高考數(shù)學(xué)（理）一輪講義第11講函數(shù)與方程

/11/11/第11講函數(shù)與方程考綱要求考情分析命題趨勢1．結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)．2．根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解．2023·江蘇卷，142016·天津卷，81．函數(shù)的零點問題是命題熱點，經(jīng)?？疾楹瘮?shù)零點存在的區(qū)間和零點個數(shù)的判斷，難度不大．2．函數(shù)零點性質(zhì)的應(yīng)用主要是利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的范圍．分值：5～8分1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使__f(x)＝0__成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)三個等價關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與__x軸__有交點?函數(shù)y＝f(x)有__零點__.(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有__f(a)·f(b)<0__，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間__(a，b)__內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，這個__c__也就是f(x)＝0的根．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零點Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數(shù)__兩個____一個__無3．二分法(1)二分法的定義對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且__f(a)·f(b)<0__的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間__一分為二__，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近__零點__，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟第一步，確定區(qū)間[a，b]，驗證__f(a)·f(b)<0__，給定精確度ε.第二步，求區(qū)間(a，b)的中點x1．第三步，計算f(x1)：①若__f(x1)＝0__，則x1就是函數(shù)的零點；②若__f(a)·f(x1)<0__，則令b＝x1(此時零點x0∈(a，x1))；③若__f(x1)·f(b)<0__，則令a＝x1(此時零點x0∈(x1，b))．第四步，判斷是否達到精確度ε，即若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)．否則重復(fù)第二、第三、第四步．4．有關(guān)函數(shù)零點的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號．1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)．(1)函數(shù)f(x)＝x2－1的零點是(－1,0)和(1,0)．(×)(2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則一定有f(a)·f(b)<0.(×)(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時沒有零點．(√(4)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個零點．(√)解析(1)錯誤．函數(shù)f(x)＝x2－1的零點為－1和1，而并非其與x軸的交點(－1,0)與(1,0)．(2)錯誤．函數(shù)f(x)＝x2－x在(－1,2)上有兩個零點，但f(－1)·f(2)>0.(3)正確．當(dāng)b2－4ac<0時，二次函數(shù)圖象與x軸無交點，從而二次函數(shù)沒有零點(4)正確．由已知條件，數(shù)形結(jié)合得f(x)與x軸在區(qū)間[a，b]上有且僅有一個交點，故正確．2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是(A)A．y＝cosx B．y＝sinxC．y＝lnx D．y＝x2＋1解析y＝cosx是偶函數(shù)，且存在零點；y＝sinx是奇函數(shù)；y＝lnx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；y＝x2＋1是偶函數(shù)，但不存在零點．故選A．3．函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是(B)A．0 B．1C．2 D．3解析函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2顯然是一個單調(diào)遞增且是連續(xù)的函數(shù)，同時f(0)·f(1)＝(－1)×1＝－1<0.由函數(shù)零點存在性定理可知，函數(shù)在(0,1)內(nèi)必存在唯一一個零點，故選B．4．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程ex－x－2＝0的一個根所在的區(qū)間為(C)x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)解析設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－x－2，從表中可以看出f(1)·f(2)<0，因此方程ex－x－2＝0的一個根所在的區(qū)間為(1,2)．5．