MATLAB在解析幾何中的應(yīng)用

PAGEPAGE14MATLAB在解析幾何中的應(yīng)用研究引言數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，解析幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程,它的基本思想是用代數(shù)的方法描繪幾何圖形，認(rèn)識(shí)圖形的性質(zhì)，分析圖形間的相互關(guān)系，解析幾何不僅為代數(shù)學(xué)提供了幾何模型,而且也為研究物理學(xué)、工程技術(shù)領(lǐng)域的相關(guān)問題提供了必要的數(shù)學(xué)工具[1-2]．它的主要研究?jī)?nèi)容有向量代數(shù)、空間坐標(biāo)系、平面與直線、常見的曲面與曲線等，由于幾何問題廣泛存在于科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，因此解析幾何方法已經(jīng)成為從事自然科學(xué)研究必不可少的工具．然而，目前解析幾何的教學(xué)在教學(xué)方法和教學(xué)手段方面還比較落后，很多曲線和曲面的形成與變換過(guò)程還是通過(guò)傳統(tǒng)的教師講解、手工繪制的方法展示，很難將曲線及曲面形象、準(zhǔn)確地展示出來(lái)，學(xué)生很難理解和掌握．在教學(xué)與研究中,假如可以形象、生動(dòng)、直觀的給出空間圖形或者軌跡的形成過(guò)程，不僅使教學(xué)變得簡(jiǎn)單，而且有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．MATLAB軟件是集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算和圖形可視化三大基本功能于一體的大型科學(xué)計(jì)算軟件，廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究、工程計(jì)算、動(dòng)態(tài)仿真等領(lǐng)域，該軟件的一個(gè)重要特色是強(qiáng)大的圖形處理功能．下文主要討論MATLAB軟件在解析幾何的向量計(jì)算，平面、空間曲線和曲面圖形的描繪，空間圖形的位置關(guān)系的判定等多方面的應(yīng)用研究．1MATLAB軟件在向量運(yùn)算中的應(yīng)用1.1用MATLAB軟件生成向量(1)直接輸入法：在MATLAB的命令窗口中輸入>>a=[15689]，回車運(yùn)行，返回a=15689(2)冒號(hào)生成法：基本語(yǔ)法格式為：向量＝初值：步長(zhǎng)：終值，在命令窗口中輸入>>a=1:2:12，回車運(yùn)行，返回a=1357911>>b=1:5，回車運(yùn)行，返回b=123451.2向量的運(yùn)算在MATLAB軟件中，對(duì)向量的不同運(yùn)算，有如下表1所列常用函數(shù)，表1向量運(yùn)算表命令功能說(shuō)明A+B向量A,B的和cross(A,B)向量A,B的矢量積dot(A,B)向量A,B的點(diǎn)積norm(A)向量A的模長(zhǎng)1.3應(yīng)用實(shí)例例1用MATLAB軟件完成下面任務(wù)（1）用元素輸入法創(chuàng)建向量=(4,2,3,1,-2,-1,5,10)；（2）用冒號(hào)生成法創(chuàng)建向量=(1,3,5,7,9,11,13,15)；（3）用等分取值法創(chuàng)建向量，其初值為1，終值為100，共8個(gè)元素；（4）作向量與得數(shù)量積、向量積；（5）作向量、、的混合積．解：在MATLAB命令窗口中輸入以下語(yǔ)句即可，（1）x1=[4231-2-1510]（2）x2=1:2:15（3）x3=linspace(1,100,8)（4）dot(x1,x2),cross(x1,x2)（5）dot(cross(x1,x2),x3)例2求點(diǎn)到直線的距離.解：點(diǎn)到直線的距離公式為，其中，為直線的方向向量，為直線上異于的任意一點(diǎn)，用MATLAB求解上述問題，編寫代碼如下：>>M0=[1-10];M1=[212];V=[1-1-2];>>d=norm(cross(M1-M0,V))/norm(V)，返回結(jié)果d=2.1985例3證明Lagrange恒等式，其中為幾何空間中的三維向量．