集合的概念難題匯編之歐陽道創(chuàng)編

歐陽道創(chuàng)編

9月犀利哥的學(xué)組卷時間：2021.03.06

創(chuàng)作：歐陽道一．選擇題共11小題）1．（2011?廣東）設(shè)S是整數(shù)集的非空子集，如果?，b有ab∈S，則稱S關(guān)于數(shù)的法是封閉的，若T，V是Z兩個不相交的非空子集，T∪V=Z，且?，bc∈T，有∈；?xy，z∈，有xyz∈V，則下列結(jié)論恒成立的是（）AV中少有一個關(guān)于乘法是封閉的BTV中多有一個關(guān)于乘法是封閉的C．TV中且只有一個關(guān)于乘法是封閉的D．，中一個關(guān)于乘法都是封閉的2．（2007?湖北）設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合﹣∈，且xQ}，如果，Q={x||x﹣＜1}，么P﹣于（）A{x|0＜x＜1}B{x|0x1}C．{x|1x2}D．≤x3}3．（2010?延慶縣一模）將正偶數(shù)集合{，從小到大按第組有n個偶數(shù)進(jìn)行分組如下：則2010位于（）A第B第8．第9組D．第4．（2009?閘北區(qū)一模）設(shè)A整數(shù)集的一個非空子集，對于kA，如果k1A且k+1A，那么是A的一個“立元”，給定A={1，2，3，5}，則A的所有子集中，只有一個“孤立元的集合共有（）A10B．C12D．13個5．用C（A表示非空集合A的元素個數(shù)，定義A*B=

，若A={1，2}，B={x||x且，由a的所有可能值構(gòu)成的集合是S，那么（等于（）A4B．3C．2D．歐陽道創(chuàng)編

13121385131213850000

6．（2013?寧波模擬）設(shè)集合，，5，，7，9}，集合A={a，a，}S子集，且a，，a滿足a＜＜，﹣a≤6那么滿足條件的集合A個數(shù)為（）A78B．847．下列命題正確的有（）（1）很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；

D．（2）集合{y|y=x個集合；

﹣1}與合{（，y）2

﹣1}是同一（3）

這些數(shù)組成的集合有個元素；（4）集合{（y）≤0，x，∈R}是指第二和第四象限內(nèi)的點(diǎn)集．A0個B．．D．個8．若x∈A則∈A，稱A是伙伴關(guān)系集合，集合M={﹣，，12，3，所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)為（）A15B．D．9．定義AB={z|z=xy+，x∈A，y∈B}．設(shè)集合A={0，B={1，2}，C={1}．集合（A）的所有元素之和為（）A3B．9C．D10．已知元素為實(shí)數(shù)的集合A滿足條件：若∈A，則，那么集合A中所有元素的乘積為（）A﹣1B1C．0D．11．設(shè)集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集n∈Z}，若∈，y∈，a=x+y，b=x?y，則（）Aa，bQB．，b．，bD．a(chǎn)，二．填空題共14題）12．（虹口區(qū)一模）定義集合A，B的一種運(yùn)算“*”，x∈A，yB}若A={1，，歐陽道創(chuàng)編

11211212歐陽道11211212

3}，B={1，2}則集合A*B中所有元素的和_________．13．（上海模擬）已知集合，且2∈A，3A，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．14．集合S={1，2，3，，，A是S的一個子集，當(dāng)xA時，若x﹣?A，A，則稱x為A的一個“立元素”，那么S中無立元素的4元子集的個數(shù)是_________．15．（四川）非空集合于運(yùn)算⊕滿足：（）對任意的，G，都有a⊕∈，（2存在e∈G，都有⊕e=e⊕a=a，則稱G關(guān)于運(yùn)算⊕為洽集”．現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：①非負(fù)整數(shù)}⊕整數(shù)的加法．②偶數(shù)}⊕為整數(shù)的乘法．③平面向量}⊕平面向量的加法．④二次三項(xiàng)式}⊕多項(xiàng)式的加法．⑤虛數(shù)}⊕為復(fù)數(shù)的乘法．其中于運(yùn)算⊕“洽集”的是_________．（寫出所有融洽集的序號）16．（安徽模擬）給定集合A，若對于任意，b∈A，有a+b∈A，則稱集A閉集合，給出如下五個結(jié)論：①合A={﹣﹣，2，4}為閉集合；②整數(shù)集是閉集合；③合A={n|n=3k，Z}閉集合；④集合A，A為閉集合，則A∪A為閉集合；⑤集合A，A為閉集合，且A，A，則存在c∈R，使得cA∪A）．其中正確的結(jié)論的序號是_________．17．（綿陽三模）設(shè)集合AR，對任意、、c∈A，運(yùn)算“⊕有如下性質(zhì)：（1）⊕∈A；（⊕；（）（⊕⊕c=a⊕⊕歐陽道創(chuàng)編

