賈曉光九年級教學(xué)敘事

數(shù)學(xué)教學(xué)敘由一道“二函數(shù)應(yīng)用題引出的話題數(shù)學(xué)教學(xué)是由一連串“零散”的工作組成的，然而在這“零散”的數(shù)學(xué)教學(xué)工作的背后，卻能不時(shí)給我們老師以啟發(fā)、警示或收獲，使我們在啟發(fā)之中得到提升，在警示之中受到鞭策，在收獲之中促進(jìn)自身的專業(yè)成長．我所在的九年級數(shù)學(xué)備課組正是在這些“平?！钡娜兆永?，常常會在同事之間激烈的探討中受到觀念上的沖擊，細(xì)細(xì)咀嚼，意猶未盡．在一次集體備課活動時(shí)，我們數(shù)學(xué)組熱情洋溢的趙老師“拋出”了一個(gè)數(shù)學(xué)課本上的問題，這個(gè)問題不僅僅讓學(xué)生感到“模糊”，而且老師對這道“二次函數(shù)應(yīng)用”的問題也頗有爭議的，全組老師一下子被問題“牽入”爭論和思考之中．1“二次函應(yīng)用題題目：正常水位時(shí)，拋物線拱橋下的水面寬為20m，水面上升3m達(dá)到該地警戒水位時(shí)，橋下水面寬為10m．(1)在恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中求出水面到橋孔頂部的距離y(m)與水面寬x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果水位以．2m/h速度持續(xù)上漲，那么達(dá)到警戒水位后，再過多長時(shí)間此橋孔將被淹沒?(題目來源:北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊）趙老師小心翼翼的、又有所掩飾的樣子說：這道應(yīng)用題是否是錯(cuò)題？還是超出《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求了？組內(nèi)的老師一時(shí)非常安靜，都在默默的看課本上的題目，同時(shí)思考著趙老師的話，再努力尋找著錯(cuò)誤或正確的理由．過了一會，年輕且富有朝氣的王老師首先發(fā)言：我個(gè)人以為教學(xué)參考書上已經(jīng)說的非常清楚了按照此圖建立平面直角坐標(biāo)系就可以求得（1問中的結(jié)論是問也就迎刃而解．此題沒有錯(cuò)誤，而且坐標(biāo)系的建立也是很恰當(dāng)?shù)模?/p>

（2）為了說明問題的方便，把北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書該題的參考答案復(fù)制如下（1）建立如圖1的平面直角坐標(biāo)系，則水面到橋孔頂部的距離與水面寬的函數(shù)關(guān)系為：；（2）由（1）知，警戒水位到橋孔頂部的距離為，所以再經(jīng)過5h此橋孔將被淹沒．一些老師的臉上也露出贊同之意，但是又好像保留著什么似的？！趙老師看沒有人接著說話，又發(fā)表自己的看法：我在沒有看教學(xué)參考書之前，也是這樣建立直角坐標(biāo)系的，但是覺得不容易求這個(gè)函數(shù)的解析式，那么這個(gè)解析式怎么求？

水面到橋孔頂部的距離y(m)與水面寬x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式有的答案是的答案是，答案不是，那說明教參上的參考答案是錯(cuò)誤，對嗎？看來趙老師對這道“二次函數(shù)的應(yīng)用題”進(jìn)行了琢磨，起碼今年帶九年級是這樣的．組內(nèi)的其他教師又被趙老師的話題“卷入”了對問題重新審視的過程中??，慢慢，組內(nèi)交流的話語多了起來，對問題的看法也漸漸的清晰許多．2對教學(xué)參書上答認(rèn)識備課組長請教學(xué)經(jīng)驗(yàn)比較豐富的張老師說說自己的看法，一是因?yàn)榇蠹叶荚谧h論，那就形成不了對這個(gè)數(shù)學(xué)問題統(tǒng)一的看法；二來備課組長也觀察了張老師的面部表情和議論，認(rèn)為他對這個(gè)問題已經(jīng)考慮的比較成熟了，讓他發(fā)言，也體現(xiàn)了在備課組討論的過程中要發(fā)揮“平等中的首席”的作用．果然，張老師的發(fā)言讓大家頻頻點(diǎn)頭．他說:首先，教學(xué)參考書上的答案是錯(cuò)誤，函數(shù)關(guān)系式