證明：在MATLAB命令窗口中輸入symsa11a12aa1=[a11,a12a13];a2=[a21,a22a23];a3=[a31,a32a33];a4=[a41,a42aleft=dot(cross(a1,a2),cross(a3,a4))right=dot(dot(a1,a3),dot(a2,a4))-dot(dot(a1,a4),dot(a2,a3))answer=left-right;simple(answer),運(yùn)行結(jié)果為>>ans=0即等式左右兩邊相減差為0，因此定理得證．2MATLAB軟件在解析幾何的圖形繪制中的應(yīng)用解析幾何學(xué)研究的一個(gè)重要課題是根據(jù)給定的方程如何獲得它所表示的圖形的各種幾何性質(zhì)以及描繪這個(gè)圖形．對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形的作圖，手工作圖主要采用平面截線法，可以大致了解曲面的形狀．MATLAB提供了許多繪圖函數(shù)，利用這些函數(shù)可以繪制出所需的圖形；MATLAB還提供了豐富的修飾法，可以使圖形更加美觀和形象[4-7]．在MATLAB中，編寫繪制二維和三維的圖形的程序；運(yùn)行這些程序時(shí)，在圖形窗口中就可以得到想要的復(fù)雜圖形．2.1二維圖形的繪制MATLAB提供了豐富的繪圖函數(shù)，plot是最基本的二維繪圖函數(shù)，其調(diào)用格式為plot(X,Y)：若X、Y為長(zhǎng)度相等的向量，則繪制以X和Y為橫、縱坐標(biāo)的二維曲線．例4用plot函數(shù)繪制的圖形．解：繪制此圖形的MATLAB程序代碼如下：X=-5:0.05:5;Y=sin(X).*cos(2*X);plot(X,Y);程序運(yùn)行結(jié)果如下圖1所示圖SEQ圖表\*ARABIC1二維曲線2.2三維圖形的繪制用MATLAB繪制三維曲線和曲面時(shí)，常用到的繪圖函數(shù)有plot3,ezplot3,surf,mesh，ezsurf，ezmesh等,下面分別通過(guò)實(shí)例在MATLAB平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)多種三維圖形的繪制．2.2.1用MATLAB繪制三維空間曲線例5在解析幾何中，參數(shù)方程表示幾何空間的一段螺旋線，用plot3繪制該曲線的MATLAB程序代碼如下：t=-10:0.05:20;x=sin(t);y=4*cos(t)；z=3*t;figure，plot3(x,y,z,'*');gridon,text(0,0,0,'0');title('ThreeDimension');xlabel('sin(t)'),ylabel('cos(t)'),zlabel('t');通過(guò)圖形修飾函數(shù)label,title,grid等可以給圖形加軸標(biāo)簽、標(biāo)題、網(wǎng)格等，程序運(yùn)行結(jié)果如下圖2所示圖2三維空間螺旋線2.2.2用MATLAB繪制三維空間曲面一般曲面的繪制常用的繪圖函數(shù)，見下表2函數(shù)名功能說(shuō)明mesh(X,Y,Z)繪制三維網(wǎng)格圖surf(X,Y,Z)繪制三維曲面圖surfc(X,Y,Z)繪制含等高線的三維曲面圖ezmesh(X,Y,Z)繪制二元函數(shù)圖形meshgrid(x,y)獲取網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)據(jù)矩陣表2常用空間曲面繪圖函數(shù)表下面，用MATLAB軟件，對(duì)解析幾何中一些常見的典型曲面，結(jié)合具體例子，給出圖形繪制的相關(guān)程序及圖形結(jié)果．2.2.2.1柱面（1）柱面的定義：動(dòng)直線平行于定方向且與定曲線相交而產(chǎn)生的曲面叫柱面，每一條動(dòng)直線叫做柱面的直母線，定曲線叫做柱面的準(zhǔn)線．