1nAijijAAAi+1iA1iiijjj000000歐陽道創(chuàng)編1nAijijAAAi+1iA1iiijjj000000

給出下列命題：①∈A②1A，則（11⊕；③aA，且a，則a=0；④a∈A，且⊕0=a，⊕b=c⊕b，則a=c．其中正確命題的序號是_________（把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）．18．已知集合A={a，，…，，n*n2}，令T={x|x=a+a}，a∈A，∈A，≤i≤j≤n，card（T）表示集合T中元素的個數(shù)．①A={2，4，8，16}，則card（）_________；②﹣（1≤i≤n﹣為非零常數(shù)），則card（T）_________．19．設(shè)集合M={1，2，4，5，6}，S，…，

都是M的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的={a，b}S，b}（≠j，i、∈{1，2，，…，k}，都有（，y}表示兩個數(shù)xy中的較小者），則k的最大值是_________．20．設(shè)集合A=，B=，函數(shù)f（

若x∈A，且f[f（x）]∈A，則x的取值范圍是_________．21．（文）設(shè)集合A，如果x∈R足：對任意a＞0，都存在x∈A，使得＜﹣x＜，那么稱x為集合A聚點(diǎn)．則在下列集合中：（1）Z+

∪﹣

（）+

∪R﹣

（3）（4）以為聚點(diǎn)的集合有_________正確結(jié)論的序號）．

（寫出所有你認(rèn)為歐陽道創(chuàng)編

1i歐陽道創(chuàng)編1i

22．用描述法表示圖中的陰影部分（包括邊界）_________．23．設(shè)

，則A∩B列舉法可表示為_________．24．如果具有下述性質(zhì)的x都是集合M的元素，即，其中，Q．則下列元素：①；②③

；；④．其中是集合M的元素是_________．（填序號）25．用列舉法表示集合：

_________．三．解答題共5題）26．（北京）已知集合，a，…，（k≥2）}，其中∈Z（i=1，…，k），由A中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合：（，b∈A，∈A，a+b∈A}，（a，b）∈A，A，﹣A}其中（a）是有序數(shù)對，集合和T中的元素個數(shù)分別為若對于任意的∈A，總有﹣aA，則稱集合A具有性質(zhì)P．（I）檢驗(yàn)集合{，3}與{1，2，3}是具有性質(zhì)P并對其中具有性質(zhì)的集合，寫出相應(yīng)的集合S和T；（II）對任何具有性質(zhì)的集合A，證明：；（III）判斷mn的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．27．對于集合

﹣n

2

，m∈Z，n∈Z}，因?yàn)?﹣2

，所以16∈A，研究下列問題：（1），2，，，5六個數(shù)中，哪些屬于A，哪些不屬于A，為什么？（2）討論集合，，6，…，2n，中有哪些元素屬于A，試給出一個一般的結(jié)論，不必證明．28．已知集合A={x|x=m+n，，n∈Z}．歐陽道創(chuàng)編

23131123131112

（1）設(shè)x

1

，x=

，x（1﹣）試判斷x，x，x與集合A之間的關(guān)系；（2）任取x，x∈，試判斷x+x，x?x與A之間的關(guān)系．29．已知集合A的全體元素為實(shí)數(shù)，且滿足若aA，則

