高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題限時(shí)集訓(xùn)7空間幾何體的表面積體積及有關(guān)量的計(jì)算文

/06/6/專題限時(shí)集訓(xùn)(七)空間幾何體的表面積、體積及有關(guān)量的計(jì)算[專題通關(guān)練](建議用時(shí)：30分鐘)1．(2019·大連模擬)三棱柱ABC-A1B1C1的體積為6，點(diǎn)M在棱CC1上，則四棱錐M-ABB1A1的體積為()A．4 B．1C．2 D．不能確定A[∵三棱錐ABC-A1B1C1的體積為6，點(diǎn)M在棱CC1上，∴四棱錐M-ABB1A1的體積為：VM-ABB1A1＝VC1-ABB1A1＝VABC-A1B1C1-VC1-ABC＝VABC-A1B1C1－eq\f(1,3)×VABC-A1B1C1＝6－eq\f(1,3)×6＝4.故選A.]2．(2019·河北模擬)若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．240B．264C．274D．282B[幾何體是以俯視圖為底面的五棱柱，底面看作是邊長(zhǎng)為6的正方形與一個(gè)直角三角形所組成，如圖：則該幾何體的表面積為：(10＋6＋6＋3＋5)×6＋2×6×6＋3×4＝264.故選B.]3．如圖，在棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱A1A和B1B上各有一動(dòng)點(diǎn)P，Q，滿足A1P＝BQ，過P，Q，C三點(diǎn)的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為()A．3∶1B．2∶1C．4∶1D.eq\r(3)∶1B[將P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此時(shí)仍滿足條件A1P＝BQ(＝0)，則有VC-AA1B＝VA1-ABC＝eq\f(VABC-A1B1C1,3).故過P，Q，C三點(diǎn)的截面把棱柱分成的兩部分的體積之比為2∶1(或1∶2)．]4．(2019·南寧一模)已知球的半徑為4，球面被互相垂直的兩個(gè)平面所截，得到的兩個(gè)圓的公共弦長(zhǎng)為2eq\r(2).若球心到這兩個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)圓的半徑之和為()A．4B．6C．8D．10B[如圖所示，設(shè)兩圓的圓心為O1、O2，球心為O，公共弦為AB，中點(diǎn)為E，因?yàn)閳A心到這兩個(gè)平面的距離相等，則OO1EO2為正方形，兩圓半徑相等，設(shè)兩圓半徑為r，|OO1|＝eq\r(16－r2)，|OE|＝eq\r(32－2r2)，又|OE|2＋|AE|2＝|OA|2，即32－2r2＋2＝16，則r2＝9，r＝3，所以，這兩個(gè)圓的半徑之和為6，故選B.]5．(2019·遂寧模擬)《九章算術(shù)》卷五商功中有如下描述：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．意思為：今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈，上棱長(zhǎng)2丈，高1丈．現(xiàn)有一芻甍，其三視圖如圖所示，設(shè)網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為2丈，那么該芻甍的體積為()A．5立方丈 B．20立方丈C．40立方丈 D．80立方丈C[由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去兩個(gè)相同的三棱錐后余下的部分，如圖：直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為8，底面三角形的底邊長(zhǎng)為6，底邊上的高為2，消去的三棱錐的高為2，∴幾何體的體積V＝eq\f(1,2)×6×2×8－2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×2×2＝40.故選C]6．(2019·常州模擬)用一個(gè)邊長(zhǎng)為2R的正方形卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面，再用一個(gè)半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則該圓柱與圓錐的體積之比為________．eq\f(16\r(3),π2)[設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，高為h，則2πr＝πR，∴r＝eq\f(R,2)∵R2＝r2＋h2，∴h＝eq\f(\r(3),2)R，∴V＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2×eq\f(\r(3),2)R＝eq\f(\r(3),24)πR3；用一個(gè)邊長(zhǎng)為2R的正方形卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面，圓柱的體積為：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,π)))2π×2R＝eq\f(2,π)R3.則該圓柱與圓錐的體積之比為：eq\f(\f(2,π)R3,\f(\r(3),24)πR3)＝eq\f(16\r(3),π2).]7．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)(包括邊)的動(dòng)點(diǎn)，且A1F∥平面D1AE，沿A1F將點(diǎn)B1所在的幾何體削去，則剩余幾何體的體積為________．eq\f(23,24)[分別取B1B，B1C1的中點(diǎn)M，N，連接A1M，MN，A1N，∵A1M∥D1E，A1M?平面D1AE，D1E?平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE.同理可得MN∥平面D1AE，又A1M，MN是平面A1MN內(nèi)的相交直線，∴平面A1MN∥平面D1AE，由此結(jié)合A1F∥平面D1AE，可得直線A1F?平面A1MN，即點(diǎn)F的軌跡是線段MN，∴VB1-A1MN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,24)，∴將點(diǎn)B1所在的幾何體削去，剩余幾何體的體積為1－eq\f(1,24)＝eq\f(23,24).]8．