用二分法求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(2,4)上的近似解，驗證f(2)·f(4)<0，給定精確度ε＝0.01，取區(qū)間(2,4)的中點x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，計算得f(2)·f(x1)<0，則此時零點x0∈__(2,3)__(填區(qū)間)．解析由f(2)·f(3)<0可知x0∈(2,3)．一函數(shù)零點的所在區(qū)間判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法(1)當(dāng)能直接求出零點時，就直接求出進行判斷．(2)當(dāng)不能直接求出時，可根據(jù)零點存在性定理判斷．(3)當(dāng)用零點存在性定理也無法判斷時可畫出圖象判斷．【例1】(1)函數(shù)f(x)＝1－xlog2x的零點所在區(qū)間是(C)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1,2) D．(2,3)(2)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間(A)A．(a，b)和(b，c)內(nèi)B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)解析(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－eq\f(1,4)log2eq\f(1,4)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1－eq\f(1,2)log2eq\f(1,2)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)>0，f(1)＝1－0>0，f(2)＝1－2log22＝－1<0，由f(1)f(2)<0知選C．(2)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)·(c－b)．又a<b<c，則f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又該函數(shù)是二次函數(shù)，且開口向上，可知兩根分別在(a，b)和(b，c)內(nèi)．二判斷函數(shù)零點的個數(shù)判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質(zhì)．(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題．先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．【例2】(1)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[0,1]時，f(x)＝x，則方程f(x)＝log3|x|的零點個數(shù)是(C)A．2 B．3C．4 D．多于4(2)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lnx，x>0))的零點個數(shù)是__2__.解析(1)由f(x＋2)＝f(x)，知函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫出y＝log3|x|和y＝f(x)，x∈[－3,3]的圖象，如圖所示，由圖可知零點個數(shù)為4.(2)當(dāng)x≤0時，令f(x)＝0，即x2－2＝0，∴x＝eq\r(2)(舍)或x＝－eq\r(2).當(dāng)x>0時，f(x)＝2x－6＋lnx，顯然f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又∵f(1)＝－4<0，f(3)＝ln3>0，故f(x)在(1,3)上存在唯一零點，即f(x)在(0，＋∞)上存在唯一零點，∴f(x)共有2個零點．三函數(shù)零點的應(yīng)用函數(shù)零點應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)已知函數(shù)零點存在求參數(shù)．根據(jù)函數(shù)零點或方程的根求解參數(shù)應(yīng)分三步：①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式；③解不等式，即得參數(shù)的取值范圍．(2)已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)．常利用數(shù)形結(jié)合法．(3)借助函數(shù)零點比較大?。容^f(a)與f(b)的大小，通常先比較f(a)，f(b)與0的大小．【例3】(1)若函數(shù)f(x)＝3ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是(BA．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)) B．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,5))) D．(－∞，－1)(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,x－1，x>1，))則函數(shù)F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)總有零點時，a的取值范圍是(A)A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．[－1,2)C．[－1,0]∪(1,2] D．[0,1]解析(1)要使函數(shù)在(－1,1)上存在一個零點，則有f(－1)·f(1)<0，即(－5a＋1)(a＋1)<0，所以(5a－1)(a＋1)>0，解得a>eq\f(1,5)或a<－1，故選B．(2)由F(x)＝0，得f(x)＝a2－a－1，因為函數(shù)f(x)的值域為(－1，＋∞)，故a2－a－1>－1，解得a<0或a>1．故選A．1．函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)的一個零點所在的區(qū)間是(B)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析因為f(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，所以f(x)在(1,2)上必存在零點，故選B．