∈A．（1）若a=2，求出A中的所有元素；（2）是否為A中的元素？請?jiān)倥e例一個實(shí)數(shù)，求出A的所有元素；（3）根據(jù)（1）、（2）你能得出什么結(jié)論？30．設(shè)非空集合具有如下性質(zhì)：元素都是正整數(shù)；②x∈S，則10﹣x∈S．（1）請你寫出符合條件，且分別含有一個、二個、三個元素的集合S各一個；（2）是否存在恰有個元素的集合S？若存在，寫出所有的集合S；若不存在，請說明理由；（3）由（、（2）的解答過程啟發(fā)我們，可以得出哪些關(guān)于集合S的一般性結(jié)論（要求至少寫出兩個結(jié)論）？2013犀利哥的中數(shù)學(xué)組參考答案與題解析一．選擇題共11小題）1．（2011?廣東）設(shè)S是整數(shù)集的非空子集，如果?，b有ab∈S，則稱S關(guān)于數(shù)的法是封閉的，若T，V是Z兩個不相交的非空子集，T∪V=Z，且?，bc∈T，有∈；?xy，z∈，有xyz∈V，則下列結(jié)論恒成立的是（）AV中少有一個關(guān)于乘法是封閉的BTV中多有一個關(guān)于乘法是封閉的C．TV中且只有一個關(guān)于乘法是封閉的D．，中一個關(guān)于乘法都是封閉的考元與集合關(guān)系的判斷．點(diǎn)：專壓題；閱讀型；新定義題：歐陽道創(chuàng)編

歐陽道創(chuàng)編

分本從正面解比較困難，運(yùn)用排除法進(jìn)行作答．考慮把整數(shù)集Z拆析：成兩個互不相交的非空子T，V的集，如T奇數(shù)集，V為數(shù)集，或?yàn)檎麛?shù)集V為負(fù)整數(shù)集進(jìn)分析排除即可．解解若T為數(shù)集，V為數(shù)集，滿足題意，此時與V關(guān)乘法都是答：封閉的，排除B、C；若為整數(shù)集V為負(fù)整數(shù)集，滿足題意，此時只有V關(guān)乘法是封閉的，排除；從而可得T，中少有一個關(guān)于乘法是封閉的A正故選A點(diǎn)此考查學(xué)生理解新定義能力，會判斷元素與集合的關(guān)系，是一道比較評：難的題型．2．（2007?湖北）設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合﹣∈，且xQ}，如果，Q={x||x﹣＜1}，么P﹣于（）A{x|0＜x＜1}B．＜x≤1}．≤x2}D．{x|2x3}考元素與集合關(guān)系的判斷；對值不等式的解法．點(diǎn)：專計(jì)算題．題：分首先分別對P，Q兩集合進(jìn)行化簡，然后按照﹣Q={x|x，析：xQ}，求出﹣Q即．解答：

解：化簡得＜x＜2}而Q={x||x2|＜1}化簡得Q={x|1＜x＜3}定集合P﹣Q={x|xP，且xQ}，P﹣Q={x|0x≤1}故選點(diǎn)本題考查元素與集合關(guān)系判斷，以及絕對值不等式的解法，考查對集合評：知的熟練掌握，屬于基題．3．（2010?延慶縣一模）將正偶數(shù)集合{，從小到大按第組有n個偶數(shù)進(jìn)行分組如下：則2010位于（）A第B．第8組C第組D．組考元素與集合關(guān)系的判斷；合的表示法；等差數(shù)列；等比數(shù)列．點(diǎn)：專計(jì)算題．題：分首先將正偶數(shù)集合按大小序排列是一個等差數(shù)列，先求出是數(shù)析：列的第幾項(xiàng)，然后按第n組有個數(shù)進(jìn)行分組每組中集合元素的個數(shù)正好是等比數(shù)列，求出解解：正偶數(shù)集按從小到大順序排列組成數(shù)列24，6答：2n=2010，由第一組{，4}的元素是2個歐陽道創(chuàng)編

