2022-2023學(xué)年安徽省阜陽(yáng)市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省阜陽(yáng)市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，結(jié)合定義即可求解.【詳解】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：，由拋物線定義知焦點(diǎn)坐標(biāo).故選：B.2．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．7 B．9 C．81 D．3【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】依題意可得，又，所以，所以.故選：D3．如圖所示,在正方體中,點(diǎn)F是側(cè)面的中心,設(shè),則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量基本定理將轉(zhuǎn)化為即可選出答案.【詳解】解:由題知,點(diǎn)F是側(cè)面的中心,為中點(diǎn),則,故選:A4．已知數(shù)列滿足，且，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)累加法求解即可.【詳解】由，且，根據(jù)累加法可得：，所以，則.故選：B5．在銳角中，，，，則以B，C為兩個(gè)焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的離心率為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】先利用余弦定理求出，再根據(jù)雙曲線的定義及離心率公式即可得解.【詳解】解：在銳角中，，，，則，即,解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，所以在以B，C為兩個(gè)焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線中，，則，所以其離心率為.故選：C.6．中國(guó)古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說(shuō)有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，則該馬第六天走的里程數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得該馬第天走的里程數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得.【詳解】解：由題意得，該馬第天走的里程數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，則，解得，故該馬第六天走里路．故選：C．7．已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線，，…，被該圓M截得的弦長(zhǎng)依次為，，…，，若，，…，是公差為的等差數(shù)列，則n的最大值是（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】求出弦長(zhǎng)的最小和最大值，根據(jù)等差數(shù)列的關(guān)系即可求出n的最大值【詳解】解：由題意在圓中∴圓心，半徑為3，過(guò)點(diǎn)的直線，，…，被該圓M截得的弦長(zhǎng)依次為，，…，過(guò)圓心作弦的垂線，交圓于兩點(diǎn)，如下圖所示：由幾何知識(shí)得，當(dāng)時(shí)，為最短弦長(zhǎng)；為最長(zhǎng)弦長(zhǎng)，為6.此時(shí)，直線的解析式為：直線的解析式為：圓心到弦BC所在直線的距離：連接,由勾股定理得，∴，∴最短弦長(zhǎng)，∵，，…，是公差為的等差數(shù)列∴設(shè)∵最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為6∴解得：故選：D.8．已知數(shù)列滿足，設(shè)，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意先求出，即可求出則可寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消即可求出答案.【詳解】因?yàn)棰伲?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，②，①-②化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)：，也滿足，所以，，所以的前2022項(xiàng)和.故選:D.二、多選題9．已知向量，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)向量模長(zhǎng)、減法的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量垂直和平行的坐標(biāo)表示直接判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，，，A正確；對(duì)于B，由向量坐標(biāo)運(yùn)算知：，B正確；對(duì)于C，，不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)，則，即，方程無(wú)解，不平行，D錯(cuò)誤.故選：AB.10．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)或4時(shí)，取得最大值【答案】CD【分析】根據(jù)表達(dá)式及時(shí)，的關(guān)系，算出數(shù)列通項(xiàng)公式，即可判斷A、B、C選項(xiàng)的正誤.的最值可視為定義域?yàn)檎麛?shù)的二次函數(shù)來(lái)求得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，所以，則是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C正確；因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，開(kāi)口向下，而是正整數(shù)，且或距離對(duì)稱軸一樣遠(yuǎn)，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，故D正確.故選：CD.11．若P，Q分別為上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足：∥，則下面正確的有（）A． B．C．當(dāng)c確定時(shí)，有最小值，沒(méi)有最大值 D．當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，【答案】ABC【分析】由∥可得，，即可判斷A，B選項(xiàng)；因?yàn)榈淖钚≈禐?，之間的距離，由兩平行線間的距離可得，所以得，進(jìn)而可判斷C，D.【詳解】解：因?yàn)椤?，所以，，所?，故A，B正確；的最小值為，之間的距離，又因?yàn)椤?，所以，之間的距離，所以當(dāng)c確定時(shí)，有最小值為，沒(méi)有最大值，故C正確；當(dāng)時(shí)，則有或，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”.如圖，已知橢圓，為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（