(2019·徐州模擬)已知一張矩形白紙ABCD，AB＝10，AD＝10eq\r(2)，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)分別將△ABE，△CDF沿BE，DF折起，使A，C重合于點(diǎn)P，則三棱錐P-DEF的外接球的表面積為________．150π[折疊后由于三角形DEF與DPF均為直角三角形，且DF為公共斜邊，故DF即為外接球直徑，易得DF＝5eq\r(6)，故外接球表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(6),2)))2＝150π.][能力提升練](建議用時(shí)：15分鐘)9．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中BC＝2，CC1＝2，點(diǎn)P在平面ABB1A1中，且PA1＝PB1＝eq\r(2)(1)求證：PC1⊥AB；(2)求三棱錐P-A1B1C的體積．[解](1)證明：設(shè)A1B1的中點(diǎn)為D，連接PD與DC1，∵PA1＝PB1，∴PD⊥A1B1，同理DC1⊥A1B1，又PD∩DC1＝D，∴A1B1⊥平面PDC1，∴A1B1⊥PC1.又∵AB∥A1B1，∴PC1⊥AB；(2)∵△A1B1C1為正三角形，邊長(zhǎng)為2，PA1＝PB1＝eq\r(2).∴VP-A1B1C＝VC-PA1B1＝VC1-PA1B1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3).10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為8的菱形，∠BAD＝60°，△PBD是等邊三角形，O為BD的中點(diǎn)，cos∠POC＝eq\f(1,3).(1)求證：BD⊥PC；(2)求四棱錐P-ABCD的體積．[解](1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，且AC與BD互相平分，又∵PB＝PD，O為BD的中點(diǎn)，∴BD⊥PO，又PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC，∵PC?平面PAC，∴BD⊥PC；(2)過點(diǎn)P作PE⊥OC，交點(diǎn)為E，∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥PE，又∵OC∩BD＝O，∴PE⊥平面ABCD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD與△PBD都是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，∴OP＝4eq\r(3)，∵cos∠POE＝eq\f(1,3)，∴sin∠POE＝eq\f(2\r(2),3)，則PE＝eq\f(8\r(6),3).∵S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)×AC×BD＝eq\f(1,2)×8×8eq\r(3)＝32eq\r(3)，∴VP-ABCD＝eq\f(1,3)×PE×S四邊形ABCD＝eq\f(1,3)×32eq\r(3)×eq\f(8\r(6),3)＝eq\f(256\r(2),3).題號(hào)內(nèi)容押題依據(jù)1數(shù)學(xué)文化、四面體的內(nèi)切球、數(shù)值問題球的體積問題是高考熱點(diǎn)之一，常結(jié)合錐體、柱體綜合考查內(nèi)切球、外接球的性質(zhì)．本題以數(shù)學(xué)文化為背景考查了四面體的內(nèi)切球問題；考查考生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)2四棱錐的體積，線面平行的判定本題突破常規(guī)，以水平放置的四棱錐為載體，考查線面平行的證明和求四棱錐的體積，滲透直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)【押題1】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在封閉的鱉臑P-ABC內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝1，則V的最大值是()A.eq\f(5\r(2)＋3,6)π B.eq\f(5π,3)C.eq\f(5\r(2)－7,6)π D.eq\f(32π,3)C[球與三棱錐的四個(gè)面均相切時(shí)球的體積最大，設(shè)此時(shí)球的半徑為R，則V三棱錐P-ABC＝eq\f(1,3)·R·(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋SPBC)，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3)×R×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1＋\f(1,2)×1×1＋\f(1,2)×1×\r(2)＋\f(1,2)×1×\r(2)))，解得R＝eq\f(\r(2)－1,2).所以球的體積V的最大值為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)－1,2)))3＝eq\f(5\r(2)－7,6)π.故選C.]【押題2】如圖，在四棱錐B-ACED中，AD⊥平面ABC，AB⊥AC，AD∥CE，AB＝AC＝AD＝eq\f(2,3)CE，F(xiàn)是BE上一點(diǎn)，且滿足BF＝2FE.(1)證明：DF∥平面ABC；(2)若AB＝2，求四棱錐F-ACED的體積．[解](1)證明：在線段BC上取一點(diǎn)G，使BG＝2GC，連接AG，F(xiàn)G(圖略)．因?yàn)锽F＝2FE，BG＝2GC，所以eq\f(BF,FE)＝eq\f(BG,GC)＝2，所以FG∥CE且FG＝eq\f(2,3)CE.又AD＝eq\f(2,3)CE，AD∥CE，所以FG＝AD，且FG∥AD.所以四邊形ADFG是平行四邊形，所以DF∥AG.又DF?平面ABC，AG?平面ABC，所以DF∥平面ABC.(2)因?yàn)锳B＝AC＝AD＝eq\f(2,3)CE，AB＝2，所以AD＝AC＝2，CE＝3.因?yàn)锳D⊥平面ABC，所以AD⊥AB，AD⊥AC.又AD∥CE，且AD≠CE，所以四邊形ACED是直角梯形．所以S梯形ACED＝eq\f(?AD＋