（2）柱面的一般方程橢圓柱面：；雙曲柱面：（3）實(shí)例作圖例6用MATLAB的ezsurf，cylinder函數(shù)繪制圓柱面和的曲面圖，編寫程序代碼如下：subplot(1,2,1);ezsurf('(2*cos(m))','2*sin(m)','n',[0,2*pi,0,1.2*pi])gridonaxisequalxlabel('x軸');ylabel('y軸');zlabel('z軸');title('圓柱面')subplot(1,2,2);cylinder(30);axissquaretitle('調(diào)用cylinder函數(shù)所得圓柱面')程序運(yùn)行結(jié)果如下圖3所示圖3圓柱面例7用ezmesh函數(shù)繪制雙曲柱面的空間曲面圖形．解：ezmesh函數(shù)的調(diào)用格式為：ezmesh(x，y，z，[smin，smax，tmin，tmax])其中每個(gè)參數(shù)的意義可參考文獻(xiàn)[3]，編寫程序代碼如下：ezmesh('3*sec(u)','5*tan(u)','v',[-pi/2,pi/2,-3*pi,3*pi])holdonezmesh('3*sec(u)','5*tan(u)','v',[pi/2,3*pi/2,-3*pi,3*pi])gridon；xlabel('x軸');ylabel('y軸');zlabel('z軸');title('雙曲柱面')程序運(yùn)行結(jié)果如下圖4所示圖4雙曲柱面2.2.2.2錐面（1）錐面的定義：一條直線通過(guò)一定點(diǎn)且與定曲線相交而移動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的曲面叫錐面，定點(diǎn)叫做錐面的頂點(diǎn)．（2）錐面的一般方程：（3）實(shí)例作圖例8用mesh，meshgrid函數(shù)繪制錐面的空間曲面圖形．解：編寫程序代碼如下：x=-3:0.1:3;y=x;[xx,yy]=meshgrid(x,y);z=3*sqrt(xx.^2/16+yy.^2/25)mesh(xx,yy,z);holdon;z=-3*sqrt(xx.^2/16+yy.^2/25);mesh(xx,yy,z)程序運(yùn)行結(jié)果如下圖5所示圖5錐面2.2.2.3旋轉(zhuǎn)曲面（1）旋轉(zhuǎn)曲面的定義：一條曲線繞定直線旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的曲面叫旋轉(zhuǎn)曲面，曲線叫母線，直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸．常見的旋轉(zhuǎn)面有旋轉(zhuǎn)橢圓面、旋轉(zhuǎn)拋物面、旋轉(zhuǎn)雙曲面等．（2）實(shí)例作圖例9用mesh,surfc分別繪制旋轉(zhuǎn)拋物面的圖形，觀察效果有何不同．解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)拋物面方程，編寫MATLAB程序代碼如下：x=-8:0.5:8;y=x;[xx,yy]=meshgrid(x,y);Z=xx.^2+yy.^2;subplot(1,2,1)；mesh(xx,yy,Z);subplot(1,2,2);surfc(xx,yy,Z)程序運(yùn)行結(jié)果如下圖6所示圖6旋轉(zhuǎn)拋物面從圖形結(jié)果可以看出，函數(shù)surfc在繪制圖形的同時(shí)，還在投影底面給出了等高線．例10用cylinder函數(shù)繪制以為母線，為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面．解：函數(shù)cylinder的調(diào)用格式，可參考文獻(xiàn)[3,4]，編寫MATLAB程序代碼如下：t=0:pi/10:2*pi;[X,Y,Z]=cylinder(2+cos(t));surf(X,Y,Z)；axissquare程序運(yùn)行結(jié)果如下圖7所示圖7旋轉(zhuǎn)曲面3MATLAB軟件在圖形的空間位置關(guān)系判定[1]中的應(yīng)用解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何圖形、認(rèn)識(shí)空間圖形的性質(zhì)及圖形間關(guān)系的課程．在幾何空間中，一些復(fù)雜圖形之間的位置關(guān)系很難直觀展現(xiàn)，給圖形間位置關(guān)系的研究帶來(lái)困難．