是在這樣的平面直角坐標(biāo)系下該拋物線拱橋的解析式非面到橋孔頂部的距離(m)與水面寬(m)之間函數(shù)關(guān)系式；其次，該拋物線上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（，y）的縱坐標(biāo)y和橫坐標(biāo)x的絕對分別代表實(shí)際意義是水面到橋孔頂部的距離和水面寬的一半（不是水面寬）；第三，在圖樣的平面直角坐標(biāo)系下，要求出該拋物線拱橋的解析式，首先要設(shè)出該拋物線的解析式為，但是發(fā)現(xiàn)找不到一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可以完全用已知數(shù)據(jù)表示，這和我們平時(shí)的思維習(xí)慣不統(tǒng)一，所以老師就可能覺得有困難，學(xué)生就更有困難了，認(rèn)為求不出可以增加一個(gè)參數(shù)來解決這個(gè)問題．

來，事實(shí)上，我們這時(shí)老師搶著說據(jù)張老師的所說的合已知條件就設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)

點(diǎn)B的坐標(biāo)為，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)帶入解析式

中，可以得到一個(gè)二元一次方程組，這樣不僅僅解出，而且解出了，說明正常水位時(shí)水面到橋孔頂部的距離是4m．趙老師這時(shí)也微笑說道：對，增加一個(gè)參數(shù)，看起來退了一步，實(shí)際上進(jìn)了一大步，是“以退為進(jìn)”?。蠋?，你是從那學(xué)來的？是不是從上高中的兒子哪里學(xué)來的？趙老師提高聲音說道：那要水面到橋孔頂部的距離(m)與水面寬x(m)之間函數(shù)關(guān)系式，實(shí)際上就是在把它們轉(zhuǎn)換成拋物線別是多少呢？

上點(diǎn)的坐標(biāo)即可，這個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分楊老師說：不就是x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式

嗎？帶入到函數(shù)關(guān)系式這個(gè)結(jié)論嗎．

中，就得到y(tǒng)(m)與水面寬

．．李老師說：不對，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該為

，因?yàn)檫@時(shí)的是指水面到橋孔頂部的距離，轉(zhuǎn)換成坐應(yīng)該為

，帶入到函數(shù)關(guān)系式

中，就得水面到橋孔頂部的距離y(m)與水面寬(m)間的函數(shù)關(guān)系式

．所以，我以為此題不僅能聯(lián)系生活實(shí)際，而且是培養(yǎng)學(xué)生多方面能力的好題．但是教學(xué)參考書上提供的答案是錯(cuò)誤的，正確答案應(yīng)該是，為了化解楊老師所說的難點(diǎn)防止思維混淆完全可以把水面到橋孔頂部的距離(m)與水面寬(m)的字母改為(m)和(m)，這一改即符合生活實(shí)際，又符合數(shù)學(xué)符號使用常規(guī)，應(yīng)該建議編者重新進(jìn)行修訂．李老師的話結(jié)束了，這個(gè)“二次函數(shù)應(yīng)用題”是否錯(cuò)了，還是超標(biāo)了的疑問也隨之解決了，伴隨著對這個(gè)問題的認(rèn)識上的突破的過程，趙老師和全組其他老師在活動結(jié)束后“陷入”對數(shù)學(xué)教學(xué)的更深層次的思考：如何利用好手中的教材？當(dāng)然，在這一活動中，伴隨著的還有興奮和激動．比較：把問題放在另一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中數(shù)學(xué)組的集體備課活動已經(jīng)結(jié)束了筆者還在繼續(xù)關(guān)注在恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中求出水面到橋孔頂部的距離y(m)與水面寬(m)之間的函數(shù)關(guān)系式中恰當(dāng)平面直角坐標(biāo)系這幾個(gè)字眼，怎樣建立平面直角坐標(biāo)系最為恰當(dāng)呢？有了比較才能有所鑒別，有了鑒別才能對問題的本質(zhì)有更深的認(rèn)識．筆者又在新的平面直角坐標(biāo)系中對這個(gè)問題進(jìn)行了研究，現(xiàn)將解答過程簡要表述如下建立如圖3的平面直角坐標(biāo)系可以設(shè)該拱橋所在的拋物線為根據(jù)題意得到A點(diǎn)的坐標(biāo)（100B點(diǎn)的坐標(biāo)（5，3），將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)帶入到函數(shù)關(guān)系式

中，解得，所以拱橋所在的拋物線的解析式為；將水面到橋孔頂部的距離y(m)與水面寬(m)轉(zhuǎn)換成所求拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，帶入到函數(shù)解析式的距離y(m)與水面寬(m)的函數(shù)關(guān)系式為

