高考數(shù)學小題押題練（一）（文）（含解析）

/06/6/小題押題練(一)一、選擇題1．設全集U＝R，集合M＝{y|y＝lg(x2＋10)}，N＝{x|0<x<2}，則N∩(?UM)＝()A．(0,1) B．(0,1]C．(1,2) D．?解析：選A由M＝{y|y＝lg(x2＋10)}得M＝{y|y≥1}，所以?UM＝(－∞，1)，故N∩(?UM)＝(0,1)，故選A.2．已知復數(shù)z滿足(z＋1)(2＋3i)＝5－2i(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z的虛部為()A．－eq\f(19,13) B．eq\f(19,13)C．－eq\f(9,13)D.eqD.\f(9,13)解析：選A由(z＋1)(2＋3i)＝5－2i，得z＝eq\f(5－2i,2＋3i)－1＝eq\f(?5－2i??2－3i?,?2＋3i??2－3i?)－1＝eq\f(4－19i,13)－1＝－eq\f(9,13)－eq\f(19,13)i，所以復數(shù)z的虛部為－eq\f(19,13).3．已知向量a＝(1,3)，b＝(sinα，cosα)，若a∥b，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()A．－3 B．－2C.eq\f(2,3) D．2解析：選D因為a∥b，所以3sinα＝cosα?tanα＝eq\f(1,3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\f(1,3)＋1,1－\f(1,3))＝2，選D.4．(2018·合肥一模)已知等差數(shù)列{an}，若a2＝10，a5＝1，則{an}的前7項和等于()A．112 B．51C．28 D．18解析：選C設等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意，得d＝eq\f(a5－a2,5－2)＝－3，a1＝a2－d＝13，則S7＝7a1＋eq\f(7×?7－1?,2)d＝7×13－7×9＝28，故選C.5．過點(1，－2)的拋物線的標準方程是()A．y2＝4x或x2＝eq\f(1,2)y B．y2＝4xC．y2＝4x或x2＝－eq\f(1,2)y D．x2＝－eq\f(1,2)y解析：選C設焦點在x軸上的拋物線的標準方程為y2＝ax，將點(1，－2)代入可得a＝4，故拋物線的標準方程是y2＝4x；設焦點在y軸上的拋物線的標準方程為x2＝by，將點(1，－2)代入可得b＝－eq\f(1,2)，故拋物線的標準方程是x2＝－eq\f(1,2)y.綜上可知，過點(1，－2)的拋物線的標準方程是y2＝4x或x2＝－eq\f(1,2)y.6．一個質地均勻的正四面體玩具的四個面上分別標有1,2,3,4這四個數(shù)字，若連續(xù)兩次拋擲這個玩具，則兩次向下的面上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是()A.eq\f(1,2)B.eqB.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eqD.eq\f(3,4)解析：選D拋擲兩次該玩具共有16種情況：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，…，(4,4)．其中乘積是偶數(shù)的有12種情況：(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以兩次向下的面上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是P＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).7．(2018·長郡中學月考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的i＝1，S＝0，則輸出的i為()A．7 B．9C．10 D．11解析：選B依題意，執(zhí)行程序框圖，i＝1，S＝0<2，S＝ln3，i＝3，S<2；S＝ln5，i＝5，S<2；S＝ln7，i＝7，S<2；S＝ln9，i＝9，S>2，此時結束循環(huán)，輸出的i＝9，選B.8．(2018·鄭州模擬)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積等于()A．10cm3 B．C．30cm3 D．40解析：選B由三視圖知該幾何體為底面為長方形的四棱錐，記為四棱錐A-BDD1B1，將其放在長方體中如圖所示，則該幾何體的體積V＝V長方體ABCD-A1B1C1D1－V三棱錐A-A1B1D1－V三棱柱BCD-B1C1D1＝3×4×5－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×5－eq\f(1,2)×3×4×5＝20(cm3)，故選B.9．《周易》歷來被人們視作儒家群經之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物深刻而又樸素的認識，是中華人文文化的基礎，它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法．我們用近代術語解釋為：把陽爻“”當作數(shù)字“1”，把陰爻“”當作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：卦名符號表示的二進制數(shù)表示的十進制數(shù)坤0000艮0011坎0102巽0113依次類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號為“”，其表示的十進制數(shù)是()A．33 B．34C．36 D．35解析：選B由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦的符號“”表示的二進制數(shù)為，轉化為十進制數(shù)為0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故選B.10.(2018·成都模擬)如圖，已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，長方形ABCD的頂點A，B分別為雙曲線E的左、右焦點，且點C，D在雙曲線E上，若|AB|＝6，|BC|＝eq\f(5,2)，則雙曲線E的離心率為()A.eq\r(2) B．eq\f(3,2)C.eq\f(5,2) D.eq\r(5)解析：選B根據(jù)|AB|＝6可知c＝3，又|BC|＝eq\f(5,2)，所以eq\f(b2,a)＝eq\f(5,2)，b2＝eq\f(5,2)a，c2＝a2＋eq\f(5,2)a＝9，得a＝2(舍負)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2).11．(2018·山東德州模擬)已知在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc，a＝eq\r(3)，S為△ABC的面積，則S＋eq\r(3)cosBcosC的最大值為()A．