借助MATLAB軟件的繪圖功能，將復(fù)雜的空間圖形形象地顯現(xiàn)，可使對(duì)空間圖形位置關(guān)系的探究變的方便快捷[8-10]．3.1直線與平面的位置關(guān)系直線與平面有相交、平行、直線在平面上這三種位置關(guān)系，通過(guò)MATLAB軟件的繪圖和修飾函數(shù)，將不同的直線和平面顯示在同一個(gè)圖形窗口中，可以很容易地觀察它們的各種關(guān)系，下面通過(guò)實(shí)例說(shuō)明．例11已知直線與平面，判定直線與平面的位置關(guān)系．解：先將化成參數(shù)方程，得．編寫繪制這個(gè)直線與平面的程序代碼如下：t=-40:0.3:40;[x1,y1]=meshgrid(t);z1=2*x1+3*y1-4;mesh(x1,y1,z1);holdon;x2=t;y2=3*t+1;z2=2*t+1;plot3(x2,y2,z2);程序運(yùn)行序結(jié)果如下圖8所示圖8直線與平面的位置關(guān)系3.2平面與平面的位置關(guān)系空間兩平面有相交、平行、重合三種關(guān)系，通過(guò)MATLAB軟件的繪圖和修飾函數(shù)，可以繪制出直觀、形象的圖形，將兩平面的位置關(guān)系展現(xiàn)出來(lái)．例12判斷平面和的位置關(guān)系．解：編寫繪制題中兩平面的MATLAB程序代碼如下：s=-20:0.4:20;[x1,y1]=meshgrid(s);z1=(2*1-y1-5)/2;mesh(x1,y1,z1);holdon；z2=x1+3*y1-1;mesh(x1,y1,z2);程序運(yùn)行結(jié)果如下圖9所示圖9兩平面位置關(guān)系從圖形易得，兩平面位置關(guān)系為相交．3.3平面與二次曲面的位置關(guān)系在解析幾何中，一些復(fù)雜的平面與二次曲面的位置關(guān)系很難準(zhǔn)確的手工繪制出來(lái)，借助MATLAB軟件的繪圖和修飾函數(shù)，可將平面與二次曲面的位置關(guān)系直觀形象地展現(xiàn)出來(lái)．例13判斷平面與球面的位置關(guān)系．解：編寫相關(guān)MATLAB程序代碼如下：clear;s=-100:100;[x,y]=meshgrid(s);z=(-2*x+3*y-12)/8;u=0:pi/20:pi;v=0:pi/20:2*pi;[U,V]=meshgrid(u,v);x1=50*sin(U).*cos(V)+7;y1=90*sin(U).*sin(V)-9;z1=50*cos(U)-5;mesh(x,y,z);holdon;surf(x1,y1,z1);程序運(yùn)行結(jié)果如下圖10所示圖10平面與球面3.4二次曲面間的位置關(guān)系在解析幾何中，二次曲面本身的圖形就非常難以手工繪制，要研究它們間的位置關(guān)系難度會(huì)更大，借助MATLAB軟件的繪圖和修飾函數(shù)，可將這些圖形的位置關(guān)系，立體地展現(xiàn)出來(lái)．例14已知柱面和馬鞍面，判斷二者的位置關(guān)系．解：首先將柱面方程參數(shù)化[2]，編寫繪圖程序代碼如下：t=0:pi/20:2*pi;x1=4*cos(t)-2;y1=3*sin(t)+1;z1=linspace(-6,6,length(t))x1=meshgrid(x1);y1=meshgrid(y1);z1=meshgrid(z1)';mesh(x1,y1,z1);在保持柱面圖的基礎(chǔ)上，再繪制馬鞍面圖形，將兩圖同時(shí)顯現(xiàn)holdon;[X,Y]=meshgrid(-7:0.2:7);Z=X.^2/8-Y.^2/6;mesh(X,Y,Z);axis('square');xlabel('x軸');ylabel('y軸');zlabel('z軸');程序運(yùn)行結(jié)果如下圖11所示圖11柱面與馬鞍面的位置關(guān)系結(jié)語(yǔ)本文主要討論了MTALAB軟件在解析幾何中向量的數(shù)值計(jì)算，平面、空間曲線和曲面圖形描繪，空間圖形位置關(guān)系的判定等多方面的應(yīng)用，應(yīng)用MATLAB軟件豐富的繪圖和修飾函數(shù)，編寫相應(yīng)的程序代碼，可以較快地解決復(fù)雜的計(jì)算,完成復(fù)雜圖形