新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何加練課2空間角的計算含解析新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE11加練課2空間角的計算基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.若異面直線l1,l2的方向向量分別是a=(0,-2,-1),A.-25B.25C.答案：B2.若平面α的一個法向量為n=(4,1,1)，直線l的一個方向向量為a=(-2,-3,3)，則l與A.-1111B.1111C.答案：D3.（2021山東濟(jì)寧第一中學(xué)高二月考）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=1,AB=2，△PAB是等腰三角形，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，則異面直線EC與PDA.33B.63C.6答案：B4.（2020江蘇如皋中學(xué)高二月考）如圖，已知矩形ABCD與矩形ABEF全等，二面角D-AB-E為直二面角，M為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)M與BD所成角為θ，且cosθ=39A.1B.2C.22D.答案：C5.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是A.33B.C.13D.答案：B6.（多選）如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1CA.平面D1AB.BC∥平面AC.三棱錐D1D.直線D1P與AC答案：A;C解析：對于A，在正方體ABCD-A1B1C因?yàn)锳1D1?平面D1對于B，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，可得BC∥A對于C，因?yàn)镾△CDD1=12×1×1=所以三棱錐D1-CDP的體積對于D，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，可得D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0)，設(shè)則D1則cos＜當(dāng)a=1時，＜D當(dāng)a=0,b=1時，＜D所以直線D1P與AC所成角的范圍是7.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)答案：[解析：設(shè)正方體的棱長為2，以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則O(1,1,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),設(shè)E(a,2-a,2),0≤a≤2，則OE=(a-1,1-a,2)設(shè)平面A1BC則n?A1B→=0,n?B設(shè)直線OE與平面A1BC1所成的角為當(dāng)a=1時，sinθ取得最大值3當(dāng)a=0或a=2時，sinθ取得最小值2故直線OE與平面A1BC8.（2020湖北咸寧高二期中）如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°（1）求證：AC⊥平面BDE；（2）求二面角F-BE-D的余弦值.答案：（1）證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DE⊥AC.因?yàn)锳BCD是正方形，所以AC⊥BD又DE∩BD=D，DE?平面BDE，BD?平面BDE，所以AC⊥平面BDE.（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖所示.因?yàn)镈E⊥平面ABCD，且BE與平面ABCD所成角為60°，所以∠DBE=所以DEBD=3，由已知AD=3，可得BD=32，則則A(3,0,0),F(3,0,6所以BF=(0,-3,設(shè)平面BEF的一個法向量為n=(x,y,z)，則n?令z=6，則n=(4,2,因?yàn)锳C⊥平面BDE，所以CA=(3,-3,0)為平面BDE所以cos?因?yàn)槎娼荈-BE-D為銳角，所以其余弦值為13139.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD（1）證明：BD1∥（2）求直線A1D與平面答案：（1）證明：連接BD，與AC交于點(diǎn)F，連接EF，如圖.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以F是BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為DD1的中點(diǎn)，所以因?yàn)镋F?平面ACE，BD1?平面ACE，所以B（2）取AD的中點(diǎn)O，連接A1因?yàn)樵谒睦庵鵄BCD-A平面A1ADD底面ABCD是菱形，AA所以A1O⊥平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，OD所在直線為y軸，OA1所在直線為設(shè)AA1=則A1設(shè)平面ACE的一個法向量為n=(x,y,z)，則n?AC→=設(shè)A1D與平面ACE所成的角為θ，則所以直線A1D與平面ACE所成角的正弦值為素養(yǎng)提升練10.在底面為正三角形的直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=3，點(diǎn)D為棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AA.1B.2C.12答案：A解析：由題意知m＞0，過點(diǎn)A在平面ABC內(nèi)作Ax⊥AC，以A為原點(diǎn)，分別以Ax,AC,AA1所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則，A1設(shè)E(0,a,b),∵A1EAE=(0,2mm+1,3則n?AD令x=3，則y=-1，z=∴n取平面ADC的一個法向量為m=(0,0,1)由題意知cos?