5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（教學(xué)課件） 高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第一冊）

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用第5章三角函數(shù)人教A版2019必修第一冊學(xué)習(xí)目標(biāo)現(xiàn)實生活中存在大量具有周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)特點的周期運(yùn)動變化現(xiàn)象，如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么就可以考慮借助三角函數(shù)來描述．本節(jié)通過幾個具體實例，說明三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用．問題１某個彈簧振子(簡稱振子)在完成一次全振動的過程中，時間t(單位:s)與位移y(單位:mm)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示．試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個振子的位移關(guān)于時間的函數(shù)解析式．振子的振動具有循環(huán)往復(fù)的特點，由振子振動的物理學(xué)原理可知，其位移y隨時間t的變化規(guī)律可以用函數(shù)y=Asin(ωt+φ

)來刻畫．根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出散點圖，如下圖所示．所以振子位移關(guān)于時間的函數(shù)解析式為由數(shù)據(jù)表和散點圖可知，振子振動時位移的最大值為20mm，因此A＝20；

現(xiàn)實生活中存在大量類似彈簧振子的運(yùn)動，如鐘擺的擺動，水中浮標(biāo)的上下浮動，琴弦的振動，等等．這些都是物體在某一中心位置附近循環(huán)往復(fù)的運(yùn)動．在物理學(xué)中，把物體受到的力(總是指向平衡位置)正比于它離開平衡位置的距離的運(yùn)動稱為“簡諧運(yùn)動”．在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，簡諧運(yùn)動可以用函數(shù)y=Asin(ωx+φ),x∈[0，＋∞)表示，其中A＞0，

ω＞0．描述簡諧運(yùn)動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數(shù)有關(guān)：簡諧運(yùn)動可以用函數(shù)表示為：y=Asin(ωx+φ),x∈[0,＋∞)

,其中A＞0,ω＞0.

A就是這個簡諧運(yùn)動的振幅，它是做簡諧運(yùn)動的物體離開平衡位置的最大距離；

ωx+φ稱為相位；x＝０時的相位φ

稱為初相．

一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度變化情況，因此應(yīng)當(dāng)特別注意自變量的變化范圍．例2

海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．表5.7-2是某港口某天的時刻與水深關(guān)系的預(yù)報．時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m0：005.09：182.518：365.03：067.512：245.021：422.56：125.015：307.524：004.0(1)選用一個函數(shù)來近似描述這一天該港口的水深與時間的關(guān)系，給出整點時水深的近似數(shù)值（精確到0.001m）由上述關(guān)系式易得港口在整點時水深的近似值（表5.7-3）：時刻01234567891011水深/m5.0006.2137.1227.4977.2456.4285.2534.0143.0232.5292.6563.372時刻121314151617181920212223水深/m4.4975.7486.8127.4207.4206.8125.7484.4973.3722.6562.5293.023(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與洋底的距離），該船這一天何時能進(jìn)入港口？在港口能呆多久?由計算器可得因此，貨船可以在零時30分左右進(jìn)港，早晨5時45分左右出港；或在下午13時左右進(jìn)港，下午18時左右出港．每次可以在港口停留5小時左右．(3)某船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船這一天在2：00開始卸貨，吃水深度以0.3m/h的速度減少，如果這條船停止卸貨后需0.4h才能駛到深水域，那么該船最好在什么時間停止卸貨，將船駛向較深的水域?在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這兩個函數(shù)的圖象，可以看到在6～8時之間兩個函數(shù)圖象有一個交點因此為了安全，貨船最好在6.6時之前停止卸貨，將船駛向較深的水域．解題方法（解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟）

三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．具體地，我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，先畫出相應(yīng)的