2．已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－eq\f(1,\r(x))的零點依次為a，b，c，則(A)A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c解析在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y＝2x，y＝log3x，y＝－eq\f(1,\r(x))的圖象，如圖，觀察它們與直線y＝－x的交點可知a<b<c.3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,log2x，x>0，))則函數(shù)y＝f(f(x))－1的零點個數(shù)為__2__.解析當(dāng)x≤0時，0<2x≤1，所以f(f(x))－1＝log22x－1＝x－1＝0，得x＝1(舍去)；當(dāng)x>1時，f(x)＝log2x>0，所以f(f(x))－1＝log2(log2x)－1＝0，得log2x＝2，x＝4；當(dāng)0<x≤1時，f(x)＝log2x≤0，所以令f(f(x))－1＝2log2x－1＝x－1＝0，得x＝1，所以函數(shù)y＝f(f(x))－1的零點是4,1，共有2個．4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤a，,x2，x>a.))若存在實數(shù)b，使函數(shù)g(x)＝f(x)－b有兩個零點，則a的取值范圍是__(－∞，0)∪(1，＋∞)__.解析當(dāng)a<0時，若x∈(a，＋∞)，則f(x)＝x2，當(dāng)b∈(0，a2)時，函數(shù)g(x)＝f(x)－b有兩個零點，分別是x1＝－eq\r(b)，x2＝eq\r(b).當(dāng)0≤a≤1時，f(x)的圖象如圖(1)所示．易知函數(shù)g(x)＝f(x)－b最多有一個零點．當(dāng)a>1時，f(x)的圖象如圖(2)所示．圖(1)圖(2)當(dāng)b∈(a2，a3]時，函數(shù)g(x)＝f(x)－b有兩個零點，分別是x1＝eq\r(3,b)，x2＝eq\r(b).綜上，a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．易錯點不會借助圖象解決方程根的范圍或根的個數(shù)問題錯因分析：涉及方程根的個數(shù)問題，通常需要找出兩個函數(shù)，看它們的圖象交點有幾個．【例1】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x＝0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))，x≠0，))則關(guān)于x的方程(f(x))2＋bf(x)＋c＝0有5個不同實數(shù)根的充要條件是()A．b<－2且c>0 B．b>－2且c<0C．b<－2且c＝0 D．b≥－2且c＝0解析令f(x)＝t，則方程為t2＋bt＋c＝0.設(shè)t1，t2為它的兩個根，則f(x)＝t1和f(x)＝t2共有5個不同實根，y＝f(x)的圖象如圖所示．則t1>2，t2＝0，∴c＝0.由t2＋bt＝t(t＋b)＝0，得t1＝－b>2，∴b<－2，故選C．答案C【跟蹤訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋?4a－3?x＋3a，x<0，,loga?x＋1?＋1，x≥0))(a>0，且a≠1)在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f(x)|＝2－x恰有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是(C)A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))解析要使函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3－4a,2)≥0，,0<a<1，,3a≥1，))解得eq\f(1,3)≤a≤eq\f(3,4)，因為方程|f(x)|＝2－x恰有兩個不相等的實數(shù)解，所以直線y＝2－x與函數(shù)y＝|f(x)|的圖象有兩個交點．如圖所示．易知y＝|f(x)|的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)為eq\f(1,a)－1，又eq\f(1,3)≤eq\f(1,a)－1≤2，故由圖可知，直線y＝2－x與y＝|f(x)|的圖象在x>0時有一個交點；當(dāng)直線y＝2－x與y＝x2＋(4a－3)x＋3a(x<0)的圖象相切時，設(shè)切點為(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x0＝x\o\al(2,0)＋?4a－3?x0＋3a，,－1＝2x0＋?4a－3?，))整理可得4a2－7a＋3＝0，解得a＝1(舍)或a＝eq\f(3,4).而當(dāng)3a≤2，即a≤eq\f(2,3)時，直線y＝2－x與y＝|f(x)|的圖象在y軸左側(cè)有一個交點，綜合可得a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))).課時達標(biāo)第11講[解密考綱]本考點考查函數(shù)與方程的關(guān)系、函數(shù)的零點．在近幾年的高考卷中選擇題、填空題、解答題都出現(xiàn)過．選擇題、填空題通常排在中間位置，解答題往往與其他知識綜合考查，題目難度中等．一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝x3＋2x－1的零點所在的大致區(qū)間是(A)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，則f(0)·f(1)＝－2<0，且函數(shù)f(x)＝x3＋2x－1的圖象是連續(xù)曲線，所以f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點．2．