二次曲線(xiàn)的一般理論

第五章二次曲線(xiàn)的一般理論

在平面上，由二元二次方程（1）3.二次曲線(xiàn)進(jìn)行分類(lèi)所表示的曲線(xiàn)，叫做二次曲線(xiàn).將討論的問(wèn)題：1.二次曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)2.二次曲線(xiàn)方程的簡(jiǎn)化但是二次方程的根可能是虛數(shù)，在平面上引進(jìn)虛元素.從研究直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)的相交問(wèn)題入手，來(lái)認(rèn)識(shí)二次曲線(xiàn)的某些幾何性質(zhì).為了求直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)的交點(diǎn)，就必須涉及到解二次方程的問(wèn)題.因此在這里我們將引進(jìn)虛數(shù)把實(shí)數(shù)擴(kuò)充成復(fù)數(shù),下面簡(jiǎn)單地說(shuō)明一下有關(guān)虛元素的問(wèn)題當(dāng)平面上建立了笛卡爾坐標(biāo)系之后，一對(duì)有序?qū)崝?shù)就表示平面上的一個(gè)點(diǎn)，如果x及y中至少有一個(gè)是虛數(shù)，如果兩個(gè)虛點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)都是共軛復(fù)數(shù)，那么這兩點(diǎn)叫做一對(duì)共軛虛點(diǎn)，實(shí)點(diǎn)與虛點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為復(fù)點(diǎn).我們?nèi)匀徽J(rèn)為表示平面上的一個(gè)點(diǎn),這樣的點(diǎn)我們它叫做平面上的虛點(diǎn)，而叫做這一虛點(diǎn)的坐標(biāo)，相應(yīng)地,我們把坐標(biāo)是一對(duì)實(shí)數(shù)的點(diǎn)叫做平面上的實(shí)點(diǎn).當(dāng)平面上引進(jìn)了虛點(diǎn)之后，我們?nèi)匀豢梢杂懻撓蛄?、直線(xiàn)等概念.例如,設(shè)與為平面上的兩復(fù)點(diǎn).那么我們稱(chēng)為以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的復(fù)向量，并記做，如果與中至少有一為虛數(shù)時(shí)，我們把它叫做虛向量；如果點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足表達(dá)式其中為復(fù)數(shù)，我們就說(shuō)點(diǎn)分成定比，特殊地把點(diǎn)叫做的中點(diǎn)；我們把叫做由兩點(diǎn)，決定的直線(xiàn)的參數(shù)方程，式中為參數(shù)，它可為任意的復(fù)數(shù).消去參數(shù)得：式中叫做直線(xiàn)的一般式方程如果與三個(gè)實(shí)數(shù)成比例，那么直線(xiàn)為實(shí)直線(xiàn)，否則叫做虛直線(xiàn).

注意，由于共軛復(fù)數(shù)之和為實(shí)數(shù)，所以連結(jié)兩共軛虛點(diǎn)的線(xiàn)段的中點(diǎn)是實(shí)點(diǎn).由于引進(jìn)了虛點(diǎn)，上列實(shí)系數(shù)方程所表示的曲線(xiàn)上將含有許多虛點(diǎn)，甚至有的實(shí)系數(shù)方程所表示的曲線(xiàn)上只有虛點(diǎn)而無(wú)實(shí)點(diǎn).以后只考慮實(shí)系數(shù)的曲線(xiàn)方程例如:只有虛點(diǎn)而無(wú)實(shí)點(diǎn).既有虛點(diǎn)又有實(shí)點(diǎn).或

為了方便起見(jiàn)，我們引進(jìn)下面的一些記號(hào)：這樣我們?nèi)菀昨?yàn)證，下面的恒等式成立：（2）也就可以寫(xiě)成（3）我們把的系數(shù)所排成的矩陣曲線(xiàn)方程式另外,叫做二次曲線(xiàn)（1）的矩陣.而用的系數(shù)所排成的矩陣叫做的矩陣.顯然，二次曲線(xiàn)（1）的矩陣A的第一，第二與第三行的元素分別是,,的系數(shù).今后我們還常常要引用下面的幾個(gè)符號(hào)：例1寫(xiě)出下列曲線(xiàn)的矩陣A以及,F1,F2,F3.(1)(2)(3)解:(1)