1 B．eq\r(3)C.eq\r(3)＋1 D．3解析：選B因為a2＝b2＋c2＋bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(bc,2bc)＝－eq\f(1,2).又A為△ABC的內角，所以0<A<π，所以A＝eq\f(2π,3).所以eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝2，故b＝2sinB，c＝2sinC，所以S＋eq\r(3)cosBcosC＝eq\f(1,2)bcsinA＋eq\r(3)cosBcosC＝eq\f(\r(3),4)bc＋eq\r(3)cosBcosC＝eq\r(3)sinBsinC＋eq\r(3)cosBcosC＝eq\r(3)cos(B－C)，又A＋B＋C＝π，A＝eq\f(2π,3)，所以B－C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，所以cos(B－C)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，當B＝C時，cos(B－C)＝1，所以S＋eq\r(3)cosBcosC∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\r(3)))，即S＋eq\r(3)cosBcosC的最大值為eq\r(3).12．已知函數(shù)f(x)＝(x－b)lnx＋x2在區(qū)間[1，e]上單調遞增，則實數(shù)b的取值范圍是()A．(－∞，－3]B．(－∞，2e]C．(－∞，3]D．(－∞，2e2＋2e]解析：選C由題意可得f′(x)＝lnx＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b,x)))＋2x，滿足題意時f′(x)＝lnx＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b,x)))＋2x≥0在區(qū)間[1，e]上恒成立，即b≤x(lnx＋2x＋1)在區(qū)間[1，e]上．令g(x)＝x(lnx＋2x＋1)，則g′(x)＝lnx＋4x＋2，很明顯g′(x)是定義域內的增函數(shù)，則g′(x)≥g′(1)＝6>0，則函數(shù)g(x)在定義域內單調遞增，在[1，e]上，g(x)min＝g(1)＝3，所以實數(shù)b的取值范圍是(－∞，3]．二、填空題13．(2018·遼寧五校聯(lián)考)已知x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y－2≥0，,x＋y－4≤0，,x－3y＋3≤0，))則z＝－3x＋y的最小值為________．解析：作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y－2≥0，,x＋y－4≤0，,x－3y＋3≤0))表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，易得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))，B(1,3)．顯然目標函數(shù)z＝－3x＋y在點B處取得最小值，zmin＝－3×1＋3＝0.答案：014．過點P(－eq\r(3)，0)作直線l與圓O：x2＋y2＝1交于A、B兩點，O為坐標原點，設∠AOB＝θ，且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，當△AOB的面積為eq\f(\r(3),4)時，直線l的斜率為________．解析：由題意得|OA|＝|OB|＝1，∵△AOB的面積為eq\f(\r(3),4)，∴eq\f(1,2)×1×1×sinθ＝eq\f(\r(3),4)，∴sinθ＝eq\f(\r(3),2)，∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴θ＝eq\f(π,3)，∴△AOB為正三角形，∴圓心(0,0)到直線l的距離為eq\f(\r(3),2)，設直線l的方程為y＝k(x＋eq\r(3))，即kx－y＋eq\r(3)k＝0，∴eq\f(|\r(3)k|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(3),2)，∴k＝±eq\f(\r(3),3).答案：±eq\f(\r(3),3)15.已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC＋ccosA＝bsinB，A＝eq\f(π,6)，如圖，若點D是△ABC外一點，DC＝2，DA＝3，則當四邊形ABCD面積最大時，sinD＝________.解析：由acosC＋ccosA＝bsinB及余弦定理得a×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c×eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝bsinB，即b＝bsinB?sinB＝1?B＝eq\f(π,2)，又∠CAB＝eq\f(π,6)，∴∠ACB＝eq\f(π,3).BC＝a，則AB＝eq\r(3)a，AC＝2a，S△ABC＝eq\f(1,2)×a×eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),2)a2.在△ACD中，cosD＝eq\f(AD2＋CD2－AC2,2AD·CD)＝eq\f(13－4a2,12)，∴a2＝eq\f(13－12cosD,4).又S△ACD＝eq\f(1,2)AD·CDsinD＝3sinD，∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(\r(3),2)a2＋3sinD＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(13－12cosD,4)＋3sinD＝3sinD－eq\f(3\r(3),2)cosD＋eq\f(13\r(3),8)＝eq\f(3\r(7),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(7))sinD－\f(\r(3),\r(7))cosD))＋eq\f(13\r(3),8)＝eq\f(3\r(7),2)sin(D－θ)＋eq\f(13\r(3),8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中θ滿足tanθ＝\f(\r(3),2)))，∴當D－θ＝eq\f(π,2)，即D＝eq\f(π,2)＋θ時，S四邊形ABCD最大，此時sinD＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝cosθ＝eq\f(2,\r(7))＝eq\