高考數(shù)學二輪培優(yōu)講義指導三4

4.數(shù)列、不等式1．等差數(shù)列的有關概念及運算(1)等差數(shù)列的判斷方法：定義法an＋1－an＝d(d為常數(shù))或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．(2)等差數(shù)列的通項：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.(3)等差數(shù)列的前n項和：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)，Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.[回扣問題1]等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6等于()A．8 B．10 C．12 D．14答案C2．等差數(shù)列的性質(zhì)(1)當公差d≠0時，等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n項和Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n是關于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.(2)若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列．(3)當m＋n＝p＋q時，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當m＋n＝2p時，則有am＋an＝2ap.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列．[回扣問題2]設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當Sn取最小值時，n等于()A．6 B．7 C．8 D．9答案A3．等比數(shù)列的有關概念及運算(1)等比數(shù)列的判斷方法：定義法eq\f(an＋1,an)＝q(q為常數(shù))，其中q≠0，an≠0或eq\f(an＋1,an)＝eq\f(an,an－1)(n≥2)．(2)等比數(shù)列的通項：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.(3)等比數(shù)列的前n項和：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).(4)等比中項：若a，A，b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項．值得注意的是，不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個，即為±eq\r(ab).如已知兩個正數(shù)a，b(a≠b)的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關系為A＞B.[回扣問題3]等比數(shù)列{an}中，a3＝9，前三項和S3＝27，則公比q的值為________．答案1或－eq\f(1,2)4．等比數(shù)列的性質(zhì)(1)若{an}，{bn}都是等比數(shù)列，則{anbn}也是等比數(shù)列．(2)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{an}可能為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列．(3)等比數(shù)列中，當m＋n＝p＋q時，aman＝apaq.[回扣問題4]等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a4a5a6＝8，則log2a1＋log2a2＋…＋log2a9＝()A．9 B．6 C．4 D．3答案A5．數(shù)列求和的常見方法：公式、分組、裂項相消、錯位相減、倒序相加．關鍵找通項結構．(1)分組法求數(shù)列的和：如an＝2n＋3n；(2)錯位相減法求和：如an＝(2n－1)2n；(3)裂項法求和：如求1＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,1＋2＋3)＋…＋eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)；(4)倒序相加法求和．[回扣問題5]若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和Sn為()A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n2－2答案C6．求數(shù)列通項常見方法(1)已知數(shù)列的前n項和Sn，求通項an，可利用公式an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.))由Sn求an時，易忽略n＝1的情況．(2)形如an＋1＝an＋f(n)可采用累加求和法，例如{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋2n，求an；(3)形如an＋1＝can＋d可采用構造法，例如a1＝1，an＝3an－1＋2，求an.(4)歸納法，例如已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Seq\o\al(2,n)－(an＋2)Sn＋1＝0，求Sn，an.[回扣問題6]設數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq\f(n,3)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．答案an＝eq\f(1,3n)7．不等式兩端同時乘以一個數(shù)或同時除以一個數(shù)，必須討論這個數(shù)的正負或是否為零．兩個不等式相乘時，必須注意同向同正時才能進行．[回扣問題7]若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有()A.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) B.eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D.eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)答案B8．在求不等式的解集、定義域及值域時，其結果一定要用集合或區(qū)間表示，不能直接用不等式表示．[回扣問題8]已知關于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x＜－2，或x＞－eq\f(1,2)}，則ax2－bx＋c＞0的解集為________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜x＜2))))9．基本不等式：eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b＞0)，當且僅當a＝b時，“＝”成立．(1)推廣：eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a，b∈R＋)．(2)用法：已知x，y都是正數(shù)，則①若積xy是定值p，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(p)；②若和x＋y是定值s，則當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)s2.利用基本不等式求最值時，要注意驗證“一正、二定、三相等”的條件．[回扣問題9](1)已知x＞1，則x＋eq\f(4,x－1)的最小值為________．(2)已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，且eq\f(3,x)＋eq\f(4,y)的最小值是________．答案(1)5(2)7＋4eq\r(3)10．解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實