滿足方程lnx＋x－4＝0的x0屬于區(qū)間(C)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析設(shè)f(x)＝lnx＋x－4，因為f(2)＝ln2＋2－4<0，f(3)＝ln3＋3－4>0，故零點一定在區(qū)間(2,3)內(nèi)．3．f(x)＝2sinπx－x＋1的零點個數(shù)為(B)A．4 B．5C．6 D．7解析令f(x)＝0，則2sinπx＝x－1，令h(x)＝2sinπx，g(x)＝x－1，則f(x)＝2sinπx－x＋1的零點個數(shù)為兩個函數(shù)h(x)與g(x)圖象的交點個數(shù)．h(x)＝2sinπx的最小正周期為T＝eq\f(2π,π)＝2，在同一坐標(biāo)系中，畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，兩個函數(shù)圖象的交點一共有5個，所以f(x)＝2sinπx－x＋1的零點個數(shù)為5.4．已知方程|x2－a|－x＋2＝0有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為(B)A．(0,4) B．(4，＋∞)C．(0,2) D．(2，＋∞)解析依題意，知方程|x2－a|＝x－2有兩個不等的實數(shù)根，即函數(shù)y1＝|x2－a|的圖象與函數(shù)y2＝x－2的圖象有兩個不同的交點．如圖，則eq\r(a)>2，即a>4，故選B．5．已知函數(shù)f(x)＝e|x|＋|x|，若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是(B)A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－1,0) D．(－∞，－1)解析因為f(－x)＝e|－x|＋|－x|＝e|x|＋|x|＝f(x)，故f(x)是偶函數(shù)．當(dāng)x≥0時，f(x)＝ex＋x是增函數(shù)，故f(x)≥f(0)＝1，由偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，知f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，值域為[1，＋∞)，作出函數(shù)y＝f(x)與y＝k的圖象，如圖所示，由圖可知，實數(shù)k的取值范圍是(1，＋∞)，故選B．6．已知f(x＋1)＝f(x－1)，f(x)＝f(－x＋2)，方程f(x)＝0在[0,1]內(nèi)有且只有一個根x＝eq\f(1,2)，則f(x)＝0在區(qū)間[0,2017]內(nèi)根的個數(shù)為(C)A．2015 B．1008C．2017 D．1009解析由f(x＋1)＝f(x－1)，可知f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期是2.由f(x)＝f(－x＋2)可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．因為函數(shù)f(x)＝0在[0,1]內(nèi)有且只有一個根x＝eq\f(1,2)，所以函數(shù)f(x)＝0在區(qū)間[0,2017]內(nèi)根的個數(shù)為2017，故選C．二、填空題7．若二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋4在(1，＋∞)上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為?。?！eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))###.解析依據(jù)二次函數(shù)的圖象有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(－2a,2)>1，,f?1?>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2－16>0，,a>1，,a<\f(5,2)，))解得2<a<eq\f(5,2).8．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x>0時，f(x)＝2017x＋log2017x，則在R上函數(shù)f(x)零點的個數(shù)為__3__.解析函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(0)＝0，當(dāng)x>0時，f(x)＝2017x＋log2017x在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2017)))內(nèi)存在一個零點，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個零點．根據(jù)對稱性可知函數(shù)在(－∞，0)內(nèi)有且僅有一零點，從而函數(shù)f(x)在R上的零點的個數(shù)為3.9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,x2－3ax＋a，x>0))有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是?。。q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,9)，1))###.解析依題意，要使函數(shù)f(x)有三個不同的零點，則當(dāng)x≤0時，方程2x－a＝0，即2x＝a必有一個根，此時0<a≤1；當(dāng)x>0時，方程x2－3ax＋a＝0有兩個不等的實根，即方程x2－3ax＋a＝0有兩個不等的正實根，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝9a2－4a>0，,3a>0，,a>0，))解得a>eq\f(4,9)，因此，滿足題意的實數(shù)a需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a≤1，,a>\f(4,9)，))即eq\f(4,9)<a≤1．三、解答題10．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時，求函數(shù)f(x)的零點；(2)若對任意b∈R，函數(shù)f(x)恒有兩個不同零點，求實數(shù)a