,

(0.30.7J

而Y的概率密度為f(y),求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u).

【分析】求二維隨機變量函數(shù)的分布，?般用分布函數(shù)法轉(zhuǎn)化為求相應的概率.注意X

只有兩個可能的取值，求概率時可用全概率公式進行計算.

【詳解】設F(y)是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為

G(u)=P{X+Y<u}

=Q.3P[X+Y<u\X=l}+0.7P{X+r<M|X=2}

=0.3P{K<M-1|X=l}+0.7P{y<M-2|X=2}.

由于X和Y獨立，可見

G(u)=<M-1}+0.1P[Y<M-2}

=0.3F(M-1)+0.7F(M-2).

由此，得u的概率密度