n8922歐陽道n8922

第二組{，8，12}元素是第三組{，16，，20，，2426的元素是8個…第m組元素是2﹣＜，解得2＜z，2=256，，＜＜512所以，，故選C．

=2﹣2點(diǎn)此題表面是一個集合題，際上考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列求和評：公，但過程中一定要思清晰，否則容易出錯．4．（2009?閘北區(qū)一模）設(shè)A整數(shù)集的一個非空子集，對于kA，如果k1A且k+1A，那么是A的一個“立元”，給定A={1，2，3，5}，則A的所有子集中，只有一個“孤立元的集合共有（）A個B個．13個考元素與集合關(guān)系的判斷．點(diǎn)：專綜合題；壓軸題．題：分本題考查的是新定義和集知識聯(lián)合的問題．在解答時首先要明確集合A析：的有子集是什么，然后格按照題目當(dāng)中“孤元的義逐一驗(yàn)證即可．當(dāng)然，如果按照孤元出的情況逐一排查亦可．解解：“孤是1的合{1}{1，，4}；，4，5}；{1，3，，答：5}；“孤元是的集{2}{2，45}“孤元是的集{3}“孤元是的集{4}{1，24}“孤元是的集{5}{1，25}{2，，；{1，23，5}點(diǎn)本題考查的是集合知識和定義的問題．在解答過程當(dāng)中應(yīng)充分體會新定評：義題概念的確定性，與合子集個數(shù)、子集構(gòu)成的規(guī)律．此題綜合性強(qiáng)，值得同學(xué)們認(rèn)真總結(jié)和歸納．5．用C（A表示非空集合A的元素個數(shù)，定義A*B=

，若A={1，2}，B={x||x+ax+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值構(gòu)成的集合是S，那么（等于（）A4

B3

C．

D．考元素與集合關(guān)系的判斷．點(diǎn)：專計(jì)算題；壓軸題；新定義分類討論．題：分根據(jù)A={12}B={x||x+ax+1|=1}，且A*B=1，知集合B要是單元析：

素集合，要么是三元素集合，然后對方x的根的個數(shù)進(jìn)行討歐陽道創(chuàng)編

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論，即可求得a的有可能值，進(jìn)而可求（）．解解：x或x﹣，答：

即x①或x+ax+2=0②，A={1，2}，且，集B要是單元素集合，要么是三元素集合，集B是元素集合，則方有相等實(shí)根②無數(shù)根，；集B是元素集合，則方程有不相等實(shí)根②兩個相等且異①的數(shù)根，即，得綜上所述或a=±2，（）=3．故選．

，點(diǎn)此題是中檔題．考查元素集合關(guān)系的判斷，以及學(xué)生的閱讀能力和對新評：定的理解與應(yīng)用．6．（2013?寧波模擬）設(shè)集合，，5，，7，9}，集合A={a，a，}S子集，且a，，a滿足a＜＜，﹣a≤6那么滿足條件的集合A個數(shù)為（）A78．

C．84D．考元素與集合關(guān)系的判斷．點(diǎn)：專計(jì)算題．題：分從集合S任選個元素組成集合A，一個能組成個，再把不符合條析：件去掉，就得到滿足條的集合A的個數(shù)．解解：從集合S中選3元素組成集合A，一個能組成C個，答：其A={12，9}不合條件，其它的都符條件，所以滿足條件的集合A的個數(shù)C﹣1=83．故選．點(diǎn)本題考查元素與集合的關(guān)，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)思考，認(rèn)真解答．評：7．下列命題正確的有（）（1）很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；（2）集合{y|y=x個集合；

﹣1}與合{（，y）2

﹣1}是同一（3）

這些數(shù)組成的集合有個元素；（4）集合{（y）≤0，x，∈R}是指第二和第四象限內(nèi)的點(diǎn)集．歐陽道創(chuàng)編

22124442212444

A0個B1個．個D3個考集合的含義．點(diǎn)：專計(jì)算題．題：分（1（3）中由集合元素的性質(zhì)：確定性、互異性可錯誤；2）中注析：意合中的元素是什么；4中注意或y=0的況．解解：（1）中很小的實(shí)數(shù)沒有確定的標(biāo)準(zhǔn)不滿足集合元素的確定性；答：（）中集合{

