立體幾何動點問題

立體幾何動點問題立體幾何與平面解析幾何的交匯問題在教材中，立體幾何與解析幾何是互相獨立的兩章，彼此分離不相聯(lián)系，實際上，從空間維數(shù)看，平面幾何是二維的，立體幾何是三維的，因此，立體幾何是由平面幾何升維而產(chǎn)生；另一方面，從立體幾何與解析幾何的聯(lián)系看，解析幾何中的直線是空間二個平面的交線，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）是平面截圓錐面所產(chǎn)生的截線；從軌跡的觀點看，空間中的曲面（曲線）是空間中動點運動的軌跡，正因為平面幾何與立體幾何有這么許多千絲萬縷的聯(lián)系，因此，在平面幾何與立體幾何的交匯點，新知識生長的土壤特別肥沃，創(chuàng)新型題型的生長空間也相當寬廣，這一點，在高考卷中已有充分展示，應(yīng)引起我們在復習中的足夠重視。一、動點軌跡問題這類問題往往是先利用題中條件把立幾問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，再判斷動點軌跡。例1定點A和B都在平面α內(nèi)，定點P?α，PB⊥α，是α內(nèi)異于A和B的動點，且PC⊥AC。那么，動點C在平面α內(nèi)的軌跡是（）A. 一條線段，但要去掉兩個點去掉兩個點 D. 半圓，但要去掉兩個點

B. 一個圓，但要去掉兩個點

C. 一個橢圓，但要例則動點

2若三棱錐 A—BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是（ ）

P到平面

BCD距離與到棱

AB

距離相等，解：設(shè)二面角A—BC—DPT⊥AB于T，則∠PQR=θ，

大小為θ，作

PR⊥面

BCD，R

為垂足，PQ⊥BC于

Q，且由條件

PT=PR=PQ·sin

θ，∴二、幾何體的截痕為小于

1的常數(shù)，故軌跡圖形應(yīng)選（

D）。例3：球在平面上的斜射影為橢園：已知一巨型廣告汽球直徑 6米，太陽光線與地面所成角為60°，求此廣告汽球在地面上投影橢圓的離心率和面積（橢圓面積公式為S=πab，其中a,b為長、短半軸長）。解：由于太陽光線可認定為平行光線，故廣告球的投影橢園等價于以廣告球直徑為直徑的圓柱截面橢園：此時b=R ，a==2R，∴離心率2，投影面積S=πab=π·k·2R=2πR=18π。三、動點與某點（面）的距離問題例4．正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a，E是AA1的中點，3aBBDD112 在對角面上找一動點 M，使AM+ME最小. ．四、常見的軌跡問題

（1）軌跡類型識別此類問題最為常見，求解時，關(guān)注幾何體的特征，靈活選擇幾何法與代數(shù)法 . 例5、（北京）平面 α的斜線AB交α于點B，過定點A的動直線l 與AB垂直，且交 α于點C，則動點C的軌跡是()A ．一條直線

B.一個圓

C.一個橢圓D. 雙曲線的一支【解析】直線在平面α與線段

l 運動后形成的軌跡剛好為線段AB的垂面的交線上，所以動點

C

AB的垂面，由公理二易知點的軌跡是一條直線 . 選擇A.

C剛好落總結(jié)：空間的軌跡最簡單的一直存在形式就是兩個平面的交線，處理問題中注意識別即可.例6、如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，若四邊形A1BCD1內(nèi)一動點P到AB1和BC的距離相等，則點P的軌跡為（A．橢圓的一部分C．一條線段）B1C．圓的一部分D．拋物線的一部分【解析】由于AB1平面ABCD11，連接OP，此即為點P到AB1的距離，由此，動點P到AB1和BC的距離相等轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)到定點（定直線外）的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡問 題，符合拋物線的定義，所以本題選 D.總結(jié)：立體幾何中的距離問題，往往需要借助線面垂直轉(zhuǎn)化；涉及到動點的軌跡問題，優(yōu)先考慮定義法.例7、（浙江）如圖，AB是平面α的斜線段．．．，A為斜足，若點P在平面α內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（）A．圓B．橢圓C．一條直線D．兩條平行直線【解析】考慮到三角形的面積為定值，結(jié)合線段 AB固定，易知動點 P到線段AB的距離為定值，結(jié)合前文定義，在空間到定直線距離為定值的點的軌跡為以定直線為軸的圓柱面，可以得到 P點在此圓柱面上，又點 P在平面α內(nèi)運動，所以點 P在平面α與圓柱面的截線上，由于1，可以得到動點 P

AB是平面α的斜線段．．．，所以平面的軌跡是橢圓

α與圓柱面斜交，由命題總結(jié)：“動中尋靜”，充分挖掘不變量，是解決此類問題的關(guān)鍵，另外需注意圓柱面的生成過程. 例8、如圖，在矩形 ABCD中，E為邊AD上的動點，將 △ABE沿著直線翻轉(zhuǎn)成△ABE1使平面 ABE1⊥平面ABCD，則點A1的軌跡是（ ）A. 線段

BEB. 圓弧C. 橢圓的一部分D. 以上都不是，【解析】將變的，這樣，點

△ABE沿著直線A1在以B為球

BE

翻轉(zhuǎn)成

ABE1的過程中，

AB1

的長度始終是保持不心，以

AB為半徑的球面上，所以點

A1的形成軌跡為圓弧，選擇

B.AB總結(jié):在空間，到定點的距離為定長的點的軌跡為球，球的概念生成的兩個必要條件為定點與定長，解題時注意把控.例9、已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點P是平面ABCD內(nèi)的動點，若點P到直線A1D1A．拋物線B