∴2m11.（2020山東威海高二月考)如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB=3,AA1=4，A.43B.53答案：B解析：連接PB.以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為則A(3,0,0),B(3,3,0),D設(shè)P(x,3,z)，則AP=(x-3,3,z),∵AP⊥BD∴z=3∴|BP|=(x-3)2∴∠APB即為AP與平面BCC∴tanθ=|AB|12.（2020浙江杭州高二期中）如圖，在直四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，AB⊥AD，AB=AD=1，AA'＞AB，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱BA.66B.22C.答案：C解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BE=m,DF=n(m≥0,n≥0)，則A(0,0,0),E(1,0,m),F(0,1,n)，設(shè)平面AEF的一個法向量為m=(x,y,z)則m?AE→=x+mz=0,m所以m=(-m,-n,1)，顯然u=(0,0,1)為平面因?yàn)槠矫鍭EF與平面ABC所成的（銳）二面角為30°，所以|所以m2+n2=13，所以m=13.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C（1）證明：平面ABC⊥平面BB（2）M,N分別是BC,B1C1的中點(diǎn)，P是線段AC1上的動點(diǎn)，若二面角答案：（1）證明：因?yàn)锳C=2,CC1=2,AC1=6，所以AC2+CC所以CC1⊥平面ABC.因?yàn)镃所以平面ABC⊥平面BB（2）連接AM，因?yàn)锳B=AC=2，M是BC的中點(diǎn)，所以AM⊥BC.由（1）知，平面ABC⊥平面BB1C1C以M為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Mxyz，則A(0,0,3),N(0,2則AP=(x,y,z-3),AC設(shè)平面MNP的一個法向量為n=(由n得{令z1=t，得易知平面BB1C因?yàn)槎娼荘-MN-C的平面角的大小為30°所以|m?n||m||所以點(diǎn)P為線段AC1上靠近點(diǎn)C1創(chuàng)新拓展練14.如圖1，在△MBC中，BM=2BC=4,BM⊥BC，A,D分別為BM,MC的中點(diǎn)，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使∠PAB=90°，如圖2，連接（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E為PC的中點(diǎn)，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值；（3）線段PC上是否存在一點(diǎn)G，使二面角G-AD-P的余弦值為31010？若存在，求出解析：命題分析本題為立體幾何中折疊問題與探究性問題的綜合應(yīng)用，難度稍大.意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和綜合應(yīng)用已有知識解決問題的能力.答題要領(lǐng)（1）由BM⊥BC可得BM⊥AD，得PA⊥AD，由∠PAB=90°得PA⊥AB，即可證明PA⊥平面ABCD，由此可以證明平面PAD⊥平面（2）建立空間直角坐標(biāo)系，得出平面PBD的一個法向量為n=(1,2,1)，設(shè)直線DE與平面PBD所成的角為θ，則sin（3）假設(shè)線段PC上存在一點(diǎn)G，使二面角G-AD-P的余弦值為31010.設(shè)G(x0,y0,z0),PGPC=λ(0≤λ≤1)，得出G(2λ,2λ,2-2λ)，求出平面答案：詳細(xì)解析（1）證明：因?yàn)锳,D分別為MB,MC的中點(diǎn)，所以AD∥BC.因?yàn)锽M⊥BC，所以BM⊥AD.所以PA⊥AD.因?yàn)椤螾AB=90°，所以又因?yàn)锳B∩AD=A，AB,AD?平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.又因?yàn)镻A?平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.（2）因?yàn)镻A⊥AB,PA⊥AD,AB⊥AD，所以AP,AB,AD兩兩垂直.則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，依題意有B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E(1,1,1).則DE=(1,0,1),設(shè)平面PBD的一個法向量為n=(則有BD→?令y1=2，則x1設(shè)直線DE與平面PBD所成的角為θ，則sinθ=|故直線DE與平面PBD所成角的正弦值為33（3）存在.假設(shè)線段PC上存在一點(diǎn)G，使二面角G-AD-P的余弦值為310由（2）可知，A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,1,0)，則PC=(2,2,-2),設(shè)G(x0,即PG=(所以G(2λ,2λ,2-2λ)，所以AG=(2λ,2λ,2-2λ)設(shè)平面ADG的一個法向量為n2則有AD即y令z2=λ，則易知平面PAD的一