﹣1}的元素為實(shí)數(shù)，而集{x，y

﹣1}元素是點(diǎn)；（3有集合元素的互異性這些數(shù)組成的集合有3個素；（4集{，）x，yR}中包括實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)．故選A點(diǎn)本題考查集合元素的性質(zhì)集合的表示，屬基本概念的考查．評：8．若x∈A則∈A，稱A是伙伴關(guān)系集合，集合M={﹣，，12，3，所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)為（）A

B16

C．

8

D．

5考元素與集合關(guān)系的判斷．點(diǎn)：專綜合題；壓軸題；新定義題：分析：解答：

先找出具有伙伴關(guān)系的元素：，，、，、四組，它們中任一組、二組、三組、四組均可組成非空伙伴關(guān)系集合，利用組合知識求解即可．解：具有伙伴關(guān)系的元素組有，，、，、四組，它們中任一組、二組、三組、四組均可組成非空伙伴關(guān)系集合，個數(shù)為C+C+C故選A點(diǎn)本題考查集合的子集問題排列組合等知識，考查學(xué)生利用所學(xué)知識分析評：問、解決問題的能力．9．定義AB={z|z=xy+，x∈A，y∈B}．設(shè)集合A={0，B={1，2}，C={1}．集合（A）的所有元素之和為（）A3

B9

C．18

D．27考元素與集合關(guān)系的判斷．點(diǎn)：專新定義．題：分首先根據(jù)題意，求出AB中元素，然后求出AB中所含的析：元，最后求和即可．歐陽道創(chuàng)編

0000歐陽道創(chuàng)編0000解解：由題意可求答：（AB中所含的元素有，4，5

則（AB）C中含的元素有，，10故所有元素之和為18．故選C點(diǎn)本題考查元素與集合關(guān)系判斷，通過集合間的關(guān)系直接判斷最后求和即評：可屬于基礎(chǔ)題．10．已知元素為實(shí)數(shù)的集合A滿足條件：若∈A，則，那么集合A中所有元素的乘積為（）A﹣1B1考元素與集合關(guān)系的判斷．點(diǎn)：專計(jì)算題；新定義．題：

C．

D．分析：

根據(jù)若A則，據(jù)定義令

代入

進(jìn)行求解，依次進(jìn)行賦值代入再求出它們的乘積．

進(jìn)行化簡，把集合A元素所有的形式全部求出，解答：

解：由題意知，若aA則，代入令==

，

；令

代入=

，令

，代入

==a，A={a，，，，}，則所有元素的積為，故選．點(diǎn)本題主要考查集合的應(yīng)用題目比較新穎，以及閱讀題意的能力，有一定評：的度，主要對集合元素理解．11．設(shè)集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集n∈Z}，若∈，y∈，a=x+y，b=xy，則（）Aa，bQBa，bP考元素與集合關(guān)系的判斷．點(diǎn)：專計(jì)算題．

C．P，D．，Q歐陽道創(chuàng)編

000000000000000000

題：分據(jù)集合中元素具有集合中素的屬性設(shè)出，y，出x+y，并將析：其簡，判斷其具有Q，P中一集合的公共屬性．解解：xP，y0，答：設(shè)x0=2k﹣，y0，，k，則x=2k1+2n=2（）P，xy（﹣）（）=2（﹣n，故xy．故a，，故選A點(diǎn)本題考查集合中的元素具集合的公共屬性、元素與集合關(guān)系的判斷、等評：基知識，考查化歸與轉(zhuǎn)思想．屬于基礎(chǔ)題．二．填空題共14題）12．（虹口區(qū)一模）定義集合A，B的一種運(yùn)算“*”，x∈A，yB}若A={1，，3}，B={1，2}則集合A*B中所有元素的和．考集的含義．點(diǎn)：專新義．題：分由A*B={p|p=x+y，xAyB}A={1，2，3}，，2}，知析：A*B={2，，4，5}，此能求出集合A*B中所有元素的和．解解A*B={p|p=x