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2021-2022學(xué)年陜西省安康市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考預(yù)測(cè)試題(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________
一、單選題(20題)1.A.A.
B.
C.
D.
2.
3.微分方程y'=1的通解為A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x
4.=()。A.
B.
C.
D.
5.
6.A.A.
B.
C.
D.
7.圖示懸臂梁,若已知截面B的撓度和轉(zhuǎn)角分別為vB和θB,則C端撓度為()。
A.vC=2uB
B.uC=θBα
C.vC=uB+θBα
D.vC=vB
8.
9.()。A.
B.
C.
D.
10.微分方程y′-y=0的通解為().
A.y=ex+C
B.y=e-x+C
C.y=Cex
D.y=Ce-x
11.
12.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.橢球面B.圓錐面C.旋轉(zhuǎn)拋物面D.柱面
13.設(shè)y1,y2為二階線性常系數(shù)微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個(gè)特解,則C1y1+C2y2().A.A.為所給方程的解,但不是通解B.為所給方程的解,但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
二、填空題(20題)21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.=______.
29.
30.
31.
32.
33.y=ln(1+x2)的單調(diào)增加區(qū)間為______.
34.
35.直線的方向向量為________。
36.曲線y=(x+1)/(2x+1)的水平漸近線方程為_________.
37.如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(b)-f(a)=________。
38.
39.
40.
三、計(jì)算題(20題)41.
42.
43.證明:
44.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間,并求該曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線l的方程.
45.
46.求曲線在點(diǎn)(1,3)處的切線方程.
47.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂,何時(shí)條件收斂,何時(shí)發(fā)散,其中常數(shù)a>0.
48.
49.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).
50.將f(x)=e-2X展開為x的冪級(jí)數(shù).
51.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B,在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi),以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示).設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x,面積為
S(x).
(1)寫出S(x)的表達(dá)式;
(2)求S(x)的最大值.
52.
53.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p,當(dāng)p=10時(shí),若價(jià)格上漲1%,需求量增(減)百分之幾?
54.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
55.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.
56.
57.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無窮小量,則
58.
59.求微分方程的通解.
60.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值.
四、解答題(10題)61.
62.
63.
64.
65.計(jì)算
66.已知f(x)在[a,b]上連續(xù)且f(a)=f(b),在(a,b)內(nèi)f''(x)存在,連接A(a,f(a)),B(b,f(b))兩點(diǎn)的直線交曲線y=f(x)于C(c,f(c))且a<c<b,試證在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ使得f''(ξ)=0.
67.(本題滿分8分)
68.
69.
70.
五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)存在偏導(dǎo)數(shù)是在該點(diǎn)可微的()。
A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件C.必要且充分條件D.既不必要也不充分條件
六、解答題(0題)72.
參考答案
1.A
2.C
3.D
4.D
5.B
6.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.
可知應(yīng)選D.
7.C
8.D
9.A
10.C所給方程為可分離變量方程.
11.C
12.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二次曲面的方程。
將x2+y2-z=0與二次曲面標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)照,可知其為旋轉(zhuǎn)拋面,故應(yīng)選C。
13.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為線性常系數(shù)微分方程解的結(jié)構(gòu).
已知y1,y2為二階線性常系數(shù)齊次微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個(gè)解,由解的結(jié)構(gòu)定理可知C1y1+C2y2為所給方程的解,因此應(yīng)排除D.又由解的結(jié)構(gòu)定理可知,當(dāng)y1,y2線性無關(guān)時(shí),C1y1+C2y2為y"+p1y'+p2y=0的通解,因此應(yīng)該選B.
本題中常見的錯(cuò)誤是選C.這是由于忽略了線性常系數(shù)微分方程解的結(jié)構(gòu)定理中的條件所導(dǎo)致的錯(cuò)誤.解的結(jié)構(gòu)定理中指出:“若y1,y2為二階線性常系數(shù)微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個(gè)線性無關(guān)的特解,則C1y1+C2y2為所給微分方程的通解,其中C1,C2為任意常數(shù).”由于所給命題中沒有指出)y1,y2為線性無關(guān)的特解,可知C1y1+C2y2不一定為方程的通解.但是由解的結(jié)構(gòu)定理知C1y1+C2y2為方程的解,因此應(yīng)選B.
14.C
15.B
16.C
17.C解析:
18.C解析:
19.C解析:
20.A
21.1
22.11解析:
23.
24.
25.1
26.0.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值問題.
通常求解的思路為:
27.3
28.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的換元積分法。設(shè)t=x/2,則x=2t,dx=2dt.當(dāng)x=0時(shí),t=0;當(dāng)x=π時(shí),t=π/2。因此
29.ee解析:
30.
31.1
32.
33.(0,+∞)本題考查的知識(shí)點(diǎn)為利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性.
由于y=ln(1+x2),其定義域?yàn)?-∞,+∞).
又由于,令y'=0得唯一駐點(diǎn)x=0.
當(dāng)x>0時(shí),總有y'>0,從而y單調(diào)增加.
可知y=ln(1+x2)的單調(diào)增加區(qū)間為(0,+∞).
34.極大值為8極大值為8
35.直線l的方向向量為
36.y=1/2本題考查了水平漸近線方程的知識(shí)點(diǎn)。
37.f"(ξ)(b-a)由題目條件可知函數(shù)f(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件,因此必定存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。
38.
39.(1/2)x2-2x+ln|x|+C
40.
解析:
41.由一階線性微分方程通解公式有
42.
43.
44.
45.
46.曲線方程為,點(diǎn)(1,3)在曲線上.
因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0.
如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在,則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)
(x0,fx0))處存在切線,且切線的斜率為f′(x0).切線方程為
47.
48.
則
49.
列表:
說明
50.
51.
52.
53.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p
∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,
∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%
54.解:原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0,
55.由二重積分物理意義知
56.
57.由等價(jià)無窮小量的定義可知
58.
59.
60.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
注意
61.
62.
63.
64.
65.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的換元積分法.
比較典型的錯(cuò)誤是利用換元計(jì)算時(shí),一些考生忘記將積分限也隨之變化.
66.由題意知f(a)=f(b)=f(c),在(a,c)內(nèi)有一點(diǎn)η1,使得f'(η1)=0,在(c,6)內(nèi)有
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