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文檔簡介

集合集合兩群關(guān)第一章小結(jié)本章主要研究群的有關(guān)問題:定義性質(zhì)、子群及不變子群、三類重要的群——變換群、置換群、循環(huán)群、同態(tài)與同構(gòu)主要內(nèi)容有:一、

基本概預(yù)備知識

--相等集合集合運(yùn)算并集(笛卡兒積)映射滿射映射變換運(yùn)算關(guān)系與分類群

阿爾群b有b)非換(,使ab)群義群G—G子群陪集--商群群——由一個非空集合的干一換成群三重群——n有集的干一換置)成群循群——個素是個的在運(yùn)的射同存在保運(yùn)的一射單位元、逆元、元素的階、子群在群中的數(shù).

二、主要結(jié)論1.的基本性:1——,定理1.2.1;2.素階的性:定理1.2.3---1.2.43子群的判別件(重)為群

的非空子集.則

的子群的充分必要條件是:任給

,任給

(2)任給(3)任給

有有

(只適合有限子集)子的質(zhì)子群的交集仍是子群.集商性設(shè)是的群則()aH=Ha=H當(dāng)僅當(dāng)a∈(2)(3)

當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)

;;(4)集之并

的任何兩個左(右)陪集或者完全相同,或無公共元素因

可以表示成一些不相交的左(右陪(5(拉朗定)限群

的任一子群

的階數(shù)是群

的階數(shù)的因且G|=|H|[GH]()有限群的任一元素的階都是群

的階數(shù)的因即a|||G|()

為有限群.

,則任意的,.正規(guī)不變)子的別件N是

的子群,則N是G的變子群的充要條件是()任意的()()

,,

,都aN=Na;,.6.變換群、換群、環(huán)群的結(jié)論(1)個集合A的所有一一變換作成一個變換群。(2)(萊定理)

任一群都同構(gòu)于一個變換群

(3)

推論:一個有限群都同構(gòu)于一個置換群.個元素的全體置換關(guān)于置換的法構(gòu)成.(4)每一置換可唯一表為若干個不相交輪換循環(huán)置換乘積(5)每一循環(huán)置換都可以表為若干個對換的乘積.(6)

每一置換都可表為若干個對換的乘積(7)

為群,,則|a|=|a|(8設(shè)(9設(shè)

為群,為群,

,ΙΙ=n且,則.,如果|a|=n,|ar|=n/d(d=(r,n))(10)設(shè)

階循環(huán)群

.則

的生成元的充分必要條件是(11)循環(huán)群必是交換群(12)循環(huán)群的子群必是循環(huán)群(13)設(shè)

為循環(huán)群,且G=(a則如果如果同態(tài)同性

,則,則

;(1)

設(shè)G是個群,

是一個非空集合,若G與

對于它們的乘法來說同態(tài),則

也是一個群(2)

定理1.8.2

設(shè)

群,

同態(tài)映滿射.1)如果是2)對于任意的

的單位元則,

單位元;的逆元.即(3)定理1.8.3-----滿射、單射的條件

(4)定理1.8.4—態(tài)映射保子群、正規(guī)子群(5)定理1.8.5------同態(tài)基本定理三、基本方法與型1、群的判別----定義法2、子群的判別方法(四種方法):義法;

定理1定理2;定3(限);3正規(guī)子群的判別方法(四種方法):義法;

定理1)-3);4、求有限群的子群方法:(重點(diǎn)掌握循環(huán)群的子群求法)1)確定子群的可能階數(shù);2)按階數(shù)確定可能的子集;3)判斷哪個是子群。5、求正規(guī)子群方法:1)求子群;)判別哪些子群是正規(guī)子群(交換群的子群都是正規(guī)子群)6、求陪集:定義法7、求商群方法:按定義8、計算置換的乘積、逆、階----定義方法9、把置換表成不相連的循環(huán)置換的乘積或?qū)Q的乘積10、

求元素的階:1)定義方法2)有關(guān)性質(zhì)11、判別循環(huán)群方法:定義法

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