新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何加練課1空間向量的運(yùn)算及其應(yīng)用學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE8加練課1空間向量的運(yùn)算及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.自主檢測(cè)·必備知識(shí)見學(xué)用14頁(yè)一、概念辨析，判斷正誤1.空間中任意兩個(gè)非零向量a，b共面.(√)2.若a，b，c是空間的一組基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量.(×)3.若對(duì)于非零向量b，有a?b=二、夯實(shí)基礎(chǔ)，自我檢測(cè)4.已知a=(1，-32，52)A.23B.92C.-答案：B解析：因?yàn)閍∥b，所以a=tb，又所以1=-3t，-32=tλ解得t=-13，5.已知a=(1，0，1)，b=(x，1，2)，且a?b=3A.5?π6B.2?π3答案：D解析：$\because\$a?b=x+2=3，∴cos?a,b?=a?b6.已知a=(2，3，1)，b=(-4，2，x)，且a⊥答案：2解析：由題意知a?b=2×(-4)+3×2+1?x=0，$\therefore\$x=2，∴|b7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)答案：5解析：在正方體中得DO=因?yàn)镈O=xDA+yDC+zDD1，所以互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力學(xué)用15頁(yè)見探究點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算精講精練例在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)AB=a，AD（1）用向量a，b，c表示D1B，（2）若D1F=xa+yb+zc，求實(shí)數(shù)x，y答案：（1）D1EF（2）D1F=解題感悟用基向量表示指定向量的步驟（1）結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．（2）將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．（3）利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來(lái)．遷移應(yīng)用1.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．用AB，答案：1∵OC∴2.（2020山東濰坊高二期中）在空間四邊形OABC中,若E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，H是EF上一點(diǎn)，且EH=13EF，記答案：(解析：如圖，因?yàn)镋H=13EF，所以，OH=所以(x,y,z)=(1探究點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用精講精練類型1數(shù)量積的運(yùn)算例1（1）已知在三棱錐A-BCD中，底面BCD為等邊三角形，AB=AC=AD=3，BC=23，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn).若點(diǎn)M、N是空間中的兩動(dòng)點(diǎn)，且MBMF=NBNFA.3B.4C.6D.8（2）已知三點(diǎn)A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)QA?QB取得最小值時(shí)，答案：（1）B（2）(解析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)锳B=AC=AD=3，底面BCD為等邊三角形，且BC=23，所以O(shè)D=2，AO=5.則B(-3,-1,0)，D(0,2,0)，C(3,-1,0)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，所以E(32,12,0).點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，所以F(-34,-14,0),設(shè)（2）由點(diǎn)Q在直線OP上可得存在實(shí)數(shù)λ使得OQ=λOP，則有所以QA=(1-λ,2-λ,3-2λ)，QB所以QA?QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=2(3λ2-8λ+5),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)λ=43類型2數(shù)量積的應(yīng)用例2（1）已知向量a=(1,0,-1)，b=(-1,2,1)，且ka+bA.35B.45C.6（2）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AAA.255C.45答案：（1）D（2）A解析：（1）∵向量a=(1,0,-1)，b=(-1,2,1)，∴ka+b=(k-1,2,-k+1)，∴(k-1)×5+2×(-6)+(-k+1)×(-5)=0，解得k=11（2）以D為原點(diǎn),DA，DC，DD1的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（圖略）,依題意有M(2,0,1)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，設(shè)P(2,a,b)，則MC=(-2,2,-1)，D1P=(2,a,b-2)，因?yàn)镸C⊥D1P，所以(-2,2,-1)?(2,a,b-2)=-4+2a-b+2=0，解得12×|BC|×|PB解題感悟數(shù)量積的計(jì)算有兩種形式,一是利用數(shù)量積的定義,注意準(zhǔn)確地確定兩個(gè)向量的夾角；二是數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,在幾何圖形中建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系后,可把數(shù)量積的運(yùn)算坐標(biāo)化,使垂直、平行、夾角等問(wèn)題更易求解.遷移應(yīng)用1.若向量a=(1,λ,1)，b=(2,-1,-2)，且a與b夾角的余弦值為26A.-2B.2C.-2或2D.2答案：A解析：由題意可知|a|=2+λ2∴cos?a,b2.已知|a|=32，|b|=4，m=a+b，答案：-解析：由m⊥n，得(所以18+(λ+1)×32×4×cos?135探究點(diǎn)三空間向量的應(yīng)用精講精練例如圖所示,已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M,N分別是AB,CD的中點(diǎn).（1）求證：MN⊥（2）求|MN（3）求向量AN與MC的夾角的余弦值.答案：設(shè)AB=p，AC=由題意可知,|p|=|q|=|r（1）證明：MN=∴MN∴（2）由（1）可知MN=∴∣MN∴|MN（3）設(shè)向量AN與MC的夾角為θ.AN=12∴又∵|AN∴AN∴∴向量AN與MC的夾角的余弦值為23解題感悟利用數(shù)量積解決問(wèn)題的兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義,利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.可解決有關(guān)垂直、夾角、長(zhǎng)度的問(wèn)題.遷移應(yīng)用1.在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，答案：證明以A為原點(diǎn)，AB,AD,AA1所在的直線分別為x軸，y軸，設(shè)BE=x，因?yàn)锽E=CF，所以CF=x.因?yàn)檎襟wABCD-A1B所以B1(a,0,a)，D1(0,a,a)，所以B1所以B1所以B1評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升見學(xué)用16頁(yè)課堂檢測(cè)1.向量a=(1,2,x)，b=(y,2,-1)，若|a|=5A.-1B.1C.-4D.4答案：C2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1,2,3)，B(-2,-1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，則AB與CD()A.垂直B.平行C.異面D.不能判斷答案：B3.如圖，在空間四邊形ABCD中，AB?A.-1B.1C.0D.不確定答案：C素養(yǎng)演練邏輯推理——應(yīng)用空間向量解決共面問(wèn)題1.已知A,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任意一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足OM=（1）判斷MA?（2）判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).解析：審：已知點(diǎn)M滿足OM=13(OA+OB聯(lián)：利用空間向量的運(yùn)算消去O，利用共面向量定理判定MA,MB,MC三個(gè)向量是否共面，進(jìn)而