2023年人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版上冊【能力培優(yōu)】12.3 角的平分線的性質(zhì)（含答案）

2023年人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)12.3角的平分線的性質(zhì)專題一利用角的平分線的性質(zhì)解題1．如圖，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足為F，DG⊥AC，垂足為G，且DF=DG．求證：AD⊥BC.2．如圖，已知CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE，CD交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC．求證：OB=OC．3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，AC=3cm，求BE的長．專題二角平分線的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用4．如圖，三條公路把A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建在（）A．在AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處B．在AC、BC兩邊中線的交點(diǎn)處C．在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處D．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處5．如圖，要在河流的南邊，公路的左側(cè)M區(qū)處建一個(gè)工廠，位置選在到河流和公路的距離相等，并且到河流與公路交叉A處的距離為1cm（指圖上距離），則圖中工廠的位置應(yīng)在__________，理由是__________．6．已知：有一塊三角形空地，若想在空地中找到一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到三邊的距離相等，試找出該點(diǎn)．（保留作圖痕跡）狀元筆記【知識(shí)要點(diǎn)】1．角的平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．2．角的平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．【溫馨提示】1．到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，不是其他線段的交點(diǎn)．2．到三角形三邊距離相等的點(diǎn)不僅有內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，還有相鄰兩外角的平分線的交點(diǎn)，這樣的點(diǎn)共有4個(gè)．【方法技巧】1．利用角的平分線的性質(zhì)解決問題的關(guān)鍵是：挖掘角的平分線上的一點(diǎn)到角兩邊的垂線段．若已知條件存在兩條垂線段——直接考慮垂線段相等，若已知條件存在一條垂線段——考慮通過作輔助線補(bǔ)出另一條垂線段，[來源:若已知條件不存在垂線段——考慮通過作輔助線補(bǔ)出兩條垂線段．2．利用角平分線的判定解決問題的策略是：挖掘已知圖形中一點(diǎn)到角兩邊的垂線段．若已知條件存在兩條垂線段——先證明兩條垂線段相等，然后說明角平分線或角的關(guān)系；若已知條件存在一條垂線段——考慮通過作輔助線補(bǔ)出另一條垂線段，再證明兩條垂線段相等；若已知條件不存在垂線段——考慮通過作輔助線補(bǔ)出兩條垂線段后，證明兩條垂線段相等．參考答案:1．證明：∵，∴AD是的平分線，∴．在和中，∴．∴．又∵，∴，∴．2．證明：∵AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD=OE，在Rt△BDO和Rt△CEO中，∴．∴OB=OC．3．解：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠B=90°，又DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，又，∴∠A=60°，∠B=30°，又∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE，∴cm．在Rt△DAE和Rt△DBE中，∴△DAE≌△DBE（AAS），∴cm．4．C解析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場應(yīng)建在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交