近世代數(shù)第一章小結(jié)

集合集合兩群關(guān)第一章小結(jié)本章主要研究群的有關(guān)問題：定義性質(zhì)、子群及不變子群、三類重要的群——變換群、置換群、循環(huán)群、同態(tài)與同構(gòu)主要內(nèi)容有：一、

基本概預(yù)備知識(shí)

--相等集合集合運(yùn)算并集（笛卡兒積）映射滿射映射變換運(yùn)算關(guān)系與分類群

阿爾群b有b）非換（，使ab)群義群G—G子群陪集--商群群——由一個(gè)非空集合的干一換成群三重群——n有集的干一換置）成群循群——個(gè)素是個(gè)的在運(yùn)的射同存在保運(yùn)的一射單位元、逆元、元素的階、子群在群中的數(shù).

二、主要結(jié)論1.的基本性：1——，定理1.2.1；2.素階的性：定理1.2.3---1.2.43子群的判別件（重）為群

的非空子集.則

為

的子群的充分必要條件是:任給

有

，任給

有

（2）任給（3）任給

有有

（只適合有限子集）子的質(zhì)子群的交集仍是子群．集商性設(shè)是的群則（）aH=Ha=H當(dāng)僅當(dāng)a∈（2）（3）

當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)

;;（4）集之并

的任何兩個(gè)左(右)陪集或者完全相同,或無(wú)公共元素因

可以表示成一些不相交的左(右陪（5(拉朗定)限群

的任一子群

的階數(shù)是群

的階數(shù)的因且G|=|H|[GH]（）有限群的任一元素的階都是群

的階數(shù)的因即a|||G|（）

為有限群.

,則任意的,.正規(guī)不變）子的別件N是

的子群，則N是G的變子群的充要條件是（）任意的（）（）

,,

,都aN=Na;,.6.變換群、換群、環(huán)群的結(jié)論（1）個(gè)集合A的所有一一變換作成一個(gè)變換群。(2)(萊定理)

任一群都同構(gòu)于一個(gè)變換群

(3)

推論：一個(gè)有限群都同構(gòu)于一個(gè)置換群.個(gè)元素的全體置換關(guān)于置換的法構(gòu)成.(4)每一置換可唯一表為若干個(gè)不相交輪換循環(huán)置換乘積(5)每一循環(huán)置換都可以表為若干個(gè)對(duì)換的乘積.(6)

每一置換都可表為若干個(gè)對(duì)換的乘積(7)

為群,,則|a|=|a|（8設(shè)（9設(shè)

為群,為群,

,ΙΙ=n且,則.,如果|a|=n,|ar|=n/d(d=(r,n))（10）設(shè)

為

階循環(huán)群

.則

為

的生成元的充分必要條件是（11）循環(huán)群必是交換群（12）循環(huán)群的子群必是循環(huán)群（13）設(shè)

為循環(huán)群,且G=（a則如果如果同態(tài)同性

,則,則

;(1)

設(shè)G是個(gè)群，

是一個(gè)非空集合，若G與

對(duì)于它們的乘法來(lái)說(shuō)同態(tài)，則

也是一個(gè)群(2)

定理1.8.2

設(shè)

群,

是

同態(tài)映滿射.1)如果是2)對(duì)于任意的

的單位元?jiǎng)t,

是

單位元;的逆元.即(3)定理1.8.3-----滿射、單射的條件

(4)定理1.8.4—態(tài)映射保子群、正規(guī)子群(5)定理1.8.5------同態(tài)基本定理三、基本方法與型1、群的判別----定義法2、子群的判別方法（四種方法）：義法；

定理1定理2；定3（限）；3正規(guī)子群的判別方法（四種方法）：義法；

定理1）-3）；4、求有限群的子群方法：（重點(diǎn)掌握循環(huán)群的子群求法）1）確定子群的可能階數(shù)；2）按階數(shù)確定可能的子集；3）判斷哪個(gè)是子群。5、求正規(guī)子群方法：1）求子群；）判別哪些子群是正規(guī)子群（交換群的子群都是正規(guī)子群）6、求陪集：定義法7、求商群方法：按定義8、計(jì)算置換的乘積、逆、階----定義方法9、把置換表成不相連的循環(huán)置換的乘積或?qū)Q的乘積10、

求元素的階：1）定義方法2）有關(guān)性質(zhì)11、判別循環(huán)群方法：定義法