的距離等于點．雙曲線C

P到直線CD的距離，則動點．橢圓D．直線

P的軌跡所在的曲線是（

）【解析】本題從幾何的角度很難找到突破口，可以嘗試從代數(shù)的角度處理：如圖，建立直角坐標系xDy，設(shè)Pxy1x化簡可得：x2—y2=1，即動點P的軌跡所在的曲線為雙曲線，選擇 B.總結(jié)：從幾何角度不好入手時，可以嘗試從代數(shù)的角度，利用解析法求解出相應(yīng)軌跡（2）與軌跡相關(guān)的度量與軌跡相關(guān)的度量，具體涉及到軌跡長度，軌跡面的面積，軌跡體的體積，以及與軌跡相關(guān)的角度、距離、周長等.例10、在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，MN分別為AC1、A1B1的中點，點P在正方體的表面上運動，則總能使 MP與BN垂直的點P所構(gòu)成的軌跡的周長為________.【解析】依照題意，只需過點

M作直線

BN

的垂面即可，垂面與正方體表面的交線即為動點 P的軌跡.D1 分別取

CC1、DD1中點

G、H

，易知BN平面AGHD，過M作平面AGHD的平行平面EFGH，點

P

所構(gòu)成的軌跡即為四邊形

，其周長與四邊形AGHD

的周長相等，所以點

P所構(gòu)成的軌跡的周長為

25.總結(jié)：本題中面面的交線（截痕）即為動點進行合理轉(zhuǎn)化.

P的軌跡，處理問題的關(guān)鍵抓住線面垂直，例11.已知邊長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1，在正方體表面上距表面上的一條曲線，求這條曲線的長度。解：此問題的實質(zhì)是以A為球心、

A為正方體為半徑的球在正方體 ABCD—A1B1C1D1，（在空間）的點的軌跡是各個面上交線的長度計算，正方體的各個面根據(jù)與球心位置關(guān)系分成二類：ABCD，AA1DD1，AA1BB1為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為，A1B1C1D1，B1BCC1，D1DCC1為與球心距離為 1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為，故各段弧圓心角為，∴這條曲線長度為。A在

例12、已知直線l 上移動，點 B

l⊥平面α，垂足為在平面α上移動，則

O，在矩形中 ABCD，AD=1，AB=2O、D兩點間距離的最大值為（

，若點+1【解析】點A在l上移動，點B在平面α上移動過程中，AB的中點M到O點的距離始終保持不變，即AB的中點始終在以O(shè)為球心，1為半徑的球面上.由此可以采用幾何法處理，如圖，連接OD、MO、MD，易知OM+MDOD，所以O(shè)D的最大值為C本題亦可采用代數(shù)法求解，如圖所示建立坐標系，總結(jié)：利用幾何法解決問題，關(guān)鍵抓住幾何要素，本題中線段的中點在球面上是幾何法解決問題的突破口.利用代數(shù)法解決問題時，選擇合適的建系方案，盡可能的簡化運算.例13（2019上海13校聯(lián)考）直線m⊥平面α，垂足為O，正四面體ABCD的棱長是4.點C在平面α上運動，點B在直線m上運動，則點O到直線AD的距離的取值范圍是（2五、練習1 ．如圖，正方體 ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點 E，F(xiàn)，且EF=2，則下列結(jié)論中錯誤的個數(shù)是()AC⊥BE.(2) 若P為AA1上的一點, 則P到平面BEF的距離為2.(3) 三棱錐A-BEF的體積為定值.在空間與DD1,AC,B1C1都相交的直線有無數(shù)條.(5) 過CC1的中點與直線

AC1所成角為

40并且與平面

BEF所成角為

50的直線有2條.A.0B.1C.2D.3EF=22,

則下+1

）2 ．如圖，正方體

ABCD-A1B1C1D1

的棱長為

1，線段

B1D1

上有兩個動點

E,F，且列結(jié)論中錯誤的是（

）A ．AC⊥BEB．EF∥平面 ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值 D．△AEF與△BEF的面積相等 3. 關(guān)于圖中的正方體 ABCD-A1B1C1D1，下列說法正確的有： ①P點在線段BD上運動，棱錐 P-AB1D1體積不變； ②P點在線段BD上運動，二面角 P-B1D1-A 不變；③一個平面α截此正方體，如果截面是三角形，則必為銳角三角形；④一個平面α截此正方體，如果截面是四邊形，則必為平行四邊形；⑤平面α截正方體得到一個六邊形（如圖所示），則截面α在平面A1AB1D1 與平面BDC1間平行移動時此六邊形周長先增大，后減小。、如圖,正方體ABCD-A1BC11D1的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段CC1上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為 S.則下列命題正確的是 ___________(寫出所有正確命題的編號).0①當1時,S為四邊形;CQ=②當1時,S不為等腰梯形;C1R=4 時,S與C1D1的交點R滿足3;CQ=③當3⑤當CQ=1時,S的面積為2.①⑤在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是CC1的中點，若點P在ABB1A1所在的平面上，滿足（

）∠PDB1=∠MDB1，