．

中，則水面到橋孔頂部

建立這樣的平面直角坐標(biāo)系中去解決問題，很明顯和前面的解法相比較凸顯了一易一難．易在點(diǎn)A、B坐標(biāo)（10，0）、（5，3）很容易確定，這和我們心理期望是一致的；思維的難點(diǎn)集中在面到橋孔頂部的距離y(m)與水面寬(m)轉(zhuǎn)換成所求拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為

上，這是因?yàn)閷W(xué)生對處理這樣的問題“經(jīng)驗(yàn)積累”還是比較少，但是不代表學(xué)生不能理解或不能解決這個(gè)問題．如果教師在實(shí)施此類問題的教學(xué)時(shí)，能夠組織學(xué)生進(jìn)行有效的探究、議論，那么學(xué)生今后在這類問題處理上不僅能在邏輯上納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且也能在心理上認(rèn)同，使問題的解決得以順利進(jìn)行．再通過建立不同于前面兩種情況的平面直角坐標(biāo)系來解決這個(gè)問題的過程看，求出拋物線拱橋的解析式都不是很困難的點(diǎn)都是集中在水面到橋孔頂部的距離(m)與水面寬x(m)轉(zhuǎn)換成所求拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)的問題，較之教學(xué)參考書上的建立坐標(biāo)系的方法來的復(fù)雜的多，這恰恰說明建立“恰當(dāng)”的平面直角坐標(biāo)系對問題理解和解決是很有必要的，這里面除了要培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！?、“待定系數(shù)法”的思想方法外，還有一個(gè)數(shù)學(xué)“最優(yōu)化”的思想蘊(yùn)含在里邊．在這里，筆者相信每位老師只要認(rèn)真的研究教材，精心去預(yù)設(shè)，是一定能夠發(fā)揮“教材無非是一個(gè)例子”的作用的．3“不難的難題給數(shù)學(xué)師的啟從本文所敘述的故事與分析中，我們可以看到(1)這“二次函數(shù)應(yīng)用問題并不難為什么一個(gè)不難的問題卻難住了文老師呢？筆者首先覺得文老師沒有去認(rèn)真“做”，起碼沒有認(rèn)真的思考，或許他的“本體性知識”不夠，這從他帶初三的履歷和所提問題時(shí)小心翼翼中可以看出一點(diǎn)端倪．這種現(xiàn)象對老師來說還是具有一定市場的，我們把這種現(xiàn)象稱之為“教學(xué)上的封閉”；其次，這種現(xiàn)象給我們帶來的思考是什么呢？那就是許多老師對書本上練習(xí)、習(xí)題的不重視或輕視研究，轉(zhuǎn)而要求學(xué)生做課外練習(xí)或自編的講義，反而加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)．這里既有數(shù)學(xué)觀的問題，又有學(xué)生觀的問題．第三，教師如果沒有精心的預(yù)設(shè)，哪里會有學(xué)生美麗的生荷蘭數(shù)學(xué)家、國際著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說過：“學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際上是學(xué)數(shù)學(xué)化”。教師不僅僅應(yīng)該具備將具體問題數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而且還能站在數(shù)學(xué)的高度俯視哪些簡單的問題，只有這樣才能證明你作為人師的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)和廣闊視野。(2)如果按照教學(xué)參考書上的答案也就是某些教師的答案去批改學(xué)生作業(yè)么就會給學(xué)生埋下“錯(cuò)誤”的種子，而這粒“錯(cuò)誤”的種子在溫度、水分適宜的情況下就是會生長．更重要的是學(xué)生不能有一種深深的體會：如何把實(shí)際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（數(shù)學(xué)建模）來解決．因?yàn)槟銢]有給學(xué)生這種經(jīng)歷錯(cuò)誤的過程，錯(cuò)誤也是一種資源，寶貴的課程資源就難得再有這樣的機(jī)會被開發(fā)利用了．(3)要突破這教學(xué)上的封閉數(shù)學(xué)知識和能力需要心理上的進(jìn)取和勇氣多時(shí)候不是想不到，而是沒有去想；不是做不到，而是沒有去做；不是不具備某種數(shù)學(xué)知識，而是沒有想到提取這種知識．所以，備課組就要創(chuàng)造一個(gè)和諧、寬松、融洽的研究氛圍，讓大家敢于曬自己的真實(shí)，實(shí)現(xiàn)合作共贏，那么稚嫩的