）A．為等比數(shù)列B．C．軸，且D．四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)【答案】BD【分析】若為等比數(shù)列，可得，則求出離心率可判斷A；由勾股定理以及離心率公式可判斷B；根據(jù)結(jié)合斜率公式可判斷C；由四邊形的內(nèi)切圓的半徑為可得，求出離心率可判斷D.【詳解】解：，，，對(duì)于A：為等比數(shù)列，則，，不滿足條件，故錯(cuò)誤；對(duì)于B：,,即解得或（舍去）滿足條件.故B正確；對(duì)于C：軸，且，即解得，不滿足題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)，即四邊形的內(nèi)切圓的半徑為，解得（舍去）或，故D正確.故選：BD三、填空題13．已知方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)方程為雙曲線，可得，解不等式即可得答案.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故答案為：14．已知數(shù)列中，，則_________．【答案】【分析】由求出，，，確定數(shù)列為循環(huán)數(shù)列，最小正周期為3，從而求出.【詳解】因?yàn)椋?，，，……，所以?shù)列為循環(huán)數(shù)列，最小正周期為3，故.故答案為：-215．如圖，在正三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_____．【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量,的坐標(biāo),利用向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】以A為原點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作的垂線為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在正三棱柱中，，，則，故,,設(shè)異面直線與所成角為，所以,∴異面直線與所成角的余弦值為,故答案為：.16．在數(shù)列中，，，，則的前2022項(xiàng)和為_(kāi)_____.【答案】1015【分析】分奇偶項(xiàng)討論，結(jié)合并項(xiàng)求和運(yùn)算求值.【詳解】∵，令，則，故，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，，∴；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，，∴；設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則.故答案為：1015.四、解答題17．已知中，(1)求邊所在直線的方程；(2)直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)該定點(diǎn)為，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接計(jì)算出，再寫(xiě)出點(diǎn)斜式方程即可；（2）首先求出定點(diǎn)，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)到直線的距離以及的長(zhǎng)，則得到三角形面積.【詳解】（1）的斜率為,直線方程為,即；（2）即，當(dāng)時(shí)，，故，到邊所在直線的距離為,故的面積為.18．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，且滿足成等比數(shù)列．(1)求；(2)求數(shù)列的前30項(xiàng)和．【答案】(1)(2)1362【分析】（1）由等差數(shù)列的公式列方程組即可求解；（2）分類討論即可求解.【詳解】（1）由題意可得：，解得或（舍）故.（2）由（1）可知：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，易知當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，，所以.19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓及點(diǎn).(1)若直線過(guò)點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線l的方程；(2)圓上是否存在點(diǎn)，使得成立？若存在，求點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)或(2)存在，兩個(gè)【分析】(1)根據(jù)垂徑定理可得圓心到直線的距離為1，然后利用點(diǎn)到直線的距離即可求解；(2)假設(shè)圓上存在點(diǎn)，設(shè)，則，利用題干條件得到點(diǎn)也滿足，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】（1）圓可化為，圓心為，若的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)符合要求.

當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的斜率為，則令，因?yàn)?，由垂徑定理可得，圓心到直線的距離，

所以直線的方程為或.（2）假設(shè)圓上存在點(diǎn)，設(shè)，則，，

即，即，

，

與相交，則點(diǎn)有兩個(gè).20．在正方體中，如圖、分別是，的中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，即可證得.（2）在（1）的基礎(chǔ)上，根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式有可求得結(jié)果.【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，，，，則，，，則，，，，且，平面.（2），，由（1）知平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證:.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由利用得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可得其通項(xiàng)公式；（2）由錯(cuò)位相減法求得和后結(jié)合單調(diào)性可證不等式成立．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，其公差.由成等比數(shù)列，得，則，所以，所以;（2）由題可知，所以，所以，兩式相減得，所以.所以，又，所以是遞增數(shù)列，，故.22．設(shè)拋物線C：x2＝2py（0＜p＜8）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，且PF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，）(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)A（0，2），且與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱（點(diǎn)Q與點(diǎn)N不重合），求證：直線QN恒過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)x2＝4y；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)的中點(diǎn)坐標(biāo)為列方程得到，然后代入拋物線方程中，解得，即可得到拋物線的方程；（2）方法一：設(shè)直線方程為，跟拋物線方程聯(lián)立，得到，然后利用韋達(dá)定理求出直線的方程，即可得到過(guò)定點(diǎn)；方法二：設(shè)直線方程為，跟拋物線方程聯(lián)立，得到，然后利用，，三點(diǎn)共線列方程，再結(jié)合韋達(dá)定理得到，即可得到直線過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）依題意得，設(shè)，由的中點(diǎn)坐標(biāo)為，得，解得，∵在拋物線，∴，即，解得或8（舍去），∴拋物線的方程為.（2）（法一）依題意直線的斜率存在，設(shè)直線：,,，則，聯(lián)立消去得，